Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

I/ Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số . 1/ Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên khoảng (a;b) ( a có thể là - , b có thể là +) ta làm như sau: + Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b). + Suy ra giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất cần tìm (nếu có). Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên đoạn ta làm như sau: Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn rồi dựa vào đó để kết luận. Cách 2: + Tìm các điểm tới hạn của f(x) trên đoạn . + Tính f(a), f(x), f(,...,f(), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên , . 2/ Các ví dụ minh hoạ: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= Giải: Hàm số xác định với và y>0 với , do đó y đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đồng thời với y2 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ta có: y2= Đặt sinx+ cosx = = t Thì y2= f(t) = = = Vậy y2= f(t) = = Bảng biến thiên : t - - -1 + - + 4-2 4+2 1 Từ bảng biến thiên ta có: = 4+2 ; = 1 ; Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= trên đoạn . Giải: Ta có : ==. = 0 Trên đoạn hàm số có các điểm tới hạn là , , . Do y()=, y()=, y()=, y(0) = 0, y() = 0 nên =0 và . Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn . Giải: Đặt x2 = t (). Khi đó y = = = Bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t) trên đoạn với f(t) = . Ta có : = -9t2 + 24t – 12 = 3(-3t2 + 8t - 4) = 0 Do , nên ta có bảng biến thiên của f(t) là: t 0 1 - 0 + 4 1 Vậy ==f= khi x= == f(0) = 4 khi x = 0. Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn . Giải: Ta có : = 0 x=1. Do y(-1) = 0, y(1) = , y(2) = nên = y(1) = , = y(-1) = 0. Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải: Ta có : Xét hàm số g(x) = . Hàm số có tập xác định D = R = 0 x2-1 = 0 Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau: x -1 1 - 0 + 0 - g(x) 0 1 -1 0 Từ bảng biến thiên ta thấy với Đặt t = , vì và nên . Khi đó hàm số y = f(t) = -2t2 + t + 2 có tập xác định Đạo hàm : = -4t +1 = 0 t = . Bảng biến thiên : t -sin1 sin1 + 0 - f(-sin1) f(sin1) Dựa vào bảng biến thiên ta có : đạt được khi t = -sin1 = sin(-1) x=1 đạt được khi t =