Bài giảng môn Toán lớp 12 - Bài 10: Phương trình mặt cầu

Chào mừng quý Thầy Cô đã đến dự giờ I : tâm của mặt cầu (S)I. MẶT CẦU:1. ĐỊNH NGHĨA:Trong không gian cho điểm I cố định và một số thực dương R (S) = {M / IM = R}R : bán kính của mặt cầu (S)Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I .MR2 . PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b ; c) và bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2a) ĐỊNH LÝ :M(x ; y ; z)(S)  IM2 = R2  IM = R  (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I .R. M* Chứng minh:Phương trình : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by –2cz + d = 0 * Nhận xét: (x – a)2 + (y – b )2 + (z – c)2 = a2 + b2 + c2 – d (với a2 + b2 + c2 – d > 0) là phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và bán kính R = b) HỆ QUẢ:* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là: x2 + y2 + z2 = R22 . PHƯƠNGTRÌNH MẶT CẦU: Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU OxyzR. IabcMặt cầu có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với mp(Oxy) HKK( a ; b ; 0 ) IK = OH = ?b) HỆ QUẢ:* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là: x2 + y2 + z2 = R2* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = c2 ( hoặc b2 ; a2)2 . PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU OxyzabcMặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với trục Oz. IRHKH( 0 ; 0 ; c )R = IH = OK = ?* Mặt cầu có tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với trục Ox (hoặc Oy ; Oz) có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = b2 + c2 hoặc (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = a2 + c2 hoặc (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = a2 + b2b) HỆ QUẢ:* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là: x2 + y2 + z2 = R2* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình : (x – a)2 + (y – b)2 +(z – c)2 = c2 ( hoặc b2 ; a2 )2 . PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: GiảiBán kính R = (x + 1)2 + (y – )2 + (z – 4)2 = 17 Vậy phương trình mặt cầu (S) là:a) (S) có tâm I( –1 ; ; 4) và tiếp xúc với trục Oyb) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; – 4) ; B(– 3 ; 0 ; –2)Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: GiảiTâm I của (S) là trung điểm của AB  I (0 ; 1; –3) Vậy phương trình mặt cầu (S): x2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 = 11AB. IBán kính R =II. GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 IH > RI .RHvà mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng () ()  (S) = Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU MII. GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 và mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng ()R.HKhi đó () gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và H gọi là tiếp điểm. IH = R ()  (S) = {H}I.Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU M IH R ()  (S) = Khi đó () gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và H gọi là tiếp điểm. IH = R ()  (S) = {H} IH < RKhi đó () cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C) có tâm là H và bán kính r =  ()  (S) = (C)Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0 và mặt phẳng () : 2x – 2y – z + 9 = 0a) Chứng tỏ () cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn (C)GiảiTa có d(I; ()) = = 6 < RDo đó () cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).Mặt cầu (S) có tâm I(3; –2; 1) , bán kính R = 10MRHrI .b) Tìm tâm và bán kính của (C)Ví dụ:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0 và mặt phẳng () : 2x – 2y – z + 9 = 0 Giảia) Chứng tỏ () cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C)Bán kính r = Giao điểm H của (d) và () ứng với giá trị t là nghiệm của phương trình: Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với () .Phương trình tham số của (d) là: (t R)2(3 + 2t) – 2(–2 – 2t) – (1 – t ) + 9 = 0  t = –2 Vậy: H (–1 ; 2 ; 3)MRHrI .Cám ơn quý Thầy Cô đã đến dự giờ