SKKN Một số giải pháp hay của giáo viên "không chuyên" trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS Sùng Phài - Cấn Xuân Khanh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM ĐƯỜNG TRƯỜNG THCS SÙNG PHÀI THUYẾT MINH SÁNG KIẾN Một số giải pháp hay của giáo viên "không chuyên" trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS Sùng Phài. Tác giả: CẤN XUÂN KHANH Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm kỹ thuật công nghiệp – Tin học Chức vụ: Tổ phó tổ tự nhiên Nơi công tác: Trường THCS Sùng Phài – huyện Tam Đường – tỉnh Lai Châu Sùng Phài, ngày 19 tháng 03 năm 2018 I. THÔNG TIN CHUNG 1. Tên sáng kiến Một số giải pháp hay của giáo viên “không chuyên” trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS Sùng Phài. 2. Tác giả Họ và tên: Cấn Xuân Khanh Năm sinh: 1982 Nơi thường trú: Số nhà 031 – Tổ 10 – Phường Đoàn Kết – TP. Lai Châu – tỉnh Lai Châu Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm kỹ thuật công nghiệp – Tin học Chức vụ công tác: Tổ phó tổ Tự nhiên Nơi làm việc: Trường THCS Sùng Phài – huyện Tam Đường – tỉnh Lai Châu Điện thoại: 01655851968 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100% 3. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: môn Toán 6 4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 06 tháng 09 năm 2018 đến ngày 31 tháng 5 năm 2018. 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THCS Sùng Phài – huyện Tam Đường – tỉnh Lai Châu Địa chỉ: Bản Cư Nhạ La – xã Sùng Phài – huyện Tam Đường – tỉnh Lai Châu Điện thoại: 02113.751.789 Email: c2sungphaitd.laichau@moet.edu.vn II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến “Một số giải pháp hay của giáo viên “không chuyên” trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS Sùng Phài” Lúc sinh thời Chủ tịch Hồ Chí Minh kính yêu của dân tộc Việt Nam có dạy: "Dù khó khăn đến đâu cũng phải cố gắng thi đua dạy thật tốt, học thật tốt". Thực hiện lời dạy của Bác, cán bộ giáo viên nhân viên trong nhà trường nói chung và bản thân tôi nói riêng luôn quyết tâm phấn đấu thi đua dạy thật tốt góp phần xây dựng nhà trường ngày càng trong sạch, vững mạnh, chất lượng giáo dục mũi nhọn năm sau phải cao hơn năm trước. Đứng trước cơ hội và thử thách lớn lao, bản thân tôi luôn tự nhủ phải đẩy mạnh công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường để góp phần nhỏ bé của mình nhằm nâng cao chất lượng giáo dục học sinh. Trên cơ sở đó, đã thôi thúc tạo cho tôi một động lực là mạnh dạn đăng ký và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6. Trong quá trình thực hiện, tôi luôn nghĩ phải tìm cho mình một giải pháp, một hướng đi, một phương pháp dạy học phù hợp và có hiệu quả nhất đối với học sinh, đó chính là sáng kiến kinh nghiệm: "Một số giải pháp hay của giáo viên không chuyên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS Sùng Phài". 2. Phạm vi triển khai thực hiện Học sinh tham gia bồi dưỡng môn Toán 6 ở trường THCS Sùng Phài – huyện Tam Đường – tỉnh Lai Châu. 3. Mô tả sáng kiến 3.