7  phương  pháp  so  sánh  hai  phân  số

7  phương  pháp  so  sánh  hai  phân  số     Để  so   sánh  hai  phân  số  ngoài   cách  quy  đồng  mẫu  số  hoặc   tử   số,  trong  một  số  trường  hợp  cụ  thể,  tùy  theo  đặc  điểm  của  các  phân  số,  ta  còn  có  thể  so  sánh  bằng  một  số  phương  pháp  đặc  biệt  khác.   Phương  pháp  1.  Dùng  số  1  làm  trung  gian  Nếu   1a b >  và   1c d <  thì   a c b d > .   •  Khi  nào  thì  sử  dụng  phương  pháp  dùng  số  1  làm  trung  gian  ?  Ta  sử  dụng  phương  pháp  dùng  số  1  làm  trung  gian  khi  nhận  thấy  một  phân  số  có  tử  số  lớn  hơn  mẫu  số  và  phân  số  kia  có  tử  số  bé  hơn  mẫu  số.   Ví  dụ  1.  So  sánh  hai  phân  số   2017 2018  và   2016 2015 .  Ta  làm  như  sau:  Vì   2017 2018  <  1  và   2016 2015  >  1  nên   2017 2018  <   2016 2015 .   Phương  pháp  2.  Dùng  một  phân  số  làm  trung  gian   •  Khi  nào  thì  sử  dụng  phương  pháp  dùng  một  phân  số  làm  trung  gian  ?  Ta  sử  dụng  phương  pháp  dùng  một  phân  số  làm  trung  gian  để  so  sánh  hai  phân  số  trong  các  trường  hợp  sau:   -­‐  Nhận  thấy  tử  số  của  phân  số  thứ  nhất  bé  hơn  tử  số  của  phân  số   thứ  hai  và  mẫu  số  của  phân  số  thứ  nhất  lớn  hơn  mẫu  số  của  phân  số  thứ   hai.     Ví  dụ  2.  So  sánh  hai  phân  số   15 37  và  18 31 .    Ta  làm  như  sau:       Cách  1.  Xét  phân  số   trung  gian  15 31  (phân  số  này  có   tử  số   là   tử  số  của  phân  số  thứ  nhất,  có  mẫu  số  là  mẫu  số  của  phân  số  thứ  hai).  Vì   15 37  <  15 31  và  15 31  <  18 31  nên   15 37  <  18 31 .     Cách  2.  Xét  phân  số   trung  gian   18 37  (phân  số  này  có   tử  số   là   tử  số  của  phân  số  thứ  hai,  có  mẫu  số  là  mẫu  số  của  phân  số  thứ  nhất).  Vì  18 31  >   18 37  và   18 37  >   15 37  nên  18 31  >   15 37 .     -­‐  Nhận  thấy  tử  số  và  mẫu  số  của  phân  số  thứ  nhất  bé  hơn  tử  số  và   mẫu  số  của  phân  số  thứ  hai  nhưng  cả  hai  phân  số  đều  xấp  xỉ  (gần  bằng)   với  một  phân  số  nào  đó  thì  ta  chọn  phân  số  đó  làm  trung  gian.   Ví  dụ  3.  So  sánh  hai  phân  số   3 8  và   4 13 .    Ta   nhận   thấy   cả   hai   phân   số   3 8  và   4 13  đều   xấp   xỉ   1 3  nên   ta   dùng  phân  số   1 3  làm  trung  gian.     Ta  có:   3 3 1 8 9 3 > =  nên   3 1 8 3 >  (1);       4 4 1 13 12 3 < =  nên   4 1 13 3 <  (2).  Từ  (1)  và  (2)  suy  ra:   3 8  >   4 13 .     Phương  pháp  3.  So  sánh  “phần  thừa”  của  hai  phân  số  Nếu   a b  =  m  +  M;   c d  =  m  +  N  mà  M  >  N  thì   a b  >   c d .  M  và  N  theo  thứ  tự  gọi  là  “phần  thừa”  so  với  m  của  hai  phân  số  đã  cho.   •  Khi  nào  thì  sử  dụng  phương  pháp  so  sánh  “phần  thừa”  của  hai  phân  số  ?  Ta  sử  dụng  phương  pháp  so  sánh  “phần  thừa”  để  so  sánh  hai  phân  số  trong  các  trường  hợp  sau:   -­‐  Nhận  thấy  cả  hai  phân  số  đều  có  tử  số  lớn  hơn  mẫu  số  và  hiệu  của   tử  số  và  mẫu  số  của  hai  phân  số  đều  bằng  nhau  thì  ta  so  sánh  “phần  thừa”   so  với  1  của  hai  phân  số  đã  cho.   Ví  dụ  4.  So  sánh  hai  phân  số   79 76  và   86 83 .   Ta   làm   như   sau:   Ta   có:   79 31 76 76 = + ;   86 31 83 83 = + .   Vì   3 3 76 83 >  nên   79 76  >   86 83 .   Nhận   xét:   Nếu   hai   phân   số   có   “phần   thừa”   so   với   1   khác   nhau,  phân  số  nào  có  “phần  thừa”  lớn  hơn  thì  phân  số  đó  lớn  hơn.   -­‐  Nhận  thấy  cả  hai  phân  số  đều  có  tử  số  lớn  hơn  mẫu  số  và  nếu  lấy   tử  số  chia  cho  mẫu  số  ở  cả  hai  phân  số  thì  có  thương  bằng  nhau.   Ví  dụ  5.  So  sánh  hai  phân  số   43 14  và  10 3 .  Ta  làm  như  sau:    Lấy  tử  số  chia  cho  mẫu  số:  43  :  14  =  3  (dư  1);  10  :  3  =  3  (dư  1).  Chọn  phần  nguyên  của  thương  làm  số  chung  (có  3).  Thực  hiện  phép  trừ:   43 14  -­‐  3  =   1 14 ;  10 3  -­‐  3  =   1 3 .    Vậy  ta  có:   43 14  =  3  +   1 14 ;  10 3  =  3  +   1 3 .  Vì   1 3  >   1 14  nên   43 14  <  10 3 .     -­‐  Nhận  thấy  cả  hai  phân  số  đều  có  tử  số  bé  hơn  mẫu  số  và  nếu  lấy   mẫu  số  chia  cho  tử  số  ở  cả  hai  phân  số  thì  có  thương  bằng  nhau.   Ví  dụ  6.  So  sánh  hai  phân  số   13 41  và  19 71 .    Ta  làm  như  sau:    Lấy  mẫu  số  chia  cho  tử  số:  41  :  13  =  3  (dư  2);  71  :  19  =  3  (dư  14).  Chọn  mẫu  số  của  phân  số  chung  bằng  cách   lấy  phần  nguyên  của  thương  cộng  1:  3  +  1  =  4  (có   1 4 ).  Thực  hiện  phép  trừ:   13 41  -­‐   1 4  =   11 164 ;   19 71  -­‐   1 4  =   5 284 .    Vậy  ta  có:   13 41  =   1 4  +   11 164 ;  19 71  =   1 4  +   5 284 .    Vì:   5 284  <   11 11 284 164 <  nên  19 71  <   13 41 .   Loại  4.  So  sánh  “phần  thiếu”  của  hai  phân  số  Nếu   a b  =  m  -­‐  M;   c d  =  m  -­‐  N  mà  M  >  N  thì   a b  <   c d .   M  và  N  theo  thứ  tự  gọi  là  “phần  thiếu”  hay  “phần  bù”  so  với  m  của  hai  phân  số  đã  cho.   •  Khi  nào  thì  sử  dụng  phương  pháp  so  sánh  “phần  thiếu”  của  hai  phân  số  ?  Ta   sử   dụng   phương   pháp   so   sánh   “phần   thiếu”   để   so   sánh   hai  phân  số  trong  các  trường  hợp  sau:   -­‐  Nhận  thấy  cả  hai  phân  số  đều  có  tử  số  nhỏ  hơn  mẫu  số  và  hiệu  của   mẫu  số  và  tử  số  của  hai  phân  số  đều  bằng  nhau  thì  ta  so  sánh  “phần  thiếu”   so  với  1  của  hai  phân  số  đã  cho.   Ví  dụ  7.  So  sánh  hai  phân  số   42 43  và   58 59 .  Ta  làm  như  sau:    Ta  có:  1  -­‐   42 43  =   1 43 ;  1  -­‐   58 59  =   1 59 .  Vì   1 43  >   1 59  nên   42 43  <   58 59 .       Nhận  xét:  Nếu  hai  phân  số  có  “phần  bù”  tới  đơn  vị  khác  nhau,  phân  số  nào  có  “phần  bù”  lớn  hơn  thì  phân  số  đó  nhỏ  hơn.   -­‐  Nhận  thấy  cả  hai  phân  số  đều  có  tử  số  nhỏ  hơn  mẫu  số  và  nếu  lấy   mẫu  số  chia  cho  tử  số  ở  cả  hai  phân  số  thì  có  thương  bằng  nhau.   Ví  dụ  8.  So  sánh  hai  phân  số   2 5  và   3 7 .        Ta  làm  như  sau:    Lấy  mẫu  số  chia  cho  tử  số:  5  :  2  =  2  (dư  1);  7  :  3  =  2  (dư  1).  Chọn  mẫu   số   của   phân   số   chung   bằng   cách   lấy   phần   nguyên   của  thương  (có   1 2 ).        Thực  hiện  phép  trừ:   1 2  -­‐   2 5  =   1 10 ;   1 2  -­‐   3 7  =   1 14 .      Vậy  ta  có:   2 5  =   1 2  -­‐   1 10 ;   3 7  =   1 2  -­‐   1 14 .      Vì   1 10  >   1 14  nên   2 5  <   3 7 .         Phương  pháp  5.  Nhân  thêm  cùng  một  số  vào  hai  phân  số   •  Khi  nào   thì  sử  dụng  phương  pháp  nhân  thêm  cùng  một  số  vào  hai  phân  số  ?  Ta  sử  dụng  phương  pháp  nhân  thêm  cùng  một  số  vào  hai  phân  số  khi  nhận  thấy  tử  số  của  hai  phân  số  đều  bé  hơn  mẫu  số  và  nếu  lấy  mẫu  số  chia  cho  tử  số  thì  có  thương  và  số  dư  bằng  nhau.  Khi  đó  ta  nhân  cả  hai  phân  số  với  cùng  một  số  tự  nhiên  (là  phần  nguyên  của  thương)  để  đưa  về  dạng  so  sánh  “phần  bù”  đến  1.   Ví  dụ  9.  So  sánh  hai  phân  số   11 52  và   17 76 .      Ta  nhận  thấy  hai  phân  số  đã  cho  nếu  lấy  mẫu  số  chia  cho  tử  số  thì  đều  được  thương  là  4  và  số  dư  là  8  nên  ta  nhân  cả  hai  phân  số  với  4.  Ta  có:   11 444 52 52 × = ;   17 684 76 76 × = .  1  -­‐   44 52  =   8 52 ;  1  -­‐   68 76  =   8 76 .    Vì   8 52  >     8 76  nên   44 52  <   68 76  hay   11 52  <   17 76 .       Phương  pháp  6.  Thực  hiện  “phép  chia  hai  phân  số”  Phương  pháp  này   được   sử   dụng   dựa   vào   nhận   xét:   “Trong  phép   chia,  nếu  số  bị  chia  lớn  hơn  số  chia  thì  được  thương  lớn  hơn  1,  nếu  số  bị   chia  bé  hơn  số  chia  thì  được  thương  nhỏ  hơn  1”.   •  Khi  nào  thì  sử  dụng  phương  pháp  “chia  hai  phân  số”  ?  Ta  sử  dụng  phương  pháp  “chia  hai  phân  số”  khi  nhận  thấy  tử  số  và  mẫu  số  của  hai  phân  số  là  những  số  có  giá  trị  không  quá  lớn,  không  mất  nhiều  thời  gian  khi  thực  hiện  phép  nhân  ở  tử  số  và  mẫu  số.   Ví  dụ  10.  So  sánh  hai  phân  số   2 23  và   9 41 .      Ta  có:   2 23  :   9 41  =     2 41 82 23 9 207 × = .  Vì   82 207  <  1  nên   2 23  <   9 41 .       Phương  pháp  7.  Đảo  ngược  phân  số  để  so  sánh  Phương  pháp  này  được  sử  dụng  dựa  vào  nhận  xét:  “Trong  hai  phép   chia  có  số  bị  chia  bằng  nhau  (đều  bằng  1),  phép  chia  nào  có  số  chia  lớn  hơn   thì  có  thương  nhỏ  hơn”.   •  Khi  nào  thì  sử  dụng  phương  pháp  đảo  ngược  phân  số  ?  Ta  sử  dụng  phương  pháp  đảo  ngược  phân  số  khi  nhận  thấy  cả  hai  phân  số  đều  có  tử  số  bé  hơn  mẫu  số  và  nếu  lấy  mẫu  số  chia  cho  tử  số  thì   có  thương  và  số  dư  bằng  nhau.  Khi  đó  ta  đảo  ngược  phân  số  để  đưa  về  dạng  so  sánh  “phần  thừa”.   Ví  dụ  11.  So  sánh  hai  phân  số   21 89  và   2003 8017 .  Ta  nhận  thấy  hai  phân  số  đã  cho  nếu  lấy  mẫu  số  chia  cho  tử  số  thì  đều  được  thương  là  4  và  số  dư  là  5.  Ta  có:  1  :   21 89  =   89 21 ;  1  :   2003 8017  =   8017 2003 .  Mà   89 54 21 21 = + ;   8017 54 2003 2003 = + .  Vì   5 5 21 2003 >  nên   89 21  >   8017 2003 .  Suy  ra:   21 89  <   2003 8017 .       Bài  tập  tự  luyện:   1.  Không  quy  đồng  mẫu  số,  tử  số  hãy  so  sánh  hai  phân  số  sau:  a)   4005 4007  và  1999 1997 ;                      b)   25 49  và   35 71 ;                      c)     1997 2003  và   1995 2101 ;    d)   2007 2005  và   2005 2003 ;                    e)   13 27  và   7 15 .   2.  Hãy  so  sánh  hai  phân  số  sau:        a)   7777772 7777778  và   88888881 88888889 ;                              b)  1224364860 1734516885  và  1326395265 1836547290 .     3.  Không  quy  đồng  tử  số  hoặc  mẫu  số,  hãy  sắp  xếp  các  phân  số  sau  theo  thứ  tự  từ  bé  đến  lớn:  a)   26 15 ;   215 253 ;  10 10 ;   26 11 ;   152 253 .  b)   5 6 ;   1 2 ;   3 4 ;   2 3 ;   4 5 .  c)   3 2 ;   5 4 ;   6 5 ;   7 6 ;   8 7 ;   9 8  và  10 9 .    d)   15 22 ;   17 26 ;   19 30 ;   21 34 ;   23 38 ;   25 42 .  e)  12 13 ;   34 31 ;   11 14 ;   33 32 ;  15 15 .     4.  Hãy  so  sánh:  a)  A  =   2003 2004  +   2004 2005  và  B  =   2003 2004 2004 2005 + + .   b)  C  =   432143214321 999999999999  và  D  =   1231 1231 1231 1231 1997 19971997 199819982000 + + + + + .  c)  E  =   2006 2007 987654321 246813579 +  và  G  =   2007 2006 987654321 246813579 + .   5.  Không  tính  ra  kết  quả,  hãy  so  sánh:  a)  A  =   1 7  +   1 13  +   1 25  +   1 49  +   1 97  với   1 3 .  b)  B  =   1 11  +   1 12  +   1 13  +   1 14  +   1 15  +   1 16  +   1 17  +   1 18  +   1 19  +   1 20  với   1 2 .  c)  C  =   1 1 1 1 1 1... 21 22 23 24 79 80 + + + + + +  với   39 40 .  d)  D  =   2006 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2006 + + +  với  4.  e)  E  =   1 1 1 1 1... 4 9 16 25 4048144 + + + + +  với  1.