Bài giảng Giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học

Xét hai mệnh đề chứa biến : P(n): “3n n” với 3nSo sánhn + 100P(n) Đ/S ?n = 1n = 2n = 3n = 4n = 52nSo sánh nQ(n) Đ/S ?n = 1n = 2n = 3n = 4n = 531=3Đ1>92781243102103104105ĐĐĐS481632>>>ĐĐĐĐ2345PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCGiaùo vieân: PHAN HOÀNG HUEÄBAØI GIAÛNG :  I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng với mọi n mà không thử trực tiếp được ta tiến hành như sau: - B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).- B3:Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. II. VÍ DỤ ÁP DỤNG:1. Ví dụ 1:Chứng minh rằng với Giải:Đặt Sn= 1+2+3++nB1: n=1 VT= 1, VP = 1. Khi đó mệnh đề (1) đúng. B2: Giả sử mệnh đề (1) đúng với n= k ≥ 1 , nghĩa là: B3: Ta cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n= k+1, tức là chứng minh :Thật vậy: Sk+1 = Sk + (k+1)Vậy (1) đúng với mọi PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng mà không thử trực tiếp được ta tiến hành như sau: - B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng với mọi n mà không thử trực tiếp được ta tiến hành như sau: - B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.II. VÍ DỤ ÁP DỤNG:2. Ví dụ 2:Chứng minh với thì chia hết cho 3.Giải:Đặt An = B1: Với n = 1, ta có A1= 0 3B2:Giả sử với n = k ≥ 1 ta có : Ak = (k3 – k) 3 (GT quy nạp)B3: Ta cần chứng minh Ak+1 3 Thật vậy, ta có :Ak+1= (k+1)3 – (k+1)Theo giả thiết quy nạp ta có Ak 3Mặt khác:3( k2 + k) 3 Do đó: Ak+1 3Vậy thì chia hết cho 3.Chú ý:Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ p Ở bước 3, ta phải chứng minh nó đúng với n = k+1n 3n?8n12345Cho hai số 3n và 8n với n là số tự nhiên khác 0a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5b) Dự đoán kết quả tổng quát ?382481>32243>40b) Kết quả: 3n > 8n với mọiHướng dẫn:Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi B1: Với n = 3 thì 33 > 8.3 nên P(1) đúngB2: Giaû söû meänh ñeà ñuùng vôùi . Nghĩa là: 3k > 8k (giaû thieát quy naïp)B3:Ta phaûi chöùng minh meänh ñeà ñuùng vôùi n = k +1 Tức là chöùng minh 3k+1 > 8(k+1)Thật vậy:Vậy: 3n > 8n với mọi Bye bye!See you again !