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến 3.1.1. Thực trạng - Xã Sùng Phài có diện tích 2102 ha với tổng số hộ 413 hộ gia đình bằng 2007 nhân khẩu với 03 dân tộc anh em sinh sống trên địa bàn đó là H’mông, Dao, Kinh. Trong đó, dân tộc H’mông là 287 hộ bằng 1328 nhân khẩu chiếm 66,2%; dân tộc Dao 126 hộ bằng 675 khẩu chiếm 33,6%, dân tộc Kinh chiếm 4 khẩu bằng 0,2%; Tỷ lệ hộ nghèo toàn xã là 126 hộ bằng 546 khẩu chiếm 27,2%. Xã Sùng Phài gồm 8 bản, bản xa nhất cách trung tâm khoảng 12 km, giao thông đi lại gặp nhiều khó khăn nhất là những ngày mưa, gió rét. Trong những năm qua, kết quả thi học sinh giỏi cấp huyện ở trường THCS Sùng Phài đối với các bộ môn nói chung và môn Toán 6 nói riêng đạt điểm rất thấp, có rất ít học sinh đạt giải môn văn hóa thi cấp huyện. Đó là một trong những băn khoăn, trăn trở lớn nhất của tôi về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Bản thân tôi đã công tác ở trường THCS Sùng Phài được 13 năm nay, là một giáo viên tâm huyết tôi cũng đã nhận thấy được một số thuận lợi và khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường như sau: a. Thuận lợi Được sự quan tâm và sự chỉ đạo sát sao của Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường và các đoàn thể đã luôn ủng hộ, quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, kịp thời động viên, góp ý kiến xây dựng về công tác chuyên môn. Từ đầu năm học nhà trường đã xây dựng kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi cho các khối 6,7,8,9. Nhà trường đã khảo sát, lựa chọn học sinh trong đội tuyển và phân công những giáo viên có trình độ, năng lực, nhiệt tình phụ trách các môn bồi dưỡng theo quy định. Các em học sinh được chọn vào đội tuyển đều chăm ngoan, tinh thần học tập và rèn luyện tương đối tốt. Bản thân còn trẻ, nhiệt tình, trách nhiệm với công việc được giao. Khoảng cách từ nhà đến trường là 2 km nên cũng rất thuận lợi trong quá trình đi lại để bồi dưỡng học sinh giỏi. Nhà trường có đầy đủ phòng học cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Môn Toán lớp 6 là một môn cơ bản và quan trọng trong các môn học, được đưa vào đầu cấp trung học cơ sở nên là một trong những điều kiện thuận lợi để giáo viên bồi dưỡng và học sinh nắm bắt những cơ hội tạo tiền đề học tốt môn Toán 6 ngay từ đầu cấp, tạo sự liên thông giữa Toán 6 và Toán 7,8,9. Là một giáo viên Công nghệ song bản thân tôi cũng có một chút kiến thức về môn Toán. Bên cạnh đó trong nhà trường còn có 02 đồng chí giáo viên cũng thuộc chuyên ngành Toán nên rất thuận lợi trong quá trình trao đổi kiến thức bồi dưỡng. b. Khó khăn Học sinh trường THCS Sùng Phài chủ yếu là người dân tộc H’Mông và Dao, điều kiện kinh tế xã hội còn gặp rất nhiều khó khăn và thiếu thốn, nhận thức của các hộ gia đình và học sinh còn nhiều hạn chế, các em trong độ tuổi đi học thường phải ở nhà lên nương làm rẫy, chăn trâu, lấy củi nên gặp rất nhiều khó khăn trong việc học tập nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 6 nói riêng. Là một trong những kiến thức khoa học tự nhiên đòi hỏi học sinh tham gia bồi dưỡng phải hình thành được kỹ năng giải toán cơ bản về các dạng chuyên đề của môn Toán nói chung và Toán 6 nói riêng. Bản thân tôi là một giáo viên Công nghệ không chuyên môn Toán nên về phương pháp, kiến thức đôi khi cũng còn gặp nhiều khó khăn về nhiều dạng Toán nâng cao. Nhận thức của một vài gia đình nhiều khi còn hạn chế trong việc cho con đi học, bồi dưỡng. 