Tổng hợp kiến thức Toán Lớp 5

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 5 PHẦN MỘT SỐ VÀ CHỮ SỐ I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. Dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phảI khác 0 . 2. Có 10 số có 1 chữ số: (Từ số 0 đến số 9) Có 90 số có 2 chữ số: (từ số 10 đến số 99) Có 900 số có 3 chữ số: (từ số 100 đến 999) 3. Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. Không có số tự nhiên lớn nhất. 4. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. 5. Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 gọi là số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. 6. Các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 gọi là số lẻ. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. 7.Hai số chắn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị . 8.Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị . 9. Quy tắc so sánh hai số tự nhiên : a.Trong hai số tự nhiên ,số nào có nhiều chữ số hơn sẽ lớn hơn. b.Nếu hai số có chữ số bằng nhau thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn sẽ lớn hơn. ____________________________________________ PHẦN HAI CÁC BÀI TOÁN DÙNG CHỮ THAY SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Sử dụng cấu tạo thập phân của số 1.1. Phân tích làm rõ chữ số ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c Ví dụ: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho. Bài giải Bước 1 (tóm tắt bài toán) Gọi số có 2 chữ số phải tìm là (a > 0, a, b < 10) Theo bài ra ta có = a + b + a x b Bước 2: Phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và bên phải dấu bằng, rồi đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức đơn giản nhất. a x 10 + b = a + b + a x b a x 10 = a + a x b (cùng bớt b) a x 10 = a x (1 + b) (Một số nhân với một tổng) 10 = 1 + b (cùng chia cho a) Bước 3: Tìm giá trị : b = 10 - 1 b = 9 Bước 4 : (Thử lại, kết luận, đáp số) Vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9. Đáp số: 9 1.2. Phân tích làm rõ số = + b = + + c = + + + d = + ... Ví dụ : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta được một số lớn gấp 31 lần số cần tìm. Bài giải Bước 1: Gọi số phải tìm là (a > 0, a, b < 0) Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ta được số mới là . Theo bài ra ta có: = 31 x Bước 2: 2100 + = 31 x (phân tích số = 2100 + ) 2100 + = (30 + 1) x 2100 + = 30 x + (một số nhân một tổng) 2100 = x 30 (cùng bớt ) Bước 3: = 2100 : 30 = 70. Bước 4: Thử lại 2170 : 70 = 31 (đúng) Vậy số phải tìm là: 70 Đáp số: 70. 2. Sử dụng tính chất chẵn lẻ và chữ số tận cùng của số tự nhiên 2.1. Kiến thức cần ghi nhớ - Số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn. - Số có tận cùng là: 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. - Tổng (hiệu) của 2 số chẵn là một số chẵn. - Tổng (hiệu ) của 2 số lẻ là một số chẵn. - Tổng (hiệu) của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ. - Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ. - Tích có ít nhất một thừa số chẵn là một số chẵn. - Tích của a x a không thể có tận cùng là 2, 3, 7 hoặc 8. 2.2.Ví dụ: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ số hàng đơn vị của nó. Bài giải Cách 1: Bước 1: Gọi số phải tìm là (0 < a < 10, b < 10). Theo đề bài ta có: = 6 x b Bước 2: Sử dụng tính chất chẵn lẻ hoặc chữ số tận cùng. Vì 6 x b là một số chẵn nên là một số chẵn. b > 0 nên b = 2, 4, 6 hoặc 8. Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn Nếu b = 2 thì = 6 x 2 = 12. (chọn) Nếu b = 4 thì = 6 x 4 = 24. (chọn) Nếu b = 6 thì = 6 x 6 = 36. (chọn) Nếu b = 8 thì = 6 x 8 = 48. (chọn) Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48. Đáp số: 12, 24, 36, 48. Cách 2: Bước 1: Gọi số phải tìm là (0 < a < 10, b < 10) Theo đề bài ta có: = 6 x b Bước 2: Xét chữ số tận cùng Vì 6 x b có tận cùng là b nên b chỉ có thể là: 2, 4, 6 hoặc 8. Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn Nếu b = 2 thì = 6 x 2 = 12 (chọn) Nếu b = 4 thì = 6 x 4 = 24 (chọn) Nếu b = 6 thì = 6 x 6 = 36 (chọn) Nếu b = 8 thì = 6 x 8 = 48 (chọn) Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48. Đáp số: 12, 24, 36, 48. 