Phương trình lượng giác - Lý thuyết và bài tập

§1. CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Cơng thức cộng: cos( a b ) cos a cosb sin a sinb+ = - sin( a b ) sin a cosb cos a sinb+ = + cos( a b ) cos a cosb sin a sinb- = + sin( a b ) sin a cosb cos a sinb- = - 1 tana tanb tan( a b ) tana tanb ± ± = m 2. Cơng thức nhân đơi: 2 22cos a cos a sin a= - 22 1cos a= - 21 2 sin a= - 2 2sin a sinacos a= 2 2 2 1 tan a tan a tan a = - Chú ý: Dựa cơng thức nhân đơi, cụ thể cơng thức biểu diễn cos x, sin x, tan x theo 2 x t tan= 2 2 1 1 t cos x t - = + 2 2 1 t sin x t = + 2 2 1 t tan x t = - Các cơng thức trên giúp ta chuyển phương trình lượng giác cùng gĩc thành ptrình đại số theo ẩn t. 3. Cơng thức hạ bậc: a) Hạ bậc hai: Từ cơng thức cos2a, ta cĩ: 2 a2cos1 acos2 + = 2 a2cos1 asin2 - = 2 1 2 1 2 cos a tan a cos a - = + b) Hạ bậc ba: Rút từ cơng thức nhân ba: 3cos3 4 cos 3cosa a a= - 3sin 3 3sin 4sina a a= - 4. Cơng thức biến đổi: a) Biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos .cos 2 2 a b a ba b + -+ = sin sin 2sin .cos 2 2 a b a ba b + -+ = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a ba b + -- = - sin sin 2cos .sin 2 2 a b a ba b + -- = ( )sin tan tan cos .cos a b a b a b ± ± = b) Biến đổi tích thành tổng: ( ) ( )1cos .cos cos cos 2 a b a b a b= + + -é ùë û ( ) ( ) 1 sin .sin cos cos 2 a b a b a b= - + - -é ùë û ( ) ( )1sin .cos sin sin 2 a b a b a b= + + -é ùë û Khi sử dụng các cơng thức này trong giải phương trình, cần chọn lựa để tạo ra được các gĩc phù hợp §2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÁC GĨC ĐẶC BIỆT Sử dụng đường trịn lượng giác để ghi nhớ giá trị hàm số lượng giác các gĩc đặc biệt §3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC GĨC CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 1. Ghi nhớ chu kỳ của các hàm số lượng giác: sin x, cos x cĩ chu kỳ là p2 tan x, cot x cĩ chu kỳ là p 2sin( x k ) sin xp+ = ; 2cos( x k ) cos xp+ = tan( x k ) tan xp+ = ; cot( ) cotx k xp+ = 2. Hàm số lượng giác các gĩc cĩ liên quan đặc biệt: Dựa trên đường trịn lượng giác hay dựa : “ cos - đối; sin - bù; phụ - chéo; khác p tang; hơn 2 p sin bằng cos “ cos - đối sin - bù Phụ - chéo 3 2 1 2 3 3 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 2 ( )cos cosa a- = ( )sin sinp a a- = sin cos2 p a aỉ ư- =ç ÷ è ø ( )sin sina a- = - ( )cos cosp a a- = - cos sin2 p a aỉ ư- =ç ÷ è ø ( )tan tana a- = - ( )tan tanp a a- = - tan cot2 p a aỉ ư- =ç ÷ è ø ( )cot cota a- = - ( )cot cotp a a- = - cot tan 2 p a aỉ ư- =ç ÷ è ø Khác p tang Hơn 2 p sin bằng cos ( )sin sinp a a+ = - sin cos 2 p a aỉ ư+ =ç ÷ è ø ( )cos cosp a a+ = - cos sin 2 p a aỉ ư+ = -ç ÷ è ø ( )tan tanp a a+ = tan cot 2 p a aỉ ư+ = -ç ÷ è ø ( )cot cotp a a+ = cot tan 2 p a aỉ ư+ = -ç ÷ è ø §4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Cơng thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản: Phương trình Điều kiện Biểu diễn Cơng thức nghiệm sinx = m 11 ££- m 2 2 x k ( k Z ) x k a p p a p = +é Ỵê = - +ë 2 2 arc sinm ; p pa é ù= Ỵ -ê úë û cosx = m 11 ££- m 2 2 x k ( k Z ) x k a p a p = +é Ỵê = - +ë [ ]0arccosm ;a p= Ỵ tanx = m pp kx +¹ 2 x ka p= + arctanma = cotx = m pkx ¹ x ka p= + arc cot ma = x y a MM' B A B' OA' m x y a M' M B A B' OA' x y a M M' B A B' OA' a)  = √3 − sin 2 b)  = Ƙ ǰିkZ)Z௜௡) c)  = ටƘ Zି௜௡)ƘାǰkZ) d)  = tan (22 + గଷ) e)  = Ƙ√ƘାǰkZ) f)  = ǰkZ)Ʀanమ) Ƙି g)  = cot (32 − గସ) h)  = 3rc2 − ܿi2 D¹ng 2: X¸c ®Þnh tÝnh ch½n lỴ cđa c¸c hµm sè sau: a)  = 2ܿi42 − 1 b)  = 2rc22 + 3 c)  = ሺrc2 + ܿi2+1ሻሺrc2 + ܿi2− 1ሻ d)  = rc2ଷܿ i2+ ݐ0c2 e)  = ܿiݐ2− r 2݉2 f)  = − 2rc2 g)  = rc2 − ܿi2 h)  = rc2 cosଶ2 + ݐ0c2 i)  = cos (2 − గସ) j)  = rc2rc32 k)  = rc2 + ƘZ௜௡) l)  = ݐ0c|2| m)  = ݐ0c2− rc22 n)  = sinሺܿ i20122ሻ−cos (rc20122) o)  = ݐ0c2+ tan (2 + గସ) p)  = sin଺2 + cos଺2 D¹ng 3: T×m gi¸ tri lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa hµm sè: a)  = 2rc2 + 1 b)  = 3 − 2ܿi2 c)  = 2 cosቀ32 − గ଺ቁ− 1 d)  = 3 sinଶ20122 − 7 e)  = Ƙଶୡ୭Ʀమ)ାଷ f)  = ଷƦanమ)ା଼Ʀanమ)ାଶ g)  = cos଺2 + sin଺2 h)  = sinସ2 − cosସ2 i) ∗∗  = ƘାZ௜௡)ƘାZ௜௡)ାƦanమ) j)  = √1 − rc2ଶ− 1 k)  =√4 cosଶ2 − 3 − 3 l)  = 4rc√2 m)  = rc2 + ܿi2 n)  = rc20122 −ܿi20122 o) * = ଷୡ୭Ʀర)ାସƦanమ)ଷƦanర)ାଶୡ୭Ʀమ) p)  = 2ܿi2+ 3rc2 q)  = 3ܿi2+ ଶǰkZ) trong kho¶ng (− గଶ; గଶ) r)  = 2 cosଶ2 +3 sinଶ2 + 5 s)  = √sinସ2 + 4 cosଶ2 t)  = 4cos2x+4cosx+3 u)  = sinସ2 + cosସ2 v)  = 2 cosଶ22 +4 sinଶ2 cosଶ2 + 3 w) * = ܿi22 + rc2 x)  = sinቀ22 + గଷቁ; 2 ∈ቂ− ହగƘଶ; 0ቃ y)  = 2 cosଶ2 + sinଶ2 +ܿi2− 7 z)  = |ܿi2| + |rc2| w)  = rc2 + ƘZ௜௡)trªn kho¶ng (0;ߨ) Là công đoạn bắt buộc và là con đường duy nhất để có thể tìm ra được ẩn. 1. Không được cộng độ và rađian với nhau. 2. Cần phải sử dụng thành thạo công cụ đường tròn lượng giác. 3. BT1. T×m kho¶ng ®ång biÕn c¸c hµm sè sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 3 2 31,sin 2 ;2,cos 2 25 ;3,cot 4 2 3;4, 15 ; 2 2 3 25,sin 3 sin ;6,sin cos2 ;7,sin 2 cos3 ;8,sin 4 cos ; 3 9,sin 5 sin 2 ;10,sin 2 sin 3 ;11, 3 2 cot 2 0; 12,sin 4 cos5 0;13,2sin 2 sin 2 x x g x tg x x x x x x x x x x x x x tg x g x x x x p - = + = + = - + = ỉ ư= - = = = -ç ÷ è ø = - = + + = + = + ( ) ( ) 2 2 2 4 4 0;14,sin 2 cos 3 1; 15,sin 5 .cos3 sin 6 .cos2 ;16,cos 2sin ;17, 3 cot 5 1 2 2 18, 5 . 3 1;19, sin 3 sin 3 4 2 120,sin cos ;21,sin 3 cos ;22,sin cos 4 4 4 x x x xx x x x x tg x g x tg x tg x tg x x x x x x x x p p p pp p p = + = ỉ ư= - + - =ç ÷ è ø ỉ ư ỉ ư= - + = - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ỉ ư ỉ+ + = =ç ÷ è ø è 2 2 ư =ç ÷ ø 23, Tìm ; 2 2 x p p-ỉ ưỴç ÷ è ø sao cho: ( )3 2 3tg x + = . 