3.1.2. Đánh giá về các giải pháp cũ đã thực hiện a. Ưu điểm - Đã có sự quan tâm, chỉ đạo sát sao của Ban giám hiệu trường THCS Sùng Phài và các đoàn thể trong nhà trường về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. - Đã có kế hoạch bồi dưỡng. - Đã bố trí thời gian bồi dưỡng cho học sinh vào các buổi chiều. b. Nhược điểm - Chưa có tầm nhìn về công tác bồi dưỡng, kế hoạch bồi dưỡng chưa chi tiết, nội dung bồi dưỡng còn mơ hồ, lan man, dàn trải cả chương trình; tài liệu tham khảo chưa phù hợp. - Giáo viên chưa đầu tư thời gian vào nghiên cứu nội dung bồi dưỡng. - Thời gian bồi dưỡng trên trường còn quá ít, giáo viên bồi dưỡng nói chung còn chưa nhiệt tình trong công tác bồi dưỡng. - Thời gian bồi dưỡng nhiều khi hay trục trặc, thậm chí có buổi bồi dưỡng các em còn không đến được vì nhà xa, ở nhà phải phụ giúp gia đình. - Một số kiến thức nâng cao khó hiểu, trừu tượng nên học sinh tham gia bồi dưỡng cũng gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí còn nản, không muốn đi ôn luyện tiếp. 3.2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến 3.2.1. Tính mới của sáng kiến - Giáo viên phải nhiệt tình, tâm huyết trong công tác bồi dưỡng, có sự đầu tư về thời gian, các bài tập được viết theo chuyên đề, theo dạng bài dễ hiểu, phương pháp bồi dưỡng phù hợp và thường xuyên quan tâm động viên đến học sinh cố gắng phấn đấu. - Nội dung bồi dưỡng chủ yếu phải trọng tâm, trọng điểm, không lan man dàn trải, được viết có chọn lọc theo các dạng bài của từng chuyên đề mang tính cô đọng, hiệu quả, dễ hiểu đối với học sinh. - Sử dụng phương pháp bồi dưỡng phải thích hợp với đối tượng học sinh đi từ nội dung kiến thức đơn giản rồi mới đến kiến thức nâng cao phức tạp sao cho học sinh dễ hiểu và hứng thú học. - Quá trình bồi dưỡng luôn luôn kiểm tra mạch kiến thức, kiểm tra bài tập về nhà của học sinh, chữa bài tập nhằm mục đích cho học sinh bồi dưỡng ghi nhớ chắc kiến thức, phân biệt được các dạng bài của từng chuyên đề và cách giải đối với từng dạng bài tập. 3.2.2. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ Giải pháp cũ Giải pháp mới Chưa có tầm nhìn về công tác bồi dưỡng, chưa có mục đích bồi dưỡng, chưa có kế hoạch bồi dưỡng chi tiết, nội dung bồi dưỡng còn mơ hồ, lan man, dàn trải cả chương trình; tài liệu tham khảo chưa phù hợp, thời gian bồi dưỡng trên trường còn quá ít và chưa nhiệt tình cho công tác bồi dưỡng Có tầm nhìn, có định hướng, có kế hoạch xây dựng chi tiết, các kiến thức bồi dưỡng bám sát vào khung bồi dưỡng học sinh giỏi của Sở GD&ĐT, đã có sự chọn lọc theo các dạng bài của từng chuyên đề, trong quá trình bồi dưỡng nhiệt tình, trách nhiệm, hy sinh và tâm huyết với công việc, quá trình bồi dưỡng khoa học Giáo viên đã quan tâm, tìm hiểu hoàn cảnh cụ thể của HS để có biện pháp phù hợp Rèn luyện được ý thức tự giác tự học ở nhà của HS, rèn cho HS cách ghi nhớ có chọn lọc, hiểu cách giải của từng dạng bài tập. 3.2.3. Các giải pháp đã được thực hiện 1. Giải pháp 1 Phải có tầm nhìn tổng quan về học sinh lớp 6 để chọn đội tuyển tham gia bồi dưỡng; 2. Giải pháp 2 Phải thật sự tâm huyết, nhiệt tình, trách nhiệm, biết hy sinh với công việc, phải có sự đầu tư miệt mài về thời gian để nghiên cứu các dạng bài tập hay về bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (vì giáo viên không chuyên); 3. Giải pháp 3 Phải nắm chắc khung bồi dưỡng, giới hạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 của Sở GD&ĐT ban hành để phù hợp với đối tượng học sinh theo vùng miền; Ví dụ: Đến tháng 01 hàng năm thi cấp huyện nội dung từ Chương I: Tập hợp, số phần tử của tập hợp cho đến hết Chương II: Số nguyên; về hình học từ chương I: Điểm, đường thẳng cho đến trung điểm của đoạn thẳng. 