3. Sử dụng kỹ thuật tính khi thực hiện phép tính 3.1. Một số kiến thức cần ghi nhớ Trong phép cộng, nếu cộng hai chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 1, nếu cộng 3 chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 2, 3.2. Ví dụ Ví dụ 1: Tìm = + + Bài giải = + + = (+) + (tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng) + - = +(tìm một số hạng của tổng) = + Ta đặt tính như sau: Nhìn vào cách đặt tính ta thấy phép cộng có nhớ sang hàng trăm. Mà đây là phép cộng hai số hạng nên hàng trăm của tổng chỉ có thể bằng 1. Vậy a = 1. Với a = 1 thì ta có: 100 = 11 + = 100 - 11 = 89 Vậy c = 8 ; b = 9. Ta có số = 198. Thử lại: 19 + 98 + 81 = 198 (đúng) Vậy = 198 Đáp số: 198. Ví dụ 2: Tìm số có 4 chữ số, biết rằng nếu xoá đi chữ số ở hàng đơn vị và hàng chục thì số đó sẽ giảm đi 1188 đơn vị. Bài giải Bước 1: (Tóm tắt) Gọi số phải tìm là (a > 0; a, b, c, d < 10) Khi xoá đi ta được số mới là 1188 + Theo đề bài ra ta có: = 1188 + Bước 2 : (Sử dụng kĩ thuật tính) Ta đặt tính như sau: Trong phép cộng, khi cộng 2 chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 1 nên chỉ có thể là 11 hoặc 12. - Nếu = 11 thì = 1188 + 11 = 1199. - Nếu = 12 thì = 1188 + 12 = 1200. Bước 3: (kết luận và đáp số) Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn đề bài là: 1199 và 1200. Đáp số: 1199 và 1200. 4. Xác định giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức: 4.1. Một số kiến thức càn ghi nhớ - Một số có 2; 3; 4; chữ số thì tổng các chữ số có giá trị nhỏ nhất là 1 và giá trị lớn nhất lần lượt là: 9 x 2 = 18; 9 x 3 = 27; 9 x 4 = 36; - Trong tổng (a + b) nếu thêm vào a bao nhiêu đơn vị và bớt đi ở b bấy nhiêu đơn vị (hoặc ngược lại) thì tổng vẫn không thay đổi. Do đó nếu (a + b) không đổi mà khi a đạt giá trị lớn nhất có thể thì b sẽ đạt giá trị nhỏ nhất có thể và ngược lại. Giá trị lớn nhất của a và b phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng (a + b). - Trong một phép chia có dư thì số chia luôn lớn hơn số dư. 4.2. Ví dụ: Tìm số có 2 chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là 6 và dư 5. Bài giải Bước 1: (tóm tắt) Gọi số phải tìm là (0 < a < 10, b < 10) Theo đề bài ra ta có: : b = 6 (dư 5) hay = b x 6 + 5. Bước 2: (Xác định giá trị lớn nhất nhỏ nhất). Số chia luôn lớn hơn số dư nên b > 5 vậy 5 < b < 10. Nếu b đạt giá trị lớn nhất là 6 thì đạt giá trị nhỏ nhất là 6 x 6 + 5 = 41. Suy ra a nhỏ hơn hoặc bằng 5. Vậy a = 4 hoặc 5. +) Nếu a = 4 thì = b x 6 + 5. +) Nếu a = 5 thì = b x 6 + 5. Bước 3: Kết hợp cấu tạo thập phân của số +) Xét = b x 6 + 5 40 + b = b x 6 + 5 35 + 5 + b = b x 5 + b + 5 35 = b x 5 b = 35 : 5 = 7 Ta được số: 47. +) xét = b x 6 + 5 50 + b = b x 6 + 5 45 + 5 + b = b x 5 + b + 5 45 = b x 5 b = 45 : 5 = 9 Ta được số: 59. Bước 4: (Thử lại, kết luận, đáp số) Thử lại: 7 x 6 + 5 = 47 (chọn) 9 x 6 + 5 = 59 (chọn) Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn yêu cầu của đề bài là: 47 và 59 Đáp số: 47 và 59 5. Tìm số khi biết mối quan hệ giữa các chữ số: Ví dụ: Tìm số có 3 chữ số, biét chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Bài giải Gọi số phải tìm là (0 < a < 10; b, c < 10). Vì a = 2 x b và b = 3 x c nên a = 2 x 3 x c = 6 x c, mà 0 < a < 10 nên 0 < 6 x c < 10. Suy ra 0 < c < 2. Vậy c = 1. Nếu c = 1 thì b = 1 x 3 = 3 a = 3 x 2 = 6 Vậy số phải tìm là: 631. Đáp số: 631 6. Phối hợp nhiều cách giải: Ví dụ: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 555. Bài giải Gọi số phải tìm là (a > 0; a, b, c < 10). Theo đầu bài ta có: + a + b + c = 555. Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy đây là phép cộng không có nhớ sang hàng trăm. Vậy a = 5. Khi đó ta có: + 5 + b + c = 555 500 + + 5 + b + c = 555 505 + + c + c = 555 + c x 2 = 555 - 505 + c x 2 = 50 Nếu c đạt giá trị lớn nhất là 9 thì đạt giá trị nhỏ nhất là : 50 - 9 x 2 = 32, do đó b > 2. Vì + c x 2 = 50 nên < 50 nên b < 5. Vì 2 < b < 5 nên b = 3 hoặc 4 Vì c x 2 và 50 đều là số chẵn nên b phải là số chẵn. Do đó b = 4. Khi đó ta có: 44 + c x 2 = 50 c x 2 = 50 - 44 c x 2 = 6 c = 6 : 2 = 3 Vậy = 543 Thử lại 543 + 5 + 4 + 3 = 555 (đúng) Vậy số phải tìm là: 543. Đáp số: 543 ______________________________________ PHẦN BA DÃY SỐ I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. Đối với số tự nhiên liên tiếp : a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ. b) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn số lượng số lẻ là 1. c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là 1. 