Bài giảng Đại số và giải tích lớp 11 tiết 37: Phương pháp quy nạp toán học

CHƯƠNG III Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Dãy sốCấp số cộng Cấp số nhân§2.§3.§4. CHƯƠNG III Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân §1. Phương pháp quy nạp Toán học Chương II§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCTiết 37 CÁI RIÊNG CỤ THỂ CÁI CHUNG TỔNG QUÁTPHÉP QUY NẠPPHÉP SUY DiỄNPHƯƠNG PHÁP SUY LUẬNPHÉP SUY DiỄNPHÉP QUY NẠP“Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ ?Hãy cùng tìm hiểu về phương pháp quy nạp Toán học Có hai cách suy luận: “Suy diễn” và “Quy Nạp”Mối quan hệ giữa hai cách suy luận đó như thế nào ?Ph. Ăng-ghen “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”(1820-1895) Hoạt động 1: Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ >3n +1 ” và Q(n): “  n ” với nN* Xét hai mệnh đề chứa biến: ? ?Nhóm 1: Nhóm 2: P(n) : “ 3n > 3n+1 ”Q(n) : “ 2n > n ”Hoạt động nhómCác em sử dụng phiếu học tập số 1Nhóm 1: Tổ 1 & Tổ 2Nhóm 2: Tổ 3 & Tổ 4Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ” a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?b. Với mọi nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?Trả lời:P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ” n?3n+112345n?n12345b. Với mọi nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN* 39278124347101316281632543214ĐĐĐĐĐĐĐĐĐSCác em quan sát và trả lờiNhóm 1: Tổ 1 & Tổ 2Nhóm 2: Tổ 3 & Tổ 4Các nhóm cử đại diện trả lờiVới n =1;2;3;4;5P(n) SaiVới n =1;2;3;4;5Q(n) ĐúngGhi nhận: Muốn chứng tỏ một kết luận là SAI, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ Muốn chứng tỏ một kết luận là ĐÚNG, ta phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp Với nN* thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh.Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1:Bước 2:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học:Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.Bước3 :Các em chép phần này vào vởChứng minh rằng với nN* thì : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1)Giải: 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng. 2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có:Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 : Ví dụ 1:II. Ví dụ áp dụng :Sk+1=1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2Thật vậy: Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2 Vậy: (1) đúng với mọi nN*.1 1 + 3 =1 + 3 + 5 =1 + 3 + 5 + 7 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 =14= 229 = 3216= 4225 = 52 = 12+ 3+ 5+ 7+ 9n+...+(2n – 1)= n22.21.13.34.45.5.nMệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7+ + (2n – 1) = n2 Quan sát phần minh họa cho ví dụ 1Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.Giải :Đặt An = n3 – n (1)1) Với n = 1, ta có : A1= 03 2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có:Ak = (k3 – k)3 (giả thiết quy nạp)3) Ta chứng minh Ak+1...3Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1= (k3- k) +3(k2+k)= Ak+ 3(k2+k)Ak3 và 3(k2+k)...3 nên Ak+13 .Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*. Ví dụ 2: Ví dụ 2Các em chép phần này vào vởNhóm 2: I. Phương pháp quy nạp toán họcĐể chứng minh mệnh đề đúng với mọi nN* ta thực hiện theo các bước sau:B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)B3: Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1II. Ví dụ áp dụng:HOẠT ĐỘNG NHÓMCMR : Với mọi nN* có un = 13n –1 6Nhóm 1: CMR : Với mọi nN* có un = 10n – 4 3Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM Các em sử dụng phiếu học tập số 2Thật vậy:CMR : Với mọi nN* có un = 13n – 1 6 (2)uk+1 = 13k+1– 1 = 13k .13 –1= 13k.(12+1) – 1Với n = 1 ta có: u1 = 131 –1 =12 6 (Mệnh đề (2) đúng)Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: uk = 13k – 1 6 Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là : uk+1= 13k+1 – 1 6 = 12.13k +13k – 1Vậy với mọi nN*, ta có un = 13n – 1 6 (2)= 12.13k + uk Nhóm 1: Vì : 12.13k 6 và uk 6Chú ý theo dõi bài giảiThầy mời 2 nhóm cử đại diện trả lời Thật vậy:CMR : Với mọi nN* có un = 10n – 4 3 (3)uk+1 = 10k+1– 4 = 10k .10 – 4= 10k(1+9) – 4Với n = 1 ta có: u1 = 101 –1 = 9 3 (Mệnh đề (3) đúng)Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: uk = 10k – 4 3 Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1, tức là : uk+1= 10k+1 – 4 3 = 10k – 4 + 9.10kVậy với mọi nN*, ta có un = 10n – 4 3 (3)= uk+ 9.10k Nhóm 2: Vì : 9.10k 3 và uk 3Chú ý theo dõi bài giảiChú ý: Bài tập số 3 ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức : a) 3n > 3n + 1 b) 2n+1 > 2n + 3Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  2 (giả thiết quy nạp)Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .Bài tập này các em sẽ được hướng dẫn trong tiết luyện tập.Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp)Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .Các em ghi nhận phần chú ý quan trọng nàyCủng cố: Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ).Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  1 (hoặc với số tự nhiên bất kỳ n = k  p) (giả thiết quy nạp)Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu của bài toán để kết luận.Dặn dò:1/ Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp2/ Làm các bài tập 1& 2 trang 82 SGK.3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGKCác em chú ý nghe Thầy dặn để thực hiệnBaøi hoïc ñaõ KEÁT THUÙCNguyễn Thanh Lam - Tổ Toán –Tin – Trường THPT Thanh Bình