4. Giải pháp 4 Sưu tầm các tài liệu có liên quan về nội dung bồi dưỡng môn Toán lớp 6. Một số tài liệu cụ thể dưới đây: 5. Giải pháp 5 Chọn lọc và xây dựng các chuyên đề, dạng bài trọng tâm bám sát khung bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 sao cho phù hợp. Cụ thể như sau: 5.1. Chuyên đề 1. Dãy các số viết theo quy luật 5.1.1. Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy được viết theo quy luật a) 3, 8, 15, 24, 35, Hướng dẫn giải: Dãy số trên được viết dưới dạng: 1 . 3; 2 . 4; 3 . 5; 4 . 6; 5 . 7;.. Dãy 1 là 1, 2, 3, 4, 5, Dãy 2 là 3, 5, 7, . Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 100 . 102 = 10200 b) 3, 24, 63, 120, 195, Hướng dẫn giải: Dãy số trên được viết dưới dạng: 1 . 3; 4 . 6; 7 . 9; 10 . 12; 13 . 15;. Dãy 1 là: 1, 4, 7, 10, 13, Dãy 2 là: 3, 6, 9, 12, 15, Số hạng thứ 100 của dãy 1 là: (x – 1) : 3 + 1 = 100 (x – 1) : 3 = 99 (x – 1) = 297 x = 298 Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 298 . 300 = 89400 c) 1, 3, 6, 10, 15, Hướng dẫn giải: Dãy trên được viết dưới dạng: (1 . 2)/2; (2 . 3)/2; (3 . 4)/2; (3 . 5)/2; Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: (100.101)/2 = 5050 d) 2, 5, 10, 17, 26, . Hướng dẫn giải: Dãy trên được viết lại dưới dạng: 1 + 12; 1 + 22; 1 + 32; 1 + 42; 1 + 52; Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 1 + 1002 = 10001 5.1.2. Bài tập về nhà *) Bài 1: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau: a) 1. 6, 2. 7, 3. 8, Đáp án: Số hạng thứ 100 của dãy trên là: 100 . 105 = 10500 b) 1. 4, 4. 7, 7. 10, . Đáp án: Số hạng thứ 100 của dãy 1 là: 298 . 301 = 89698 *) Bài 2: Tính tổng sau S = 1 + 3 + 5 + + 2009 + 2011 Đáp án: S = 1012036 5.2. Chuyên đề 2. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, của một tổng, của một tích 5.2.1. Ví dụ: Cho A = 2 + 22 + 23 + + 220 Tìm chữ số tận cùng của A Hướng dẫn giải: Ta có: 2A = 22 + 23 + 24 + + 221 Suy ra: 2A – A = 221 – 2 Hay: A = 221 – 2 Ta thấy 221 = (24)5 . 2 = (16)5 . 2 có chữ số tận cùng là 2 Vậy 221 – 2 có chữ số tận cùng là 0 5.2.2. Bài tập về nhà 5.2.2.1. Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 61991 b) 91991 c) 31991 d) 21991 Đáp số: a) 61991 có chữ số tận cùng là 6 b) 91991 có chữ số tận cùng là 9 c) 31991 có chữ số tận cùng là 7 d) 21991 có chữ số tận cùng là 8 5.2.2.2. Bài tập 2: Tính nhanh tổng sau S = 1 + 2 + 22 + 23 + + 262 + 263 Đáp số: S = 264 - 1 5.3. Chuyên đề 3. Một số vấn đề nâng cao về chia hết 5.3.1. Dạng 1. Chứng minh chia hết (trên tập hợp N) 5.3.1.1. Ví dụ 1 Cho A = 9999931999 - 5555571997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5 Hướng dẫn giải: Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Ta có: 31999 = (34)499 . 33 = 81499 . 27. Suy ra số bị trừ tận cùng bằng 7 71997 = (74)499 . 7 = 2401499 . 