2. Một số quy luật của dãy số thường gặp: a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d. b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1). g) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng tổng số hạng đứng liền trước nó cộng với số cộng với số chỉ thứ tự của số hang đó rồi cộng với số tự nhiên d . k) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó. P ) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng tổng số hạng đứng liền trước nó nhân với số tự nhiên d rồi nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó . c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó. h) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tích hai số hạng đứng liền trước nó. d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó. e) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. i) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tích của ba số hạng đứng liền trước nó. l) Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. m) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó. n) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự.s 3. Dãy số cách đều: a) Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều: Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1 (d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp) Ví dụ: Tính số lượng số hạng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, , 94, 97, 100. Ta thấy: 4 - 1 = 3 7 - 4 = 3 10 - 7 = 3 ... 97 - 94 = 3 100 - 97 = 3 Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là: (100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng) b) Tính tổng của dãy số cách đều: Ví dụ : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, , 94, 97, 100 là = 1717 ___________________________________________ PHẦN BỐN BẢNG ĐƠN VỊ ĐO Kiến thức cần ghi nhớ 1. Bảng đơn vị đo thời gian 1 giờ = 60 phút; 1 phút = 60 giây; 1 ngày = 24 giờ; 1 tuần = 7 ngày; 1 tháng có 30 hoặc 31 ngày ( tháng 2 có 28 hoặc 29 ngày) 1 năm thường có 365 ngày 1 năm nhuận có 366 ngày ( cứ 4 năm có một năm nhuận) 1 quý có 3 tháng; 1 năm có 4 quý. 1 thập kỉ = 10 năm; 1 thế kỉ = 100 năm; 1 thiên niên kỉ = 1000 năm. 2. Bảng đơn vị đo khối lượng Tấn Tạ yến kg hg(lạng) dag G 1 tấn = 10 tạ 1 tạ =10 yến 1 yến =10kg 1kg = 10hg 1hg=10dag 1dag = 10g 1g 1tấn=100yến 1 tạ =100kg 1 yến=100hg 1 kg=100dag 1hg=100g 1 tạ =tấn 1 yến =tạ 1kg = yến 1hg=kg 11dag=hg 1g=dag 3. Bảng đơn vị đo độ dài km hm dam m dm cm mm 1km=10hm 1 hm=10dam 1 dam=10m 1m = 10dm 1dm=10cm 1cm=10mm 1mm 1 hm= km 1dam =hm 1m=dam 1dm=m 1cm=dm 1cm=cm 4. Bảng đơn vị đo diện tích km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1km2 = 100 hm2 1 hm2 = 100 dam2 1dam2 = 100m2 1m2 = 100dm2 1dm2 = 100cm2 1cm2 = 100 mm2 1 m2 = dam2 = hm2 1dm2 = m2 1 cm2=dm2 = m2 ________________________________________ PHẦN NĂM BỐN PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VÀ SỐ THẬP PHÂN A. PHÉP CỘNG I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c) 3. 0 + a = a + 0 = a 4. (a - n) + (b + n) = a + b 5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2 6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2 7. Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n - 1) lần số hạng được gấp lên đó. 8. Nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (1 - ) số hạng bị giảm đi đó. 9. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ. 10. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số chẵn. 11. Tổng của các số chẵn là một số chẵn. 12. Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ. 13. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ. B. PHÉP TRỪ I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - c) - b 2. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi. 3. Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số đúng bằng (n -1) lần số bị trừ. (n > 1). 4. Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n - 1) lần số trừ. (n > 1). 5. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị. 6. Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị. C.PHÉP NHÂN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. a x b = b x a 2. a x (b x c) = (a x b) x c 3. a x 0 = 0 x a = 0 4. a x 1 = 1 x a = a 5. a x (b + c) = a x b + a x c 6. a x (b - c) = a x b - a x c 7. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi. 8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0) 9. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần. Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n) lần. (m và n khác 0) 10. Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại. 11. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn. 12. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0. 13. Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5. D. PHÉP CHIA I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0) 2. 