24, Tìm ( )0;3x pỴ sao cho: sin 2 cos 0 3 6 x xp pỉ ư ỉ ư- + + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø . PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán: ( ) ( ) ( )2 2 1,2sin 2 cos 2 2,3sin 4 cos 5 9 33,sin 2 3cos 1 2sin 2 2 4,3sin 1 4 cos 1 5 5,sin 1 .cos3 cos .sin3 2 x x x x x x x x x x x x x p p - = + = ỉ ư ỉ ư+ - - = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø + + + = + + = PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. 23 2 2,cos sin 1 0 3,2 cos2 4 cos 1 4,5 7 3 1 0 x x x x tg x tg x tgx + + = - = + + + = PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI HAI BIỂU THỨC NÀO ĐÓ. 1. Dạng phương trình, đưa ra phương trình đẳng cấp 2, 3 đối với sinx và cosx. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1,3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0 2,4sin 3 3 sin 2 2 cos 4 13,sin sin 2 2 cos 2 4,2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1 5,sin 4sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x + + - = + - = + - = + + + - = - - + = PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. ( )1,3 sin cos 2sin 2 3 0x x x+ + + = ( )( )2, 1 cos 1 sin 2 1 13,2 sin cos cot 0 cos sin x x x x tgx gx x x + + = + + + + + + = PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. ( ) 1,sin cos 4sin cos 1 0 2,sin 2 12 sin cos 12 0 x x x x x x x - + + = - - + = PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Trong giải phương trình lượng giác thì mục tiêu là đưa về phương trình lượng giác cơ bản, tức là ta không nên đặt nặng vấn đề tìm cho ra ẩn mà nên cố gắng tìm các hàm số lượng giác. 2. Khi giải phương trình lượng giác ta thường có ba hướng: Dùng công thức lượng giác để biến đổi đưa về phương trình tích các biểu thức (£) hay đặt ẩn phụ là biểu thức (£), chuyển phương trình lượng giác sang phương trình đại số hoặc là dùng tính chất của bất đẳng thức. Biểu thức (£) là một vế của một trong sáu phương trình ta đã biết cách giải ở trên. 3. Cần phải nhớ các loại phương trình đã biết cách giải. 4. Một số chú ý: v Thật nhuyễn công thức lượng giác. v ( )2 2cos sin cosa x b x a b x a+ = + + . v ( )2sin cos 1 2sin cos .x x x x± = ± ( ) v Phương trình đẳng cấp theo hai biểu thức nào đó. v Mọi hàm số lượng giác đều có thể biểu diễn theo 2 xt tg= . BÀI TẬP: ( ) 2 2 3 1,2 cos 3cos 1 0;2,cos sin 1 0;3,2 cos2 4 cos 1 9 34,sin 2 3cos 1 2sin ;5,2sin 2 cos 2 2 2 6,3sin 4 cos 5;7,2 cos3 3 sin cos 0. 8,2 2 sin cos cos 3 cos2 ;9,3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x p p - + = + + = - = ỉ ư ỉ ư+ - - = + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø + = + + = + = + - = + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 3 5,2 sin cos 2 3 sin cos cos2 2 cos 2sin cos11, 3 2 cos sin 1 12,cos2 3 sin 2 3 sin cos 4 0 13,3 sin cos 2sin 2 3 0 14,sin cos 4sin cos 1 0 15,sin 2 12 sin cos 12 0 16,sin cos 1;17, 1 cos 1 sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = - = + - - - - + = + + + = - + + = - - + = + = + +( ) 2x = 3 3 3 3 3 3 1 118,2 sin cos cot 0 cos sin 19,sin cos 1;20,1 cos sin sin 2 21,sin cos sin 