Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (tiết 2)

BẤT ĐẲNG THỨCVÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCTRƯỜNG THPT NGUYỄN DUMÔN TOÁN LỚP 10Giáo viên Đỗ Thị Bích Thủy1. Khái niệm và tính chất của bất đẳng thức. a) Khái niệm bất đẳng thức. Giả sử a, b là hai số thực. Các mệnh đề “a>b”;”ab và b>c  a>c. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a>b  a+c>b+c, c. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:a>b  ac>bc, c>0. a>b  acb và c>d  a+c>b+dChuyển vế:a+c>b  a>b−cNhân vế với vế của hai bđt dương cùng chiều:a>b≥0 và c>d≥0  ac>bd.Lũy thừa bậc chẵn hai vế của bất đẳng thức:a≥0, b≥0 và n*, ta có a>b  a2n>b2nKhai căn hai vế của bất đẳng thức:Ví dụ 1: Chứng minh với mọi x ta có: x2 > 2(x – 1) Ví dụ 2: Chứng minh nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì: (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)≤abc2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. Với mọi a, ta có: –|a|≤a≤|a|Với a>0, ta có: |x|0, ta có: |x|>a  xaVới a, b, ta có: |a|−|b|≤|a+b|≤|a|+|b|BẤT ĐẲNG THỨCVÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCVí dụ 3: Cho x, y, chứng minh |3–x+y|+|y|+|8–x|≥5 Giải.|3–x+y|+|y|+|8–x|≥|3–x+y|+|y+8–x| ≥|3–x+y|+|x – 8–y| ≥|3–x+y+x – 8–y| ≥|–5| = 5BẤT ĐẲNG THỨCVÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC3. Bất đẳng thức Cauchy. Cho a≥0 và b≥0, ta có:Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.Hãy chứng minh bất đẳng thức trên.Phát biểu bằng lời bất đẳng thức trên.Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương bất kỳ, chứng minh Giải.BẤT ĐẲNG THỨCVÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC3. Bất đẳng thức Cauchy. Hệ quả:Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.Chứng minh:Giả sử hai số dương x, y có tổng x + y = S không đổi.Khi đó:Do đó, tích xy đạt giá trị lớn nhất bằngkhi và chỉ khi x = y. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.Chứng minh:Giả sử hai số dương x, y có tích xy = P không đổi.Khi đó:Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằngkhi và chỉ khi x = y. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.Giải.Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x > 0.Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là BẤT ĐẲNG THỨCVÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC3. Bất đẳng thức Cauchy. Mở rộng, cho ba số a≥0, b≥0, c≥0, ta có:Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Giải. Vì a, b, c là ba số dương nên:Ví dụ 6: Chứng minh nếu a, b, c là ba số dương thìKhi nào xảy ra đẳng thức.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Làm bài tập trong sách Đại số 10 nâng cao trang 109 và 110