7. Do đó số trừ cũng tận cùng bằng 7 Vậy A tận cùng bằng 0, do đó A chia hết cho 5 5.3.1.2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng S1 = 5 + 52 + 53 + + 599 + 5100 chia hết cho 6 Hướng dẫn giải: S1 = (5 + 52) + (53 + 54) + + (599 + 5100) S1 = 5(1 + 5) + 53(1 + 5) + + 599(1 + 5) S1 = 6(5 + 53 + + 599) chia hết cho 6 * Bài tập về nhà: Chứng minh rằng A = 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 chia hết cho 3, chia hết cho 7, chia hết cho 31 5.3.1.3. Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên abc chia hết cho 27 thì các số bca cũng chia hết cho 27 Hướng dẫn giải: abc = (100a + 10b + c) chia hết cho 27 = 3 . 9 nên a = 1, b = 3, c = 5 Vậy abc = 135 chia hết cho 27 bca = 351 chia hết cho 27 * Bài tập về nhà *) Bài 1: Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên abc chia hết cho 37 thì các số bca cũng chia hết cho 37 *) Bài 2: Chứng minh rằng + chia hết cho 11 và - chia hết cho 9 với a > b *) Bài 3: Cho A = 3 + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2A + 3 = 3n 5.3.2. Dạng 2. Tìm số bị chia biết các số chia và số dư trong hai phép chia 5.3.2.1. Ví dụ 1: Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72. Biết rằng thương là 3 và số dư bằng 8. Tìm số bị chia và số chia Giải Gọi a là số bị chia, b là số chia, r là số dư (a, b, r thuộc N ; b > 8) Theo bài cho ta có : a = 3b + 8 + Nếu b = 9 thì a = 35 có a + b = 9 + 35 = 44 < 72 (loại) + Nếu b = 10 thì a = 3 . 10 + 8 = 38 có a + b = 10 + 38 = 48 < 72 (loại) + Nếu b = 11 thì a = 3 . 11 + 8 = 41 có a + b = 11 + 41 = 51 < 72 (loại) + Nếu b = 12 thì a = 3 . 12 + 8 = 44 có a + b = 12 + 44 = 56 < 72 (loại) + Nếu b = 13 thì a = 3 . 13 + 8 = 47 có a + b = 13 + 47 = 60 < 72 (loại) + Nếu b = 14 thì a = 3 . 14 + 8 = 50 có a + b = 14 + 50 = 64 < 72 (loại) + Nếu b = 15 thì a = 3 . 15 + 8 = 53 có a + b = 15 + 53 = 68 < 72 (loại) + Nếu b = 16 thì a = 3 . 16 + 8 = 56 có a + b = 16 + 56 = 72 (thỏa mãn) Vậy số bị chia bằng 56, số chia bằng 16 5.3.2.2. Bài tập về nhà : *) Bài 1 :Tìm các số tự nhiên a, biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15 Đáp án : 45 hoặc 46 hoặc 47 *) Bài 2 : Một phép chia có thương bằng 82, số dư bằng 47, số bị chia nhỏ hơn 4000. Tìm số bị chia và số chia Đáp án : Số bị chia bằng 3983, số chia bằng 48 *) Bài 3 : Tìm số tự nhiên a <= 200, biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và số dư là 35 Đáp án : Số tự nhiên cần tìm là 179 ; 183 ; 187 ; 191 ; 195 ; 199 *) Bài 4 : Một phép chia có thương là 6 và số dư là 3. Tổng của số bị chia, số chia và số dư là 195. Tìm số bị chia, số chia ? Đáp án : Số bị chia bằng 165, số chia bằng 27 *) Bài 5 : Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để được thương là 8 và số dư là 45 Đáp án : Số bị chia là 333, số chia là 46 *) Bài 6 : Tổng của hai số bằng 38570. Chia số lớn cho số nhỏ ta được thương bằng 3 và còn dư 922. Tìm hai số đó. Đáp án : Số bị chia là 29158, số chia là 9412 5.3.3. Dạng 3. Các bài toán về ƯCLN, BCNN 5.3.3.1. Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 17, cho 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16 Hướng dẫn giải : Gọi x là số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm (x thuộc N) Theo bài cho ta có : x chia cho 17, chia cho 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16 nên (x + 9) chia hết cho 17, 25 => (x + 9) thuộc BC(17, 25) Ta có : BCNN(17, 25) = 17 . 