0 : a = 0 (a > 0) 3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) 4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0) 5. Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần. 6. Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại. 7. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi. 8. Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần (n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm ) n lần. E. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải. Ví dụ: 542 + 123 - 79 482 x 2 : 4 = 665 - 79 = 964 : 4 = 586 = 241 2. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau. Ví dụ: 27 : 3 - 4 x 2 = 9 - 8 = 1 3. Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau Ví dụ: 25 x (63 : 3 + 24 x 5) = 25 x (21 + 120) =25 x 141 =3525 _______________________________________ PHẦN SÁU DẤU HIỆU CHIA HẾT I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2. 2. Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. 3. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. 4. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. 5. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4. 6. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25. 7. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8. 8. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125. 9. a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a > b) cũng chia hết cho m. 10. Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r. 11. a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a - b) chia hết cho m ( m > 0). 12. Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0). 13. Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0). Đồng thời m và n chỉ cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m x n. Ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1) nên 18 chia hết cho tích 2 x 9. 14. Nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m. 15. Nếu a chia cho m dư 1 thì a - 1 chia hết cho m (m > 1). _________________________________________ PHẦN BẢY PHÂN SỐ - TỈ SỐ PHẦN TRĂM PHÂN SỐ: I.Khái niệm phân số : 1. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a mẫu số bằng b (với a là số tự nhiên , b là số tự nhiên khác 0)ta viết.(đọc là: a phân b) a gọi là: tử số (tử số a chỉ số phần được lấy đi) b gọi là mẫu số (Mẫu số b chỉ số phần bằng nhau được chia ra trong một đơn vị) Phân số còn được hiểu là thương của phép chia a cho b 2. Mỗi số tự nhiên a có thể coi là phân số có mẫu số bằng 1: a = 3. Phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1 có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1 và có tử số băng mẫu số thì phân số bằng 1. 4. Nếu nhân cả tử số và mấu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho (n khác 0) 5. Nếu chia cả tử số và mấu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 gọi là rút gọn phân số thì được một phân số bằng phân số đã cho (n khác 0) 6.Phân số có mẫu số băng 10 ,100,1000,.gọi là phân số thập phân. 7.Nếu ta cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tư nhiên thì hiệu của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi. 8. Nếu ta trừ cả tử số và mẫu số của một phân số đi cùng một số tự nhiên thi hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi. 9. Nếu ta cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đI ở mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi. 9. Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi. II. TÍNH CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ 1. Khi ta cùng nhân hoặc cùng chia cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên lớn hơn 1, ta đươc một phân số mới bằng phân số ban đầu. = (với m # 0, n # 0) 2. Biểu diễn phân số trên tia số: Vẽ tia số, gốc là điểm 0, đoạn đơn vị là từ 0 đến 1. Căn cứ vào mẫu số, chia đoạn đơn vị ra những phần bằng nhau. Ghi phân số ứng với mỗi điểm chia (dựa vào tử số) + Trên tia số, các phân số bằng nhau được biểu diễn bởi một điểm duy nhất. + Trên tia số, với hai phân số khác nhau được biểu diễn bởi hai điểm khác nhau và điểm biểu diễn phân số lớn ở bên phải điểm biểu diễn phân số nhỏ. 3. Vận dụng tính chất cơ bản của phân số: 3.1. Phân số tối giản: - Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào khác 1. 