2 sin cos 22, sin cos 2sin 2 1 x x tgx gx x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + = - = - + - = + = + + - + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 23,3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0 24,4sin 3 3 sin 2 2 cos 4 125,sin sin 2 2 cos 2 26,2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1 27,sin 4sin cos 0 28, 1 sin 3 cos sin sin 3 29,1 3 2sin 2 30,2sin 3 sin 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x tgx x x x x tgx x x x + + - = + - = + - = + + + - = - - + = + = - + + = + = 4 4 4 4 2 4 4 3 3 2 2 2 4 6 8 8 2 31,sin cos sin 2 cos 2 6 832,2 cos 1 3cos 5 5 33, 2 3 134,sin cos 4 4 35,sin 5cos 3cos 336,sin sin 2 sin 3 2 37,cos cos2 2sin 0 1738,sin cos cos 2 16 x x x x x x tg x tgx x x x x x x x x x x x x x x p + = + + = = ỉ ư+ + =ç ÷ è ø + = + + = - + = + = ( ) 2 2 2 4 4 3 3 3 3 4 4 2 39,cos cos 2 cos 3 1 40,sin 2 cos 2 sin 2 cos2 41,sin sin 2 sin 3 42,1 sin 3 cos2 sin 143,sin cos cos sin 4 44,sin 3 sin cos3 cos 1 45,sin cos sin cos 3 2 2 cos sin 1 2sin 46, 1 1 sin 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + = + = + = + - = + = - = + - - - = - ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21 cos 1 cos 1 sin7, sin 4 1 sin 2 x x xtg x x tg x x - + - + - = + - ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 3 2 48,cos 3 sin 3 cos 3 sin 1 49,4 sin cos 3 sin 4 2 50, sin cos sin cos 2 51,sin cos3 cos sin 3 sin 4 52,cos7 cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5 53, sin 2 3 cos2 5 cos 2 6 54, 2 sin cos cot 55, x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x tgx gx p + = - + + + + = + + - = + = - = - ỉ ư+ - = -ç ÷ è ø + = + ( ) ( ) 32 3 3 3 3 4 4 1cos cos2 cos4 cos8 16 56,cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0 57,sin cos sin cot cos sin cos sin cos 158, cot sin 2 2 x x x x x x x x x x x gx xtgx x x x x tgx gx x = + + - - = + + + = + + = + ( ) ( )( ) 4 4 2 2 6 6 3 3 2 3 3 2 sin sin 2 sin 359, 3 cos cos2 cos3 3 sin cos 1160,3sin sin 2 2 cos 2 sin cos 1 61,4sin 3cos 3sin sin cos 0 62,cos 4sin 3cos sin sin 0 63,1 3sin 2 2 64, 1 1 sin 2 1 65,sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x tgx tgx x tgx x + + = + + + - + + = + - + - - = - - + = + = - + = + 3 3 sin 2 sin 3 6 cos 66,sin 2 sin 4 x x x x xp + = ỉ ư+ =ç ÷ è ø Nên biến đổi x theo 4 x pỉ ư+ç ÷ è ø chứ không nên làm ngược lại. ( ) 3 2 2 67,sin 3 sin 2 sin 4 4 68, 1 4 69, sin 2sin 3 cos2 sin cos 70,cos3 sin 3 2 cos 0 x x x tg x tgx tgx x x x x x x x x p p p ỉ ư ỉ ư- = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ỉ ư- = -ç ÷ è ø - = + + + = 71,cos sin 2 cos3 72,sin 2sin 2 3 sin3 x x x x x x - = + = + Đối với phương trình có đk có nghiệm thì trước tiên ta nên kiểm tra đk có nghiệm trước. Cụ thể trong bài này ta đưa về phương trình cổ điển rồi ta cm phương trình vô nghiệm. ( )2 3 73, 3 cot 1 3 74,cot 2 2 sin 2 3 2 cos tgx gx g x x x + = + + = + C1: Đưa về phương trình hồi qui theo cosx. C2:Chia 2sin xcho hai vế,. 