25 = 425 => (x + 9) thuộc BC(17, 25) = B(425) = {0 ; 425 ; 850; 1275 ; ...} Vì x cần tìm là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên : x + 9 = 425 Vậy x = 416 5.3.3.2. Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số, sao cho n chia cho 8 thì dư 7, chia cho 31 thì dư 28 Hướng dẫn giải : Gọi x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số cần tìm (x thuộc N) Theo bài cho ta có : x chia cho 8, chia cho 31 được các số dư theo thứ tự là 7 và 28 nên (x + 65) chia hết cho 8, 31 => (x + 65) thuộc BC(8, 31) Ta có : BCNN(8, 31) = 8 . 31 = 248 => (x + 65) thuộc BC(8, 31) = B(248) = {0 ; 248 ; 496; 744 ; 1240 ; ...} Vì x cần tìm là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số nên : x + 65 = 744 Vậy x = 679 5.3.3.3. Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500, sao cho chia nó cho 15, cho 35 được các số dư theo thứ tự là 8 và 13 Hướng dẫn giải : Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x thuộc N, x < 500) Theo bài cho ta có : (x + 22) chia hết cho 15, 35 => (x + 22) thuộc BC(15, 35) Mà : BCNN(15, 35) = 3 . 5 . 7 = 105 (x + 22) thuộc BC(15, 35) = B(105) = {0 ; 105 ; 210 ; 315 ; 420 ; 525 ;...} Ta có : 1) x + 22 = 105 nên x = 83 < 500 (thỏa mãn) 2) x + 22 = 210 nên x = 188 < 500 (thỏa mãn) 3) x + 22 = 315 nên x = 293 < 500 (thỏa mãn) 4) x + 22 = 420 nên x = 398 < 500 (thỏa mãn) 5) x + 22 = 525 nên x = 503 > 500 (không thỏa mãn) Vậy số tự nhiên nhỏ hơn 500 là 83, 188, 293 hoặc 398 5.3.3.4. Ví dụ 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 ta được các số dư theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5. Hướng dẫn giải : Gọi x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số (x thuộc N) Theo bài cho ta có : (x + 1) chia hết cho 2,3,4,5,6 Nên (x + 1) thuộc BC(2, 3, 4, 5, 6) Ta có : BCNN(2, 3, 4, 5, 6) = 60 (x + 1) thuộc BC(2, 3, 4, 5, 6) = B(60) = {0 ; 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ; ... ; 960 ; 1020 ; ....} Vì x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số nên x + 1 = 960 Vậy x = 959 5.3.3.5. Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 thì dư 4, chia cho 6 thì dư 5, chia hết cho 13. Hướng dẫn giải : Gọi a là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm (x thuộc N, x chia hết cho 13) Theo bài cho ta có : (x + 1) chia hết cho 4,5,6 và x chia hết cho 13 Ta có : (x + 1) thuộc BC(4, 5, 6) và x chia hết cho 13 BCNN(4, 5, 6) = 60 => (x + 1) thuộc BC(4, 5, 6) = B(60) = {0 ; 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ;....} => x + 1 = 300 hay x = 299 chia hết cho 13 Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 299 5.3.3.6. Bài tập về nhà *) Bài 1 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23 Đáp án : Số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 598 *) Bài 2 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8, 10, 15, 20 theo thứ tự dư 5, 7, 12, 17 và chia hết cho 41 Đáp án : Số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 4797 *) Bài 3 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 7, cho 9 có các số dư theo thứ tự là 3, 4, 5 