3.2. Rút gọn phân số Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số tự nhiên lớn hơn 1 mà tử số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số đó, để được phân số mới có tử số và mẫu số nhỏ hơn tử số và mẫu số ban đầu và có giá trị bằng phân số ban đầu. Tổng quát: = (m > 1; a và b phải cùng chia hết cho m). được gọi là phân số tối giản khi c và d chỉ cùng chia hết cho 1 (hay c và d không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào khác 1) Chú ý: - Khi rút gọn phân số cần rút gọn đến phân số tối giản. Ví dụ: Rút gọn phân số . Cách làm: . - Rút gọn 1 phân số có thể được một phân số hay một số tự nhiên: Ví dụ: Rút gọn phân số Cách làm: . - Đối với phân số lớn hơn 1 có thể viết dưới dạng hỗn số Ví dụ: . + Dựa vào dấu hiệu chia hết hoặc phép thử chọn để tìm được một số tự nhiên nào đó (lớn hơn 1) mà cả tử số và mẫu số của phân số đã cho đều chia hết cho số đó. 3.3. Quy đồng mẫu số - Quy đồng tử số: a.Quy đồng mẫu số : Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. * Quy đồng mẫu số 2 phân số: và (b, d ) Ta có: Ví dụ: Quy đồng mẫu số 2 phân số và. Ta có: Trường hợp mẫu số lớn hơn chia hết cho mẫu số bé hơn thì mẫu số chung chính là mẫu số lớn hơn. Ví dụ: Quy đồng mẫu số 2 phân số và Cách làm: Vì 6 : 3 = 2 nên . Chú ý: Trước khi quy đồng mẫu số cần rút gọn các phân số thành phân số tối giản (nếu có thể) b.Quy đồng tử số:Muốn quy đồng tử số của 2 phân số, ta nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số của phân số thứ nhất. * Quy đồng tử số 2 phân số: và (a, b, c, d ) Ta có: Ví dụ: Quy đồng tử số 2 phân số và . . III. BỐN PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ 1. Phép cộng phân số 1.1. Cách cộng * Hai phân số cùng mẫu: * Hai phân số khác mẫu số: - Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số. * Cộng một số tự nhiên với một phân số. - Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho. - Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: 2 + 1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng - Tính chất giao hoán: . - Tính chất kết hợp: - Tổng của một phân số và số 0: 2. Phép trừ phân số 2.1. Cách trừ * Hai phân số cùng mẫu: * Hai phân số khác mẫu số: - Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số b) Quy tắc cơ bản: - Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số: (Với ) = (Với ) - Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số: = - Một phân số trừ đi số 0: 3. Phép nhân phân số 3.1. Cách nhân: 3.2. Tính chất cơ bạn của phép nhân: - Tính chất giao hoán: - Tính chất kết hợp: = - Một tổng 2 phân số nhân với một phân số: - Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số: - Một phân số nhân với số 0: 3.3. Chú ý: - Thực hiện phép trừ 2 phân số: Do đó: Do đó: Do đó: Do đó: - Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó. Ví dụ: Tìm của 6 ta lấy: Tìm của ta lấy: 4. Phép chia phân số 4.1. Cách làm: 4.2. Quy tắc cơ bản: - Tích của 2 phân số chia cho một phân số. - Một phân số chia cho một tích 2 phân số: - Tổng 2 phân số chia cho một phân số: - Hiệu 2 phân số chia cho một phân số: - Số 0 chia cho một phân số: - Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng. Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết số học sinh của lớp 5A là 10 em. Bài giải Số học sinh của lớp 5A là: 10 : (em) * Khi biết phân số của x bằng của y (a, b, c, d - Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy - Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy Ví dụ: Biết số nam bằng số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ. Bài giải Tỉ số giữa nam và nữ là : = . IV. SO SÁNH PHÂN SỐ A. SO SÁNH HAI PHÂN CÙNG MẪU SỐ CÙNG TỬ SỐ Cách 1: Phân số có cùng mẫu số ( SGK4 và SGK5)Ta so sánh 2 tử số . Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn. . Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn. . Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. # VD: Cách 2: Phân số có cùng tử số. (SGK5) . Phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn. . Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn. . Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. # VD: B. SO SÁNH HAI PHÂN KHÁC MẪU SỐ Cách 1: Quy đồng mẫu số rồi so sánh tử số ( SGK4 và SGK5) . Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số,ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của chúng Bước 1: Quyđồng mẫu số Bước 2: So sánh phân số vừa quy đồng VD 1: So sánh B1: Quy đồng mẫu số hai phân số ; B2: Vì 21 > 20 nên: VD 2: : So sánh và B1 : Ta có: B2 : Vì nên Cách 2: Quy đồng tử số rồi so sánh mẫu số. (SGK5) . Muốn so sánh hai phân số khác tử số,ta có thể quy đồng tử số hai phân số