Bài giảng lớp 9 môn học Hình học - Đường tròn - Đường thẳng với đường tròn

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN HÌNH HỌC 9 LOẠI BÁM SÁT ĐƯỜNG TRÒN - ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CHUNG Sau khi học xong chủ đề này, học sinh có khả năng : Nắm được các tính chất trong một đường tròn (sự xác định một đường tròn, tính chất đối xứng, liên hệ giữa đường kính và dây, liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây) ; vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn ; vị trí tương đối giữa hai đường tròn; đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp một tam giác . Rèn luyện kỹ năng về vẽ hình và đo đạt, biết vận dụng các kiến thức về đường tròn trong các bài tập về tính toán, chứng minh . B - THỜI LƯỢNG : 6 tiết Tiết 1 : SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm được định nghĩa đường tròn, các cách xác định một đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác nội tiếp đường tròn . Nắm được đường tròn là hình có tâm đối xứng, có trục đối xứng, vị trí tương đối của một điểm với đường tròn . - Rèn kỹ năng chứng minh các điểm thuộc một đường tròn, xác định vị trí của một điểm với một đường tròn . - Rèn thái độ áp dụng kiến thức đã học vào thực tế như tìm tâm một đường tròn, nhận biết một số vật thể hình tròn có tâm đối xứng, có trục đối xứng B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Các cách xác định một đường tròn . Một đường tròn xác định khi biết được một điểm làm tâm và một độ dài làm bán kính . Một đường tròn xác định khi biết được một đoạn thẳng làm đường kính . (Tâm của đường tròn này là trung điêm của đợn thẳng đã cho) Qua ba điểm không thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường tròn (Tâm của đường tròn này là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nhận ba điểm đã cho là đỉnh ; đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác và tam giác này được gọi là tam giác nội tiếp một đường tròn) . Lưu ý : Qua hai điểm phân biệt, ta có thể vẽ được vô số đường tròn . Tâm các đường tròn này nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó . 2 - Ba vị trí tương đối của điểm M với (O ; R) + M nằm ngoài (O ; R) ó OM > R . + M nằm trên (O ; R) ó OM = R . + M nằm trong (O ; R) ó OM < R . Lưu ý : Hình tròn là hình gồm tất cả các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm trong đường tròn . 3 - Đường kính và một số tính chất của đường kính : Định nghĩa : Đường kính là dây đi qua tâm của đường tròn . Tính chất : + Đường kính gấp đôi bán kính . + Đường kính là dây cung lớn nhất trong đường tròn . + Đường kính là trục đối xứng của đường tròn . 4 - Một số định lý bổ sung : Tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền . Một tam giác nội tiếp trong một đường tròn nhận cạnh lớn nhất làm đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông . Có thể tóm tắt hai định lý trên qua mối quan hệ sau : ÐAMB = 900 ó Điểm M nằm trên đường tròn đường kính AB . Đường tròn là hình có tâm đối xứng, là hình có trục đối xứng . Tâm đối xứng của đường tròn là tâm của nó . Trục đối xứng của đường tròn là đường kính của nó . II - Câu hỏi trắc nghiệm : Câu 1 : Đường tròn (O ; R) có đường kính là bao nhiêu ? A) B) C) 2R D) 3R Câu 2 : Có thể xác định chỉ một đường tròn đi qua : A) 2 điểm phân biệt B) 3 điểm thẳng hàng C) ba điểm không thẳng hàng D) 1 điểm bất kỳ Câu 3 : Đường tròn là hình : A) không có tâm đối xứng B) Có 1 tâm đối xứng . C) Có 2 tâm đối xứng D) có vô số tâm đối xứng . Câu 4 : Đường tròn là hình : A) không có trục đối xứng B) Có 1 trục đối xứng . C) Có 2 trục đối xứng D) có vô số trục đối xứng . Câu 5 : Cho hai đoạn thẳng AB = 6cm và AC = 4cm . Vẽ đường tròn (A ; 5cm) . Ý nào sau đây đúng nhất ? A) B nằm ngoài (A ; 5 cm) B) C nằm trong (A ; 5 cm) C) Cả A và B đều sai . D) Cả A và B đều đúng . Câu 6 : Cho tam giác PQR vuông tại P có PQ = 5cm, PR = 6cm . Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng : A) cm B) cm C) 2,5cm D) 3cm Câu 7 : Nối mỗi chữ cái ở đầu mỗi câu ở cột A với chữ số ở đầu mỗi câu ở cột B để được một khẳng định đúng ? A B a) Hình tròn tâm I bán kính 5cm là tập hợp gồm tất cả các điểm 1) có khoảng cách đến I bằng 5cm b) Đường tròn tâm I bán kính 5cm là tập hợp gồm tất cả các điểm 2) có khoảng cách đến I nhỏ hơn 5cm c) Tập hợp các điểm M có khoảng cách đến điểm I cố định là 5cm 3) có khoảng cách đến I nhỏ hơn hoặc bằng 5cm 4) Là đường tròn tâm I bán kính 5cm Câu 8 : Đánh dấu chéo vào ô Đúng (Đ), Sai (S) cho thích hợp . Nội dung Đ S Nội dung Đ S Cho tứ giác MNPQ có ÐN=ÐQ=900 Cho DABC cân tại A, nội tiếp trong (O) Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn . Đường kính AD đi qua trung điểm của BC MP < NQ ÐACD = 900 MNPQ là hình chữ nhật ÐABC ¹ ÐADC III - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 1 : Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn Phương pháp chung : Chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm cố định nào đó, trường hợp đặc biệt có thể chứng minh các điểm đó tạo thành một hình chữ nhật hay nhiều hình chữ nhật có các đường chéo đồng quy, hay chứng minh các điểm đó tạo thành các tam giác vuông có chung cạnh huyền v. v... . Ví dụ 1 : Cho DABC . Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC . Trên tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I và K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK . Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng nằm trên một đường tròn . Giải : Ta có MB = MC (1) Mà DBMI cân tại M (MD^BI và BD=DI) Suy ra MB = MI (2) Tương tự ta chứng minh được MC = MK (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra MB = MC = MI = MK Vậy B, I, C, K cùng nằm trên đường tròn . Ví dụ 2 : Cho tứ giác ABCD có ÐC + ÐD = 900 . Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC và CA . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn . Giải : Ta có MN là đường trung bình DABD PQ là đường trung bình DACD Nên MN//PQ//AD và MN=PQ=AD/2 Suy ra MNPQ là hình bình hành . Mặt khác vì ÐC + ÐD = 900+ nên AD^BC Mà MN //AD, NP // BC nên MN^NP Hay ÐMNP= 900 Do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật . Gọi O là giao điểm hai đường chéo MP và NQ của MNPQ, theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật ta có OM = ON = OP = OQ . Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn (O) . Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn Phương pháp chung : Muốn xác định được vị trí của một điểm với một đường tròn ta dựa vào kết quả so sánh khoảng cách từ điểm đó đến tâm đường tròn với bán kính của đường tròn đó mà kết luận . Ví dụ : Cho (O ; R) và điểm A cố định nằm ngoài (O) . Một điểm B bất kỳ thuộc đường tròn (O) . Chứng minh rằng trung điểm M của AB luôn nằm trên một đường tròn cố định . Giải : Gọi I là trung điểm OA . Ta có I cố định vì O và A cố định . Mà IM là đường trung bình của DOAM nên IM = OB/2 = R/2 (không đổi) Do đó trung điểm M của AB luôn nằm trên một đường tròn cố định với I là trung điểm của OA IV - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho tam giác đều ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA . Chứng minh bốn điểm B, M, P và C cùng nằm trên đường tròn tâm (N) . Hướng dẫn : Chứng minh NB = NC = NM = NP Bài 2 : Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau . Gọi M, N. P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn . Hướng dẫn : Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật Bài 3 : Cho 5 điểm A, B, C, D, E biết rằng qua 4 điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng có thể vẽ được một đường tròn . Hỏi qua 5 điểm A, B, C, D, E ta có thể vẽ được một đường tròn không ? Hướng dẫn : Sử dụng sự xác định duy nhất một đường tròn qua ba điểm không thẳng hàng Bài 4 : Cho DABC . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại D . Xác định trực tâm của DABC nếu : Đường tròn (O) cắt cạnh AC tại E . Đường tròn (O) cắt tia đối của tia CA tại E . Hướng dẫn : Hai đường cao của tam giác ABC là CD và BE Bài 5 : Cho tam giác ABC .Vẽ các đường cao BD và CE . Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn . Có thể khẳng định bao giờ điểm A cũng nằm bên ngoài đường tròn đó không ? Hướng dẫn : a) Chú ý các góc vuông BDC và CEB để thấy được bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC b) Thử xét các trường hợp tam giác ABC có góc A vuông, hay góc A tù Bài 6 : Trong tất cả các đường tròn đi qua hai điểm phân biệt A và B thì đường tròn nào có đường kính nhỏ nhất ? Giải thích tại sao ? Hướng dẫn : Sử dụng tính chất đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn để lý giải Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O ; R), đường kính AB và một dây CD . Gọi P và Q là hình chiếu của A và B lên đường thẳng CD . Chứng minh P và Q nằm ngoài (O ; R) Hướng dẫn : Xét hai trường hợp CD // với AB và CD // AB Bài 8 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn thẳng AB . Chứng minh rằng : Nếu M nằm ngoài đường tròn (O) thì Nếu M nằm trong đường tròn (O) thì Tiết 2 : ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm được các tính chất của đường kính, quan hệ vuông góc của đường kính với dây cung . - Vận dụng quan hệ vuông góc của đường kính và dây cung để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc - Rèn tính chính xác trong việc suy luận và chứng minh . B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó . 2 - Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó . Hai định lý này có thể biểu diễn qua sơ đồ sau : Đường kính vuông góc với một dây Đường kính đi qua trung điểm một dây Dây không đi qua tâm II - Câu hỏi trắc nghiệm : Câu 1 : Trong các đoạn thẳng sau đây, đoạn nào có thể đặt vào để làm một dây của đường tròn (O ; 6cm) . A) MN = 7cm B) EF = 13cm C) KT = 14cm D) HI = 16cm Câu 2 : Ý nào sau đây đúng nhất ? Đường kính là một dây đặc biệt . B) Hai đường kính luôn cắt nhau . C) Cả hai ý A và B đều đúng . D) Cả hai ý A và B đều sai Câu 3 : Cho đường tròn (O; 5 cm) và một dây AB = 8cm . Vẽ OH vuông góc với AB tại I . Kết quả nào sau đây đúng ? A) AI = OH = 3 cm B) OH = 3 cm và AI = 4 cm C) AI = 3cm và OH = 4 cm D) Cả 3 ý A, B và C đều sai . Câu 4 : Cho đường tròn (O ; R) có dây cung . Số đo góc AOB là : A) 600 B) 900 C) 1200 D) 1500 Câu 5 : Cho (O ; R) và một dây AB = R . Gọi H là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây sai ? A) DOAB đều . B) OH ^AB . C) OH = AB D) DOAB vuông ở A III - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 3 : Dựng một dây của đường tròn Ví dụ : Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn . Dựng dây AB nhận P làm trung điểm . Giải : a) Phân tích : Giả sử vẽ được dây AB nhận P làm trung điểm . Ta có OP vuông góc với AB . b) Dựng : Vẽ đoạn OP Vẽ dây AB vuông góc vớ OP tại P . Chứng minh : - Ta có OP vuông góc với OP tại P nên AB đi qua P và P là trung điểm của AB Biện luận : + Nếu P trùng O thì có vô số dây AB thỏa mãn (mỗi dây là một đường kính) + Nếu P khác O thì chỉ có một dây AB thỏa mãn đề bài như cách dựng trên . Vấn đề 4 : Tính toán hình học Ví dụ : Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC vuông góc với nhau có độ dài theo thứ tự bằng 6 cm và 8 cm . Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây . Tính bán kính của đường tròn (O) . Giải : a) Vẽ OH ^ AB và OK ^ AC . Suy ra AH=BH=AB/2=3cm, AK=CK=AC/2=4cm, Ta có OHAK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) Nên OH = AK = 4cm ; OK = AH = 3cm b) Ta có DABC vuông tại A nên . Mà DABC vuông tại A nội tiếp trong (O) nên BC là đường kính . Do đó bán kính của đường tròn là BC/2 = 5cm Cách khác : Ta có DOBA vuông tại H nên Vậy bán kính đường tròn (O) là 5cm . Vấn đề 5 : Vận dụng chứng minh . Ví dụ : Cho đường tròn (O) và dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H, K, M lần lượt là hình chiếu của A, B, O lên CD . Chứng minh CH = DK . Giải : Ta có CM = DM ( OM ^ CD) (1) Mặt khác OM//KB (cùng vuông góc với CD) và OA = OB Nên AN = NK ( N là giao điểm của OM với AK) . Ta lại có AN = NK và NM // AH (cùng vuông góc với CD)nên MH = MK (2) Từ (1) và (2) suy ra CH = DK IV - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M khác O và nằm trong (O) Qua M dựng dây AM sao cho AB có độ dài lớn nhất (nhỏ nhất) . Dựng điểm P trên đường tròn (O) để góc OPM có số đo lớn nhất Hướng dẫn : Dây lớn nhất là đường kính, dây nhỏ nhất là dây vuông góc với OM tại M . Vẽ dây PQ qua M ta được góc OPM lớn nhất ó góc POM nhỏ nhất ó PQ nhỏ nhất để áp dụng câu a Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm ngoài (O) . Dựng đường kính CD của đường tròn sao cho AC = BD . Hướng dẫn : Đường kính CD xác định khi biết một mút của nó nên vẽ điểm A' đối xứng với A qua O ta sẽ có DA'BC cân tại C => cách xác định điểm C trên (O). Bài 3 : Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng : A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn . DE < CH Hướng dẫn : a) Chú ý các tam giác ADB và AEB vuông tai E và D. b) Chứng minh C, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính CH . Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R), AB là dây cung không đi qua O . I là một điểm di động trên đoạn thẳng AB . Vẽ dây CD của đường tròn (O), CD vuông góc với AB tại I . Đường thẳng qua O song song với AB cắt CD tại K . Chứng minh KC = KD . Xác định vị trí điểm I để diện tích tứ giác ACBD lớn nhất . Hướng dẫn : a) Chứng minh OK vuông góc với CD . b) Bài 5 : Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R . Vẽ dây BC vuông góc với AD tại trung điểm I của OD . Chứng minh rằng tam giác ABC đều . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R . Hướng dẫn : a) Chứng minh tam giác ABC cân có một góc bằng 600 b) Tính độ dài BI để suy ra BC. Bài 6 : Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây . Hướng dẫn : Sử dụng phản chứng và dựa vào tiên đề EuClid về vuông góc để lập luận Bài 7 : Từ một điểm A trên đường tròn (O ; R) ta vẽ hai dây AB và AC vuông góc với nhau . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Chứng minh MN có độ dài không đổi khi góc BAC quay quanh A . Hướng dẫn :Tứ giác MANO là hình chữ nhật => MN= OA = R (không đổi) Bài 8 : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm . Hãy tính : Khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây . Bán kính đường tròn (O) . Hướng dẫn: Có IA, IB tính được AB và CD và mỗi nửa dây AB, CD, chứng minh được một hình chữ nhật để tính được các khoảng cách từ O đến mỗi dây, sau đó ứng dụng Pitago để tính bán kính . Bài 9 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD song song với nhau . Chứng minh AC = BD và AD = BC Tính khoảng cách từ tâm O đến AC biết khoảng cách từ O đến AM là 2cm, khoảng cách từ O đến CD là 4 cm . Hướng dẫn : a) Cần chứng minh ABDC là hình thang cân theo hướng hình thang có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy . b) Vẽ thêm CH vuông góc với AB và chú ý phải tính trong hai trường hợp AB và CD nằm ở hai phía điểm O, AB và CD nằm ở một phía điểm O Bài 10 : Cho hình thang vuông ABCD (AB^BC, DC^BC) . Vẽ nửa đường tròn đường kính AD cắt BC tại E và F . Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng : a) AD > AB + CD b) ÐAID > 900 c) BE = CF Hướng dẫn : a) AD = 2OE , OE > OI, OI là đường trung bình hình thang ABCD . b) OI cắt (O) tại H , có ÐAID =ÐAIO+ÐOID ; ÐAHD = ÐAHO+ÐOHD = 900 ; ÐAIO >ÐAHO, ÐOID>ÐOHD . Chứng minh BI = CI và EI = IF Tiết 3 : LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm được mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây trong một đường tròn . - Biết vận dụng mối liên hệ trên để so sánh độ dài hai dây, hai đoạn thẳng, so sánh các khoảng cách . - Rèn tính chính xác trong suy luận và chứng minh . B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm . hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 2 - Trong hai dây của một đường tròn, Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn . Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn . II - Câu hỏi trắc nghiệm : Câu 1 : Cho DABC có ÐA>ÐB>ÐC nội tiếp trong (O) . Kẻ OD, OE, OF theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB . Điều nào trong các điều sau đây đúng ? A) OD > OE > OF B) OD < OF < OE C) OD < OE < OF D) OE < OF < OD Câu 2 : Cho đường tròn (O ; R) với hai dây cung AB và CD có trung điểm lần lượt là H và K . Biết rằng ÐOHK = ÐOKH . Điều nào sau đây đúng ? A) AB > CD B) AB < CD C) AB = CD D) AB = 2 CD Câu 3 : Cho đường tròn (O ; R) và điểm I ở trong đường tròn này (I ¹ O) . Qua I vẽ dây MN như thế nào để MN có độ dài nhỏ nhất ? A) MN qua O B) MN tạo với OI góc 450 C) MN ^ OI D) MN tạo với OI góc 600 Câu 4 : Cho đường tròn (O ; 5cm) và dây CD . Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây CD có thể là : A) 4 cm B) 6 cm C) 7 cm D) 5 cm Câu 5 : Cho đường tròn (O ; 25cm) . Hai dây MN // PQ và có độ dài MN = 40cm, PQ = 48cm . Khi đó : Khoảng cách từ tâm O đến dây MN là : A) 15cm B) 7cm C) 20cm D) 24 cm Khoảng cách từ tâm O đến dây PQ là : A) 15cm B) 7cm C) 20cm D) 24 cm Khoảng cách giữa hai dây MN là : A) 22cm B) 8cm C) 22cm hoặc 8cm D) cả ba ý A, B, C đều sai . Câu 6 : Điền dấu , = thích hợp vào ô vuông . Cho đường tròn (O) và hai dây PQ, RS . hạ OH ^ PQ ; OK ^ RS . Khi đó: a) OH = OK ó PQ RS . b) OH OK ó PQ > RS c) OH > OK ó PQ RS Câu 7 : Điền dấu , = thích hợp vào ô vuông . Cho DABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O) có ÐA < ÐB < ÐC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Khi đó : a) OA OB OC b) sinA sinB sinC c) BC AC AB d) OM ON OP III - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 6 : So sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc ... Phương pháp chung : Để so sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc với nhau ta có thể sử dụng các định lý về mối quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, các bất đẳng thức trong tam giác, mối quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác ... Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD không song song nhau có độ dài theo thứ tự là 8cm và 10cm . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Hãy so sánh các góc OMN và ONM . Hãy so sánh diện tích hai tam giác OCD và OAB Giải : a) So sánh hai góc OMN và ONM Ta có AB =8cm < 12cm nên dây AB không qua tâm O Và CD = 10cm < 12cm nên dây CD không qua tâm O Vì AM = MB và CN = ND nên OM^AB và ON^CD Vì AB = 8 cm ON Do đó ÐONM > ÐOMN . b) So sánh diện tích của hai tam giác OCD và OAB Ta có các tam giác OCN và OAM vuông nên và Do đó ; Vì nên Vấn đề 7 : Chứng minh hai dây bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau Phương pháp chung : Để chứng minh hai dây bằng nhau hay các đoạn thẳng có liên quan đến các dây bằng nhau ta có thể chứng minh các dây đó cách đều tâm hay tổng các đoạn thẳng tạo nên đoạn thẳng đó bằng nhau . Ví dụ : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn . Chứng minh rằng : IO là tia phân giác của một trong các góc tạo bởi hai dây AB và CD . Điểm I chia AB và CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một . Giải : a) Chứng minh IO là phân giác góc DIB Ta vẽ OK^CD và OH^AB. Vì AB = CD nên OK = OH Do đó IO là tia phân giác của góc DIB ( O cách đều hai cạnh của góc đó) b) Chứng minh AI = CI ; DI = BI Xét DIKO và DIHO có OH = OK, OI chung, và ÐK=ÐH=900 nên DIKO = DIHO (ch - gn) Suy ra HI = KI . Mà AH = HB =(OH^AB) ; CK= KD =(OK^CD) Và AB = CD nên AH = HB = CK = KD Do đó AH - HI = CK - KI ; IK + KD = IH + HB Hay AI = CI ; DI = BI . IV - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai cát tuyến MAB và MCD (A nằm giữa M và B, C nằm giữa M và D) gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Cho biết ME < MF, hãy so sánh MB và MD Hướng dẫn : Chứng minh được OE > OF nhờ ME2 + OE2 = MF2 + OF2 = MO2 Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD song song nhau . So sánh khoảng cách từ tâm O đến hai dây AC và BD Hướng dẫn : Chứng minh ABDC là hình thang cân để có AC = BD Bài 3 : Cho DABC cân tại A (ÐA>600) nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi OD, OE, OF lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, BC, CA . So sánh : a) OD và OF b) OD và OE Hướng dẫn : a) chú ý AB = AC b) Chú ý điều kiện ÐA>600 và ÐB=ÐC Bài 4 : Cho góc xOy khác góc bẹt, hai cạnh Ox, Oy cắt đường tròn tâm M theo hai dây AB và CD sao cho AB > CD . Vẽ MH ^ AB tại H, MK ^ CD tại K . So sánh OH với OK . Hướng dẫn : Tương tự hướng dẫn bài 1 Bài 5 : Cho đường tròn (O) và các dây AB, CD bằng nhau . Các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh EO là tia phân giác của góc HEK . Tứ giác ABDC là hình gì ?Vì sao ? Hướng dẫn : a) DEHO=D EKO b) ABDC là hình thang cân Bài 6 : Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB . Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN . Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN . Chứng minh rằng : OC là phân giác góc AOB . OC vuông góc với AB . Hướng dẫn : Vẽ các đoạn thẳng OH, OK theo thứ tự vuông góc với AM , BN . Tiết 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm vững ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, các khái niệm tiếp tuyến, tiếp điểm, tính chất của tiếp tuyến, nắm được mối quan hệ giữa khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính của đường tròn với từng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . - Vận dụng các hệ thức để nhạn biết vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn . - Có thái độ chuẩn xác trong quá trình nhận biết . B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung . 2 - Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng a . Gọi d là khoảng cách từ tâm O với đường thẳng a (d = OH , OH ^a, H Î a) . Ta có ba vị trí tương ối của đường tròn (O ; R) với đường thẳng a như sau : a - Đường thẳng a cắt đường tròn (O ; R) ó số điểm chung : 2 ó d < R . Khi đó đường thẳng a được gọi là cát tuyến . b - Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O ; R) ó số điểm chung : 1 ó d = R . Khi đó đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R) và H gọi là tiếp điểm . c - Đường thẳng a và đường tròn (O ; R) không giao nhau ó số điểm chung : 0 ó d > R . 3 - Tính chất của một tiếp tuyến : Nếu đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm . II - Câu hỏi trắc nghiệm : Câu 1 : Điền vào chỗ trống (...) trong bảng sau : Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau .... d .... R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau .... d .... R Đường thẳng và đường tròn không giao nhau .... d .... R Câu 2 : Cho đường tròn (O ; 4cm) và một đường thẳng a cắt đường tròn tại hai điểm A và B . Gọi H là trung điểm của AB . Khi đó : A) OH = 4cm B) OH = 5cm C) OH 5cm . Câu 3 : Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2 ; 5) . Khi đó : Đường tròn (M ; 5) cắt trục Ox và tiếp xúc với trục Oy . Đường tròn (M ; 5) cắt hai trục Ox và Oy . Đường tròn (M ; 5) cắt trục Oy và tiếp xúc với trục Ox . Đường tròn (M ; 5) không giao nhau với hai trục Ox và Oy . Câu 4 : Một tam giác và một đường tròn có nhiều nhất mấy điểm chung : A) 2 B) 3 C) 6 D) 4 Câu 5 : Từ một điểm A trên đường tròn (O ; R), ta vẽ được mấy đường thẳng tiếp xúc với (O ; R) ? A) 1 B) 2 C) 0 D) Vô số Câu 6 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R), ta vẽ được mấy đường thẳng tiếp xúc với (O ; R) ? A) 1 B) 2 C) 0 D) Vô số Câu 7 : Từ một điểm A nằm trong đường tròn (O ; R), ta vẽ được mấy đường thẳng tiếp xúc với (O ; R) ? A) 1 B) 2 C) 0 D) Vô số Câu 8 : Cho hai đường tròn (O ; R) và (O ; r) với R > r và một đường thẳng a . Gọi d là khoảng cách từ O đến a . Hãy điền vào chỗ trống trong bảng sau đây : Ví trí của đường thẳng a với hai đường tròn (O;R) và (O; r) Hệ thức giữa d,R và r d > R Đường thẳng a cắt đường tròn (O ; R) và không giao nhau với đường tròn (O ; r) d = R Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O ; r) d < r Câu 9 : Hai tiếp tuyến d và d' của một đường tròn tại hai đầu mút của một đường kính có vị trí tương đối là : A) d ^ d' B) d º d' C) d // d' D) d cắt d' III - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 8 : Vị trí tương đối của một đường thẳng với một đường tròn . Phương pháp chung : Ta sử dụng mối quan hệ hai chiều của vị trí tương đối của đường tròn (O ; R) với đường thẳng bằng cách so sánh khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng với bán kính của đường tròn . Ví dụ : Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm . Vẽ đường tròn (A ; 13cm) . Chứng minh rằng đường tròn (A ; 13cm) có hai giao điểm với đường thẳng xy . Gọi B và C là hai giao điểm nói trên . Tính độ dài BC . Giải : a) Đường tròn (A ; 13cm) có hai giao điểm với đường thẳng xy Vẽ AH ^ BC, ta có AH = 12 cm < R = 13cm nên đường thẳng a cắt đường tròn (O ; 13cm) . Do đó đường thẳng xy có hai điểm chung với (A) b) Độ dài BC Vì AH ^BC nên BC = 2.CH và Do đó BC = 10cm Vấn đề 9 : Chứng minh, tính toán hình học : Phương pháp chung : Sử dụng tính chất vuông góc của tiếp tu