Hướng dẫn giải : Gọi a là số phải tìm (x thuộc N) Số 2a chia cho 5,cho 7, cho 9 đều dư 1 Nên (2a – 1) là BCNN(5, 7, 9) = 315 2a - 1 = 315 2a = 316 a = 158 *) Bài 4 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, cho 4, cho 5 có các số dư theo thứ tự là 1, 3, 1 Hướng dẫn giải : Gọi a là số tự nhiên cần tìm Số 2a chia cho 3, cho 4, cho 5 đều dư 2 (2a – 2) là BCNN (3, 4, 5) = 60 Nên 2a = 62 Vậy a = 31 5.3.4. Dạng 4 : Tìm cặp số x, y trong dấu hiệu chia hết 5.3.4.1. Ví dụ 1 : Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x ; y) sao cho chia hết cho 36. Hướng dẫn giải : Vì 36 = 4.9 nên để chia hết cho 36 thì phải chia hết cho 4 và chia hết cho 9. Suy ra : chia hết cho 4 nên y = 2 hoặc y = 6 + Với y = 2 thì chia hết cho 9 do đó x = 4 + Với y = 6 thì chia hết cho 9 do đó x = 0 hoặc x = 9 * Bài tập về nhà : Điền các chữ số thích hợp vào dấu * sao cho chia hết cho 8 Đáp án : 5216 5.3.4.2. Ví dụ 2 : Tìm các chữ số a, b sao cho  a – b = 4 và chia hết cho 3 Hướng dẫn giải : Để chia hết cho 3 thì (7+a+5+b+1) = (13+a+b) chia hết cho 3 Suy ra, a + b = 8 hoặc a + b = 14 + Với a + b = 8 và a – b = 4 thì a = 6, b = 2 + Với a + b = 14 và a – b = 4 thì a = 9, b = 5 * Bài tập về nhà : Tìm các chữ số a, b sao cho  a – b = 6 và + chia hết cho 9 Đáp án : a = 8, b = 2 5.4. Chuyên đề 4. Chuyên đề về số chính phương, số nguyên tố, hợp số 5.4.1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau Hướng dẫn giải : Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x và x + 1 Đặt d = (x, x + 1) Ta cần chứng minh d = 1 hay (x, x + 1) = 1 Ta có: (x + 1 – x) = 1 hay d thuộc ước của 1 Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau Hướng dẫn giải : Gọi 2 số lẻ tự nhiên liên tiếp lần lượt là 2x + 1 và 2x + 3 Đặt d = (2x + 1, 2x + 3) Ta cần chứng minh d = 1 hay (2x + 1, 2x + 3) = 1 Ta có: (x + 1 – x) = 1 hay d thuộc ước của 1 Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau 5.4.2. Ví dụ 2. Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố a) p + 2 và p + 10 Hướng dẫn giải : - Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 và p + 10 = 2 + 10 = 12 đều là hợp số (loại) - Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 10 = 3 + 10 = 13 đều là số nguyên tố (thỏa mãn) - Với p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 + Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k +1 + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 là hợp số p + 10 = 3k + 1 + 10 = 3k + 11 là số nguyên tố Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 và p + 10 (không thỏa mãn) + Nếu p = 3k + 2 thì p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 không chia hết cho 3 Vậy p = 3k + 2 thì p + 2 là số nguyên tố Thay p = 3k + 2 vào p + 10 ta được: p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số => Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 10 là số nguyên tố b) p + 10 và p + 20 (cách làm tương tự như câu a) c) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 (cách làm tương tự như câu a) 5.4.3. Ví dụ 3. