Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 Bài 1. (1,5 điểm) a) Cho biết: A = 9 + 3 và B = 9 - 3. Hãy so sánh A + B và A.B. b) Tính giá trị của biểu thức: Bài 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm3.Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Bài 3. (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp. b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH. d) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng: Bài 4. (2 điểm) Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2cm2, chu vi là 6cm và AB > AD. Cho hình chữ nhật này quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình gì? Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh của hình được tạo thành. ĐỀ SỐ 2 Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức K. b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0. Bài 2. (2 điểm) Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm. Bài 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 4. (2 điểm) Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly. ĐỀ SỐ 3 Bài 1. Cho hàm số: a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Chứng minh f(a) = f(- a) với c) Chứng minh . Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch? Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = 0 với x là ẩn số, m là tham số (1) a) Giải phương trình (1) khi m = - 1. b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại. Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, A = 450. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh: HD = DC. c) Tính tỉ số: . d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE. ĐỀ SỐ 4 Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P = - 1. c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có Bài 2. (2 điểm) a) Giải phương trình: x4 + 24x2 - 25 = 0 b) Giải hệ phương trình: Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn. b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì không đổi. c) DB.DC = DN.AC. Bài 4. Cho hình thoi ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Nối SA, SB, SC, SD. a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SBD). c) Tính SO, biết AB = 8 cm; . Bài 5. Chứng minh rằng: Nếu x, y là các số dương thì: Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi nào? ĐỀ SỐ 5 Bài 1. Cho . a) Tìm x để A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 2. a) Giải hệ phương trình b) Giải phương trình Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. a) Chứng minh BC // DE. b) Chứng minh các tứ giác CODE; APQC nội tiếp được. c) Tứ giác BCQP là hình gì ? Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng 24 cm và đường cao bằng 20 cm. a) Tính thể tích của hình chóp. b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ĐỀ SỐ 6 Bài 1: Cho đường thẳng (D) có phương trình: y = - 3x + m. Xác định (D) trong mỗi trường hợp sau: a) (D) đi qua điểm A(-1; 2). b) (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng . Bài 2: Cho biểu thức A = a) Tìm tập xác định của A. b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó. Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng. b) . C) Tứ giác APBQ nội tiếp. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ nửa đường thẳng AS vuông góc với mặt phẳng (ABC). Kẻ AM vuông góc với SB. a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Tính thể tích hình chóp SABC, biết AC = 2a; SA = h và . Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu x, y, z > 0 thỏa mãn thì . ĐỀ SỐ 7 Bài 1: Tìm x biết . Bài 2:Cho phương trình bậc hai 3x2 + mx + 12 = 0. (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại. Bài 3: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định. Bài 4:Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC, và cát tuyến AKD sao cho BD song song với AC. Nối BK cắt AC ở I. a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC. b) Chứng minh : IC2 = IK.IB c) Cho góc . Chứng minh cát tuyến AKD đi qua O. Bài 5 Biết rằng a, b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a.b = 1. Chứng minh: . HƯỚNG DẪN & ĐÁP SỐ ĐỀ 1 Bài 1. a) Ta có A + B = 18 và A.B = nên A = B. b) Bài 2. Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đã cho là x và y (x > 0; y > 0, tính bằng dm). Theo bài ra ta có hệ phương trình: (thỏa mãn điều kiện). Trả lời: Chiều cao của tam giác là 11 dm và cạnh đáy của tam giác là . Bài 3. a) Tứ giác AEMO có: A B O F E M P Q x y (AE là tiếp tuyến) (EM là tiếp tuyến) AEMO là tứ giác nội tiếp b) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (EM và EA là 2 tiếp tuyến) A B O F E M H x y K Tương tự, Tứ giác MPQO là hình chữ nhật c) Ta có ∆EMK ∆EFB (g.g) (0,25đ) Vì MF = FB (MF và FB là hai tiếp tuyến) nên: Mặt khác, ∆EAB ∆KHB (g.g) Nhưng Vì EM = EA (EM và EA là 2 tiếp tuyến) suy ra MK = KH d) ∆EOF vuông (). OM là đường cao và OM = R. Gọi độ dài 3 cạnh của ∆EOF là a, b, c. Ta có: Nhưng b + c > a Mặt khác b < a, c < a Tóm lại: Bài 4. (2 điểm). Hình được tạo thành là hình trụ. Số đo độ dài của AB và AD là các nghiệm của phương trình x2 - 3x + 2 = 0 Từ đó AB = 2cm và AD = 1cm. Thể tích hình trụ là V = πAD2.AB = 2π (cm3) và diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq = 2πAD.AB = 4π(cm2). ĐỀ 2 Bài 1. (2 điểm) a) (1 điểm) Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) b) (0,5 điểm) a = 3 + 2 = (1 + )2 (0,25đ) (0,25đ) c) (0,5 điểm) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2. (2điểm) a) (1 điểm) Khi m = 1 ta có hệ phương trình: b) Hệ phương trình vô nghiệm (*) vô nghiệm Bài 3. a) * Hình vẽ đúng * (giả thiết) A B M E C I O1 N * (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) * Kết luận: Tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp b) (1 điểm) Ta có: * sđ = sđ * *GócAchung,suyra∆AME ∆ACM. * Do đó: AM2 = AE.AC c) * MI là đường cao của tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB * Trừ từng vế của hệ thức ở câu b) với hệ thức trên * Ta có: AE.AC - AI.IB = AM2 - MI2 = AI2. d) * Từ câu b) suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME. Do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nằm trên BM. Ta thấy khoảng cách NO1 nhỏ nhất khi và chỉ khi NO1BM.) * Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được O1. Điểm C là giao của đường tròn đã cho với đường tròn tâm O1, bán kính O1M. Bài 4. (2 điểm) Phần nước còn lại tạo thành hình nón có chiều cao bằng một nửa chiều cao của hình nón do 8cm3 nước ban đầu tạo thành. Do đó phần nước còn lại có thể tích bằng thể tích nước ban đầu. Vậy trong ly còn lại 1cm3 nước. ĐỀ 3 Bài 1. a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: (hoặc | x | ≤ 2) Tập xác định là [-2; 2]. b) . Từ đó suy ra f(a) = f(- a) c) (vì 2≥ 0). Đẳng thức xảy ra . Giá trị nhỏ nhất của y là 2. Bài 2. * Gọi x,y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (điều kiện x,y ). * Theo giả thiết ta có phương trình x + y = 600 * Số sản phẩm tăng của tổ I là: (sp) * Số sản phẩm tăng của tổ II là: (sp) * Từ đó ta có phương trình thứ hai: * Do đó x và y thỏa mãn hệ phương trình: * Giải ra được x = 200 , y = 400 * So sánh điều kiện và kết luận. Bài 3.a) Khi m = - 1, phương trình đã cho có dạng b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆’ = m2 - (m - 1)3 > 0 (*) Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u2 thì theo định lí Vi-ét ta có: Từ (2) ta có u = m - 1, thay vào (1) ta được: (m - 1) + (m - 1)2 = 2m m2 - 3m = 0 m = 0 hoặc m = 3. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*), tương ứng với u = - 1 và u = 2. Bài 4. A B C D E H O x a) Ta có , suy ra tứ giác AEHD nội tiếp được trong một đường tròn. b) ∆AEC vuông có nên , từ đó ∆HDC vuông cân tại D. Vậy DH = DC. c) Do D, E nằm trên đường tròn đường kính BC nên , suy ra ∆AED ∆ACB, do đó: d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có , mà (cùng bù với ) do đó DE // Ax. Mặt khác, , vậy (đpcm). ĐỀ 4 Bài 1. a) Điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4 và x ≠ 9 b) P = - 1 khi và chỉ khi c) Bất phương trình đưa về dạng 4mx > x + 1 (4m - 1)x > 1 * Nếu 4m-1 ≤ 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9; Nếu 4m-1 > 0 thì nghiệm bất phương trình là . Do đó bất phương trình thỏa mãn với mọi x > 9 và 4m - 1 > 0. Ta có . Bài 2. a) Đặt t = x2, t ≥ 0, phương trình đã cho trở thành: t2 - 24t - 25 = 0, chú ý t ≥ 0 ta được t = 25. Từ đó phương trình có hai nghiệm x = - 5 và x = 5. b) Thế y = 2x - 2 vào phương trình 9x + 8y = 34 ta được: 25x = 50 x = 2. Từ đó ta có y = 2. Bài 3. A B C D O M N a) Do AB là đường kính đường tròn (O) mà (so le trong) (1) Mặt khác (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn đường kính CD. b) Khi điểm D di động trên đường tròn (O) thì tứ giác CBMD luôn là tứ giác nội tiép. Suy ra (đpcm). c) Do (giả thiết) (3) mặt khác (cùng chắn ) (4) Từ (3) và (4) suy ra ∆ACD ∆BDN Bài 4. a) SOmp(ABCD) (1) ABCD là hình thoi (giả thiết) (2) Từ (1) và (2) . b) mà SO nằm trong mp(SAC) . c) Trong tam giác vuông AOB có: A B C D O S . Trong tam giác cân ASC có SO là đường cao nên cũng là phân giác, suy ra . Trong tam giác vuông ASO có SO = AO.cotg300 = 4.cotg300. Vậy Bài 5. Ta có Vì x, y là các số dương nên x + y > 0. Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho x + y ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Chú ý: Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x, y và cho hai số dương , sau dó lí luận để nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta cũng có điều phải chứng minh. ĐỀ SỐ 5 Bài 1. a) A có nghĩa b) Bài 2. a) b) Ta có a + b + c = Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = . Bài 3. A B C D Q E P O a) Ta có . Do DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) , mà (giả thiết) DE // BC b) (vì DE là tiếp tuyến), (vì CE là tiếp tuyến) Suy ra . Do đó CODE là tứ giác nội tiếp. Mặt khác mà (giả thuyết) suy ra . Vậy APQC là tứ giác nội tiếp. c) Do APQC là tứ giác nội tiếp, suy ra (cùng chắn ) và (cùng chắn ) Do PQ // BC Vậy BCQP là hình thang. Bài 4. D A B C O S H d a) Trong tam giác vuông AOS có: OA2 = SA2 - SO2 = 242 - 202 = 176 Do SABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông, do đó ∆AOB vuông cân ở O, ta có: AB2 = 2.AO2 = 176.2 = 352 Do đó: SABCD = AB2 = 352(cm2) Vì vậy: b) Ta có: . Suy ra trong tam giác vuông SOH có: Do đó: Stp = Sxq + Sđ Bài 5. Vậy P ≥ 1, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: (x + 2009)(x - 2008) ≥ 0 . Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là 1. ĐỀ SỐ 6 Bài 1: a) Đường thẳng (D) đi qua điểm A(-1; 2) suy ra m - 3(-1) = 2m = - 1. b) Đường thẳng (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng . Bài 2: a) Ta có x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 ≥ 2 với mọi x . Do đó x2 + 2x + 3 ≠ 0 với mọi x . Suy ra tập xác định của A là . b) Ta có x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = -1. Áp dụng quy tắc so sánh: Nếu m, a, b > 0 thì . Ta có A = Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 1 khi x = -1. Bài 3. a) Ta có sđ = sđ sđ, ( thuộc đường tròn (O)). A B C D O O’ P Q n n’ Do đó =. Tương tự suy ra . b) Vì suy ra ,mà , cùng với suy ra . c) mà suy ra tứ giác APBQ là tứ giác nội tiếp. Bài 4: A B C S M 300 a) Ta có SA mp(ABC) (giả thiết) mà BC thuộc mp (ABC), suy ra BC AB, do đó BC mp(SAB). Vì AM thuộc mp (SAB), suy ra AM BC, mặt khác AM mp(SBC). b) Trong tam giác vuông ABC có: AB = AC.sin= 2a. sin 30o = 2a. = a; BC = AC.cos= 2a. cos 30o = . Do đó SABC = Vậy V = Bài 5: Sử dụng kết quả bài 5, đề số 4 cho các số dương x + y và x + z ta có: (1) Cũng theo kết quả bài đã nêu thì Do đó (2) Từ (1) và (2) suy ra (3) Tương tự ta có: (4) (5) Cộng từng vế của (3), (4), (5) ta có điều phải chứng minh. ĐỀ SỐ 7 Bài 1. Bài 2. 3x2 + mx + 12 = 0 (1) a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệtΔ > 0m2 - 4.3.12 > 0 (m - 12)(m + 12) > 0m > 12 hoặc m < -12 Vậy m > 12 hoặc m < -12 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Phương trình (1) có một nghiệm là 1a + b + c = 03 + m + 12 = 0 m = -15 Ta có x1.x2 = mà x1 = 1 . Vậy x2 = 4 Bài 3. Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y, với x > 0, y > 0; x tính bằng giờ, y tính bằng km/giờ. * Quãng đường AB dài là: x.y * Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì thời gian đi sẽ tăng lên 1 giờ nên ta có: (x + 1)(y - 4) = x.y-4x + y = 4 * Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nên ta có: (x - 2)(y + 14) = x.y14x - 2y = 28 Theo bài ra ta có hệ phương trình: Cộng từng vế của hai phương trình ta có: 6x = 36 x = 6 Thay x = 6 vào (1) ta có y = 28 Đáp số: Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/giờ. Bài 4. a) Vẽ dây BD // AC; nối DA cắt đường tròn (O) tại K. Ta có cát tuyến AKD thỏa mãn BD // AC. b) Xét hai tam giác BCI và KCI, ta có: A B C I D K O + (chung) + sđ(góc giữa tiếp tuyến và dây cung CK) sđ(góc nội tiếp chắn ), suy ra Vậy ΔBCI ΔCKI c) Ta có ΔCAB cân (AB = AC) và (1) Do BD // AC (so le trong) (2) Mặt khác, sđ(góc nội tiếp); sđ = 600 (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra hai tam giác BCD và BCA là các tam giác đềuABDC là hình thoi (tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)BCAD và D là điểm chính giữa DA đi qua O (đpcm) Bài 5. Vì ab = 1 nên Do a > b nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG PHÂN BAN I. Phần 1 : Các đề thi vào ban cơ bản Đề số 1 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K . Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân . Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K . Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đường tròn . Đề số 2 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đường tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , đường thẳng EC , DF cắt nhau tại P . Chứng minh rằng : BE = BF . Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C,D . Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vuông góc với EF . Tính diện tích phần giao nhau của hai đường tròn khi AB = R . Đề số 3 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho góc vuông xOy , trên Ox , Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là một điểm bất kỳ trên AB . Dựng đường tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N . Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB . Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi . Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất . Đề số 4 . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hình vuông ABCD , trên cạnh BC lấy 1 điểm M . Đường tròn đường kính AM cắt đường tròn đường kính BC tại N và cắt cạnh AD tại E . Chứng minh E, N , C thẳng hàng . Gọi F là giao điểm của BN và DC . Chứng minh Chứng minh rằng MF vuông góc với AC . Đề số 5 Câu 3 ( 2 điểm ) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm chuyển động trên đường tròn . Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AM cắt CM ở D . Chứng minh tam giác BMD cân Đề số 6 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm A,B . Từ một điểm M trên d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F là tiếp điểm ) . Chứng minh góc EMO = góc OFE và đường tròn đi qua 3 điểm M, E, F đi qua 2 điểm cố định khi m thay đổi trên d . Xác định vị trí của M trên d để tứ giác OEMF là hình vuông . Đề số 7 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lượt tại M , N . Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân . Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC . Tứ giác CMIN là hình gì ? Đề số 8 Câu1 ( 2 điểm ) Tìm m để phương trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt . Câu 3 ( 1 điểm ) Cho x , y là hai số dơng thoả mãn x5+y5 = x3 + y3 . Chứng minh x2 + y2 1 + xy Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AD . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đường tròn (O) tại E . Chứng minh : DE//BC . Chứng minh : AB.AC = AK.AD . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành . Đề số 9 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O1) , (O2) lần lượt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD . Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông . Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đường tròn E là trung điểm của IJ , đường thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E. Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất . Đề số 10 Câu 3 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB , AC lần lượt tại E và F . Chứng minh B , C , D thẳng hàng . Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn . Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . Đề số 11 Câu 3 ( 3 điểm ) Cho hình bình hành ABCD , đường phân giác của góc BAD cắt DC và BC theo thứ tự tại M và N . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC . Chứng minh các tam giác DAM , ABN , MCN , là các tam giác cân . Chứng minh B , C , D , O nằm trên một đường tròn . Câu 4 ( 1 điểm ) Cho x + y = 3 và y . Chứng minh x2 + y2 Đề số 12 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Kẻ đường cao AH , gọi trung điểm của AB , BC theo thứ tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của của B , C trên đường kính AD . Chứng minh rằng MN vuông góc với HE . Chứng minh N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF . Đề số 13 Câu 1 ( 2 điểm ) Câu 4 ( 3 điểm ) 1) Cho tứ giác lồi ABCD các cặp cạnh đối AB , CD cắt nhau tại P và BC , AD cắt nhau tại Q . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt nhau tại một điểm . Cho tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp . Chứng minh Câu 4 ( 1 điểm ) Cho hai số dơng x , y có tổng bằng 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : Đề số 14 Câu 3 ( 2 điểm ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức : là nguyên . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F . Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp . Chứng minh góc CAE bằng góc MEB . Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB Đề số 15 Câu 4 ( 2 điểm ) Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đường cao kẻ từ đỉnh A . Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M . Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đường cao AH tại F . Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N . Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD . Chứng minh EF // BC . Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN . Đề số 16 Câu 4 ( 3.5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đường tròn . c) AC song song với FG . d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . Đề số 17 Câu 4 ( 4 điểm ) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm . Vẽ về cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB các nửa đường tròn đường kính theo thứ tự là AB , AC , CB có tâm lần lượt là O , I , K . Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E . Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm cuae EA , EB với các nửa đường tròn (I) , (K) . Chứng minh : a) EC = MN . b) MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I) và (K) . c) Tính độ dài MN . d) Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đường tròn . Đề số 18 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 2) Chứng minh 3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . Đề số 19 Câu 4 ( 3 điểm ) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Câu 5 ( 1 điểm ) Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2 . Đề số 20 Câu 4 ( 3 điểm ) Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M ¹ B ; M ¹ C ) . Gọi D , E , F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 1) Chứng minh : a) MECF là tứ giác nội tiếp . b) MF vuông góc với HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . II. Các đề thi vào ban tự nhiên Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1999 Đại học khoa học tự nhiên. Cho vòng tròn (C) và điểm I nằm trong vòng tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN, EIF. Gọi M’, N’, E’, F’ là các trung điểm của IM, IN, IE, IF. a) Chứng minh rằng : tứ giác M’E’N’F’ là tứ giác nội tiếp. b) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi. c) Giả sử I cố định, các day cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’ có diện tích lớn nhất. Các số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp Cho D ABC đều. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có MA ≤ MB + MC. Cho Ð xOy cố định. Hai điểm A, B khác O lần lượt chạy trên Ox và Oy tương ứng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đI qua một điểm cố định. Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m > n và m không chia hết cho n. Biết rằng số dư khi chia m cho n bằng số dư khi chia m + n cho m – n. Hãy tính tỷ số . Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q là các điể