Bài giảng Đại số 11 NC Bài 1: phương pháp quy nạp toán học

Tập thể lớp 11A1 Trân trọng kính chào Thầy CôCHƯƠNG 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂNBÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.2.MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNGBÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC1. Phương pháp quy nạp toán học:Trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, ta thường gặp những bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n.Xét bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:? Hãy kiểm tra đẳng thức (1) khi n=1.Khi n=1, ta có: VT=2, VP=2Vậy,(1) đúng khi n=1.? Có thể kiểm tra đẳng thức (1) với mọi giá trị nguyên dương của n hay không?Trả lời: không thể.BÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC1. Phương pháp quy nạp toán học:Xét bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:Nhận thấy, ta có thể chứng minh khẳng định sau:Có nghĩa là:Nếu ta đã có:Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu (1) đã đúng khi n=k thì nó cũng đúng khi n=k+1.Thì ta cũng có:BÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC1. Phương pháp quy nạp toán học:Xét bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:Thật vậy, theo (2) ta có:Nhờ việc kiểm tra (1) đúng khi n=1 và kết quả vừa chứng minh,ta có thể suy ra (1) đúng với mọi giá trị nguyên dương của n.BÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC1. Phương pháp quy nạp toán học:Thật vậy, vì (1) đúng khi n=1 nên theo kết quả vừa chứng minh trên, nó cũng đúng khi n=1+1=2. Tương tự như thế,vì đúng khi n=2 nên nó sẽ đúng khi n=2+1=3; và do đã đúng khi n=3 nên nó phải đúng khi n=3+1=4 ; .Tiếp tục quá trình suy luận đó, ta đi đến kết luận (1) đúng với mọi giá trị nguyên dương của n. Bài toán được giải quyết. BÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCMột cách khái quát: Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của n, ta thực hiện 2 bước sau:Bước 1(bước cơ sở hay bước khởi đầu):Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng với giá trị nguyên dương nhỏ nhất của n, (thường là: n=1)Bước 2(bước quy nạp hay bước di truyền): Với k là một số nguyên dương tùy ý(k lớn hơn hoặc bằng giá trị của n đã kiểm tra ở bước 1) xuất phát từ giả thiết A(n) là một mệnh đề đúng khi n=k,chứng minh A(n) cũng là một mệnh đề đúng khi n=k+1.BÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC2. Một số ví dụ áp dụng:Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:GiảiTa sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n=k+1,tức làVới n=1,ta có: .Như vậy,(1) đúng khi n=1Giả sử đã có(1) đúng khi ,tức là ta có: Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có:Vậy, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.Ví dụ2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: chia hết cho 3.(2)GiảiVới n=1,ta có: .Như vậy,(2) đúng khi n=1Giả sử đã có(2) đúng khi ,tức là ta có: chia hết cho 3 .Ta sẽ chứng minh (2) cũng đúng khi n=k+1,tức là: cũng chia hết cho 3.Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có:Vậy, (2) đúng với mọi số nguyên dương n. chiahết cho 3.BÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC2. Một số ví dụ áp dụng:Ví dụ3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:GiảiTa sẽ chứng minh (3) cũng đúng khi n=k+1,tức làVới n=1,ta có: .Như vậy,(3) đúng khi n=1Giả sử đã có(3) đúng khi ,tức là ta có: Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có:Vậy, (3) đúng với mọi số nguyên dương n.BÀI1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCTa có: .Từ đây và giả thiết: chia hết cho 7, hiển nhiên suy ra chia hết cho 7.Một học sinh chứng minh mệnh đề:Với k là số nguyên dương tùy ý, nếu chia hết cho 7 thì cũng chia hết cho 7, như sau: Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được chia hết cho 7 với mọi số nguyên dương n hay không? Vì sao?Không thể ,vì chưa kiểm tra tính đúng đắn của mệnh đề khi n=1. Trong thực tế,ta còn gặp các bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương , trong đó p là một số nguyên dương cho trước. Trong trường hợp này,để giải quyết bài toán bằng phương pháp quy nạp,ở bước 1 ta cần chứng minh A(n) là mệnh đề đúng khi n=p và ở bước 2,cần xét giả thiết quy nạp với k là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng p.Công việc về nhà: Học bài + làm bài tập:2, 4, 6. SGK trang 100. TiẾT HỌC KẾT THÚCXIN CÁM ƠN QUÍ THẦY CÔ