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 Hướng dẫn giải : Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 + Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k +1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3 Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 là hợp số (loại) + Nếu p = 3k + 2 thì p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 không chia hết cho 3 Vậy p = 3k + 2 thì p + 2 là số nguyên tố Thay p = 3k + 2 vào p + 1 ta được: p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 6 với mọi k > 1 Vậy p + 1 chia hết cho 6 5.4.4. Ví dụ 4. Cho p và p + 4 là số nguyên tố (p> 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Hướng dẫn giải : Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 + Nếu p = 3k + 1 thì p + 4 = 3k +1 + 4 = 3k + 5 không chia hết cho 3 Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 4 là số nguyên tố + Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 =3(k + 2) chia hết cho 3 Vậy p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số (loại) Thay p = 3k + 1 vào p + 8 ta được: p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) chia hết cho 3 Vậy p + 8 là hợp số 5.4.5. Bài tập về nhà: Cho p và 8p - 1 là số nguyên tố (p> 3). Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số 5.5. Chuyên đề 5. Tính giá trị của biểu thức, so sánh 5.5.1. Dạng 1: Thực hiện phép tính (tính nhanh) 5.5.1.1. Ví dụ 1: Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lý nhất a) 12 . 53 + 53 . 172 – 53 . 84 b) 35 . 13 + 35 . 17 + 65 . 75 – 65 . 45 c) (3 . 4 . 216)2 : (11 . 213 . 411 – 169) Hướng dẫn giải: a) = 53 . (12 + 172 – 84) = 53 . 100 = 5300 b) = (35 . 13 + 35 . 17) + (65 . 75 – 65 . 45) = 35 . (13 + 17) + 65 . (75 – 45) = 35 . 30 + 65 . 30 = 30 . (35 + 65) = 30 . 100 = 3000 c) (3 . 4 . 216)2 = (3 . 22 . 216)2 = (3 . 218)2 = 32 . 236 11 . 213 . 411 – 169 = 11. 213 . (22)11 – (24)9 = 11 . 213 . 222 – 236 = 11 . 235 - 236 = 235 . 9 = 235 . 32 Suy ra: (3 . 4 . 216)2 : (11 . 213 . 411 – 169) = (32 . 236) : (235 . 32) = 2 5.5.1.2. Ví dụ 2: Tính nhanh a) (2 + 4 + 6 + + 100) . (36 . 333 – 108 . 111) b) 19991999 . 1998 – 19981998 . 1999 c) 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + + 97 – 98 – 99 + 100 Hướng dẫn giải: a) = (2 + 4 + 6 + + 100) . (36 . 3 . 111 – 36 . 3 . 111) = (2 + 4 + 6 + + 100) . 0 = 0 b) = 1999 . 10001 . 1998 – 1998 . 10001 . 1999 = 0 c) = (1 – 2 – 3 + 4) + (5 – 6 – 7 + 8) + (97 – 98 – 99 + 100) = 0 + 0 + 0 = 0 5.5.2. Dạng 2: So sánh 5.5.2.1. Ví dụ 1: So sánh a) 3200 và 2300 Giải 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23)100 = 8100 Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300 b) 1255 và 257 Giải 1255 = (53)5 = 515 257 = (52)7 = 514 Vì 515 > 514 nên 1255 > 257 c) 920 và 2713 Giải 920 = (32)20 = 340 2713 = (33)13 = 339 Vì 340 > 339 nên 920 > 2713 d) 354 và 281 Giải 354 = 327.2 = (32)27 = 927 281 = 227.3 = (23)27 = 827 Vì 927 > 827 nên 354 > 281 5.5.2.2. Ví dụ 2: So sánh a) 1030 và 2100 b) 540 và 62010 5.5.2.3. Bài tập về nhà: So sánh a) 2435 và 3. 278 b) 1512 và 813 . 1255 c) 7812 – 7811 và 7811 – 7810 5.6. Chuyên đề 6. Tìm x (trên N hoặc Z) Ví dụ a) 134 – 2{156 – 6.(54 – 2.(9 + 6))}. x = 86 134 – 86 = 2{156 – 6.(54 – 2 . 15)}. x 2{156 – 6.(54 – 30)}. x = 48 {156 – 6 . 24}. x = 48 : 2 12 . x = 24 x = 24 : 12 = 2 b) (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750 100 . x + 5050 = 5750 100 . x = 5750 – 5050 100. x = 700 x = 7 5.7. Chuyên đề 7.