Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Hoạt động 1: Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ Ñaúng thöùc (2) ñuùng vôùi n = 1 Ta phaûi chöùng minh (2) cuõng ñuùng vôùi n=k+1, nghóa laø:Thaät vaäy:(đpcm)(gtqn)Vậy đẳng thức (2) đúng với mọi (2)Bài1: Chứng minh rằng với , ta có đẳng thức sau:Bài2: a) n3 + 3n2 +5n chia hết cho 3.Giải Với n=1 thì E1=9 3Giả sử En đúng với n = k ≥1 nghĩa là:Ek= k3+3k2+5k 3 (gtqn) Ta phải chứng minh Ek+1 3, tức là:Ek+1= (k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) 3 Thật vậy:Ek+1 = (k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) = k3+3k2+5k+3k2+9k+9= Ek+3(k2+3k+3)Theo giả thiết quy nạp thì Ek 3 ngoài ra 3(k2+3k+3) 3 nên Ek 3 (đpcm)Vậy Ek chia hết cho 3 với mọi Đặt En= n3 + 3n2 +5nBài2: b) 13n – 1 chia hết cho 6Đặt Fn = 13n – 1  Giả sử với n = k thì ta có: Fk =13k -1 6 (gtqn) Với n = 1 thì F1=131-1=12 6 Ta phải chứng minh : Fk+1 6, tức là:Fk+1 = 13k+1 -1 6Thật vậy:Fk+1 = 13k+1 -1 = 13.13k -13+12=13(13k - 1) + 12 =13Fk+12Theo giả thiết quy nạp thì Fk 6, ngoài ra 12 6nên Fk+1 6 (đpcm) Vậy Fn =13n – 1 chia hết cho 6GiảiBài3: Chứng minh rằng với mọi GiảiThật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có:(3) Với n=3 thì 33 > 8.3 => Bđt (3) đúng với n=3 Giả sử bđt (3) đúng với n=k > 3, nghĩa là::3k > 8k (gtqn) Ta phải chứng minh bđt (3) đúng với n=k+1, tức là3k+1 > 8(k+1) 3. 3k > 3.8k = 24k 3k+1 > 8k+8+16k-8 3k+1 > 8(k+1)+16k-8Do 16k-8 > 0 (với k ≥ 3) => 3k+1 > 8(k+1) (đpcm) Vậy 3n > 8n với mọi n ≥3 3k > 8k Trả lời:P(n): “ n ” n = 1 : 2 > 1 (Đ) n = 2 : 4 > 2 (Đ) n = 3 : 8 > 3 (Đ) n = 4 : 16 > 4 (Đ) n = 5 : 32 > 5 (Đ)b) nN* thì P(n) sai, vì khi n = 5 thì P(5) sai .b) Q(n) có đúng với nN* không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n .Bước 1:Bước 2:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ: n = kChứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.Bước3 : ( giả thiết quy nạp)., với k  1.Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên nN* ta thực hiện: