Bài giảng môn Toán lớp 7 - Phương trình lượng giác sử dụng cung liên kết

Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỤNG CUNG LIÊN KẾT I. Tóm tắt lí thuyết Dưới đây là các công thức lượng giác liên quan đến các cung liên kết mà trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác chúng ta thường hay sử dụng. 1. Hai cung đối nhau ( và  ).   os cos .c      tan tan .      sin sin .      ot cot .c     2. Hai cung bù nhau ( và   ).   sin sin .      tan tan .       os os .c c       cot cot .     3. Hai cung phụ nhau ( và 2   ).  sin os . 2 c            tan ot . 2 c            os sin . 2 c            cot tan . 2           4. Hai cung hơn kém nhau  ( và   ).   sin sin .       sin sin .       sin sin .       sin sin .     5. Hai cung hơn kém nhau 2  ( và 2   )  sin os . 2 c            tan ot . 2 c             os sin . 2 c             cot tan . 2            Chú ý: Cách ghi nhớ các công thức trên là: osc đối, sin bù, phụ chéo, tan cot hơn kém , hai cung sai kém 2  thì sin (cung lớn)= cos (cung nhỏ). II. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác 4 4 7 sin os cot cot . 8 3 6 x c x x x                 Giải Điều kiện: sin sin 0. 3 6 x x                Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 2 Phương trình đã cho tương tương với         4 4 4 4 2 2 2 2 2 7 sin os cot tan 8 3 3 7 sin os 8 1 os2 1 os2 7 2 2 8 7 1 os2 1 os2 2 7 2 1 os 2 2 1 os4 7 1 2 4 1 os4 . 2 12 2 x c x x x x c x c x c x c x c x c x c x k c x x k                                                         Các nghiệm đều thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậỵ phương trình đã cho có nghiệm là   . 12 2 k x k       Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác   9 tan 7 2 cot 3 0. 2 x x             Giải Điều kiện:   9 9 os 7 0;sin 0;cot 0. 2 2 c x x x                     Phương trình đã cho tương đương với   2 0 tan 0 tan 2 tan 3 0 1 0 2 3 0 3 0. t t x t x x t t t t                      Từ đó, ta có  tan 1 . 4 x x k k       Nghiệm vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là   . 4 x k k     Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 3 Ví dụ 3. Giải phương trình lượng giác 1 sin 2 cot 2sin . sin cos 122 x x x x x          Giải Điều kiện: sin 0,sin cos 0.x x x   Phương trình đã cho trở thành   2 cos 2sin cos 2cos 0 sin cos2 sin cos 2cos 0 sin cos2 sin cos sin sin 2 0 4 2 4cos 0 . sin 2 sin 2 4 2 4 3 x x x x x xx x x x xx x x x x k x x k k x x k x                                                  Đối chiếu với điều kiện của phương trình ta có 2 4 x k    ; 2 4 3 k x     ,  k Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 2 4 x k    ; 2 4 3 k x     ,  k Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác 1 1 5 cot 2cos . sin sin 2 2 x x x x          Giải Điều kiện : sin 2 0.x  Phương trình đã cho trở thành Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 4   2 2 1 1 cos 2sin 0 sin 2sin cos sin 1 2sin 1 2cos 0 sin 2sin cos os2 .2cos os2 0 2 2cos 4 1 os2 0 4 2 . 1 cos 22 3 x x x x x x x x x x x c x x c x x c x x k k x x k                                   Đối chiếu với điều kiện, các nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 4 2 x k     ; 2 3 x k     ,  k Ví dụ 5. Giải phương trình lượng giác 1 1 7 4sin . 3sin 4 sin 2 x x x                Giải Điều kiện : 3 sin 0;sin 0. 2 x x         Phương trình đã cho tương đương với       1 1 2 2 sin cos sin cos 1 sin cos 2 2 0 sin cos 2 2 sin sin 2 0 4 2 4 sin 0 4 . 81 sin 2 52 8 x x x x x x x x x x x k x x k k x x k                                                                  Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   . 8 4 k x k      Kiều Thị Thùy Linh – ĐH Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01656242615. 5 III. Bài tập tự luyện Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. 3sin 4sin 5sin 5 . 3 6 6 x x x                          . b. 4cos sin sin os2 6 6 x x x c x                c. 2 1 1 os2 1 3 sin 2 tan 2 2 c x x x           d.    2 4 2 5 2sin 4sin 1 sin 2 7cos 2 3cos 2 4 . 2 x x x x x           Đ/S: b).   2 . 5 k x k    c).   . 4 x k k      d).   . 8 4 k x k      Bài 2. Với giá trị nào của m để phương trình os 5 sin 2 c x m x        có nghiệm trong khoảng ; . 6 3        Đ/S: 5 1.m   