Phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng GV:Nguyễn Thanh Trung - 1 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG; Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P).Mọi vectơ n 0  và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là véctơ pháp tuyến của mp(P). n 0 n (P)         n  là véctơ của mp(P). n là véctơ của mp(P) , n(k 0)k   cũng là véctơ pháp tuyến của mp đó. II CẶP VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG : Cặp véctơ a,b  không cùng phương gọi là cặp véctơ chỉ phương của mp(P) nếu đường thẳng chứa véctơ a và nếu đường thẳng chứa véctơ b  có giá songsong hoặc nằm trong mp(P). Nếu 1 2, 3a (a a a, )  , 1 2 3b (b b b, , )  là cặp véctơ chỉ phương của mp(P) thì n (a b a b ,a b a b ,a b a b )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1     là một véctơ pháp tuyến của mp(P). Ta chứng minh a.n 0,b.n 0 n       vuông góc cả hai véctơ a và b  mà a , b  không cùng phương nên n 0  .Do đó véctơ n là một véctơ pháp tuyến của mp(P). Véctơ n xác định như trên gọi là tích có hường (tích véctơ) của hai véctơ a và b  , kí hiệu là n [a,b]   hay n a b    . Mặt phẳng (ABC) nhận :  AB;AC   làm một cặp véctơ chỉ phương.  n [a,b]   làm véctơ pháp tuyến . III PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG : Trong không gian (Oxyz) ,mặt phẳng (P) đi qua 0 0 0 0M (x y ,z ), và nhận n (A,B,C)  làm véctơ pháp tuyến có phương trình : 0 0 0A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0      với ( 2 2 2A B C 0   ) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 0 0 0 0M (x y ,z ), và nhận n (A,B,C)  làm làm véctơ pháp tuyến có phương trình tổng quát : Ax By Cz D 0    trong đó 0 0 0D (Ax By Cz )    VI CÁC TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA MẶT PHẲNG : Cho mặt phẳng (P) :Ax+By+Cz +D = 0 1. Nếu D = 0 : (P) qua gốc tọa độ O (P): Ax+By+Cz = 0 2. Nếu A 0,B 0,C 0   : (P): By+Cz+D = 0 ;(P) chứa hoặc song song với trục Ox. 3. Nếu A 0,B 0,C 0   (P): Cz+D = 0 ;(P) song song hoặc trùng mp(Oxy). Phương trình mặt phẳng GV:Nguyễn Thanh Trung - 2 - 4. Nếu A 0,B 0,C 0,D 0,    đặt D D Da ;b ;c ; A B C       ta có phương trình đoạn chắn: x y z 1 a b c    .Khi đó mp (P) cắt các trục Ox;Oy;Oz tại các điểm có tọa độ A(a;0;0); B(0;b;0) C(0;0;c) . Ví dụ: Trong không gian (Oxyz) cho ba điểm M( 1;0;0),N(0;2;0) và P( 0;0;3).Viết phương trình mp(MNP). Ta không cần tìm một cặp VTCP hayVTPT ,ta áp dụng công thức: x y z 1 6x 3y 2z 6 0 1 2 3         ,đó là phương trình mp(MNP). V.ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG,VUÔNG GÓC: 1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song. Cho mp(P): 1 1 1 1A x B y C z D 0     trong đó 2 2 2(A B C 0) 1 1 1   và mp(Q) : 2 2 2 2A x B y C z D 0     trong đó 2 2 2(A B C 0) 2 2 2   Gọi 1 1 1 1n (A ;B ;C )  là VTPT của mp(P) và 2 2 2 2n (A ;B ;C )  là VTPT của mp(Q).     n kn1 2P / / Q D D1 2 n kn1 2(P) (Q) D D1 2                  (P) cắt (Q) n kn1 2    2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc . Cho mp(P): 1 1 1 1A x B y C z D 0     trong đó 2 2 2 1 1 1(A B C 0)    và mp(Q): 2 2 2 2A x B y C z D 0     trong đó 2 2 2 2 2 2(A B C 0)    Gọi 1 1 1 1n (A ;B ;C )  là VTPT của mp(P) và 2 2 2 2n (A ;B ;C )  là VTPT của mp(Q).    P Q n n1 2 A A B B C C 01 2 1 2 1 2          Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(3;1;-1);B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Q) có phương trình: 2x-y+3z-1 = 0 . Mp(P) có cặp vectơ chỉ phương : Q n (2; 1;3) AB ( 1; 2;5)          Suy ra một vectơ pháp tuyến của mp(P) là: Pn ( 1;13;5)   Phương trình mp(P) là: x-13y+5z+5 = 0. VI. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG : Phương trình mặt phẳng GV:Nguyễn Thanh Trung - 3 - Khoảng cách từ 0 0 0M(x ;y ;z ) đến mp(P) có phương trình :Ax+By+Cz+D = 0 được tính theo công thức : 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D MH d(M;(P)) A B C        trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Bài tập : Bài 1. Cho A(1 ;-2 ;3) ;B(2 ;0 ;1) ;C(-1 ;1 ;-2) . a) Tìm cặp VTCP của mp(ABC), suy ra một VTPT của mp(ABC). b) Viết phương trình mp(ABC). Bài 2. Cho bốn điểm A(-2;1;0),B(3;1;-2),C(1;4;-1),D(2;3;1). a) Viết phương trình mp(BCD) b) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Bài 3. Viết phương trình mp (P) khi: a) (P) qua A(2;-1;4) và có cặp VTCP a (3;2;1); b ( 3;1;1)    b) (P) qua E (4;-1;1) ,F(3;1;2) và // trục Ox. c) (P) qua M(1;-2.1),N(0;1;-2) ,P( 2;-1;1-1) Bài 4: Viết phương trình các mp(P);mp(Q);mp(R) đi qua A(2;5;-4) và lần lượt song song với các mp tọa độ (Oxy);(Oyz);(Oxz). Bài 5: Viết phương trình mp (P) qua A(2;3;-1) và chứa trục Ox . Bài 6: Trong (Oxyz) cho bốn điểm A(5;1;3) ;B(1;6;2);C(5;0;4);D(4;0;6) . a) Viết phương trình mp(ABC). b) Viết phương trình mp(P) chứa AB và song song với CD Bài 7: Viết phương trình mp qua các điểm là hình chiếu của M(2;-3;4) trên các trục tọa độ. Bài 8: Viết phương trình mp(P) qua A(1;-2;3) và song song với mp(Q):x-2y-3z+4 =0 Bài 9: Cho A(1;3;2) và B( 1;1;2) a) Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc AB b) Viết phương trình mp trunjg trực của AB Bài 10: Cho ba điểm A(-1;6;0) ;B(3;0;-8);C(2;-3;0) a) Viết phương trình mp(ABC). b) Mp (ABC) cắt Ox; Oy; Oz lần lượt tại K;M;N .Tìm tọa độ K;M;N. c) Tính thể tích tứ diện OKMN. Bài 11: Viết phương trình mp(P) qua A(3;1;-1) ;B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x - y +3z = 0. Bài 12: Viết phương trình mp(P) qua A(2;-1;2) song song với Oy và vuông góc với mp (Q): 2x – y + 3z -1 = 0 . Bài 13: Viết phương trình mp(P) sao cho H(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên (P).