75,sin 2 2x tgx+ = C1: Đặt t = tgx. C2: Lưu ý: ( )21 sin 2 cos sinx x x- = - và cos sin1 cos x xtgx x - - = . ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 3 76,sin 2 cos2 2 cos sin: 1 sin 2 cos sin ; cos2 cos sin ;1 cos 1 177,sin sinsin 8 1878,2 cos 9 cos 1 coscos 3 379,sin 2sin 4 2 4 2 3 3 3: 3 2 sin 4 2 4 2 4 x x tgx x xHD x x x x x x tgx x x xx x x xx xx xHD t x t p p p p pp + + = - - = - = - - = + = + + = - + ỉ ư ỉ ư+ = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø = + Þ + = - Þ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin3 2 180,cos cos 2 2 81,cos cos 2 cos 3 1 382,cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x t x x x x x x x x x ỉ ư =ç ÷ è ø + = + + = + + + = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 183,sin cos2 sin 2 cos3 sin 5 2 84,sin 1 cos 1 cos cos ; : cos 1 sin 1 sin 85,sin sin 2 sin 5 1 86,cos3 cos2 cos 1 0 x x x x x x x x x HD x x x x x x bdt x x x = - + = + + = - + = - + - = ( )( ) ( ) 2 2 4 4 2 87,8cos cos3 3 88, 1 cos cos2 cos 2sin 89,cos 3cos sin 2 8sin 1 0 90,sin 3 sin 2 sin 4 4 191,sin cos 3 cos6 2 92,cos9 2 cos6 2 93,cos 4 cos 3 394,sin 3 2sin 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x p p p p + =ç ÷ è ø + + = - + - - = ỉ ư ỉ ư- = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø + = - - = = ỉ ư ỉ+ = +ç ÷ è ø 2 3 495,2 cos 1 3cos 5 5 96,cos5 sin 4 cos3 sin 2 x x x x x x ư ç ÷ è ø + = = 97,sin sin 2 sin 3 cos cos2 cos3 98,sin 3 sin 5 sin 7 0 99, 2 3 100,sin 2 sin 5 cos x x x x x x x x x tgx tg x tg x x x x + + = + + + + = + = = - ( ) ( ) 4 4 2 3 3 102,2sin cos2 1 2 cos2 sin 0 3 cos6103,sin cos 4 104,2 cos 4 sin10 1 105, 1 1 sin 2 1 106, 2 sin3 cos 107, cot 2 2 cot 4 108,sin cos cos2 109,sin cos co x x x x xx x x x tgx x tgx tgx tg x x x tgx g x g x x x x x x - + - = - + = + = - + = + + = + = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 8 8 10 10 10 8 10 8 2 8 2 8 8 8 s2 110,cos cos 2sin 2 0 111,2sin cot 2sin 2 1 5112,sin cos 2 sin cos cos2 4 52sin sin 2 cos cos cos2 0 4 52sin 1 sin 2 cos 1 cos cos2 0 4 5cos2 .sin cos2 .cos cos2 4 x x x x x gx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + - = + = + + = + + Û - + - + = Û - + - + = Û - + + = 2 2 3 3 3 4 4 0 113, cot 2sin 1114,sin cos sin cos 115,sin sin 2 sin3 tg x g x y x x x x x x x + = + = + ( ) 2 2 2 2 2 1116,sin sin 2 sin 3 sin 4 4 3117,cos cos cos 2 1118,sin sin 3 sin sin 3 4 2 2119, 4 5 1 2 3 2120,cos3 sin 2 2 cos 0 4 x x x x x y x y x x x x xtg y y xtg x x x = + - + = + = = - + + + - = ( ) ( ) 2 2 2 3 3 5 7 3 5 3 3 2 121, 1 sin 122,3 2 4 3 3 2 123, 2 6 8cos 124, 1 sin cos 1 0 1125,cos sin cos sin sin 2 cos sin 2 1 cos3 1 cos126, 1 cos2 1 sin 3127,cos cos 4 sin 2128, 1 sin tg x x tg x tg x tg xtg x tg x tgx x tg x x x x x x x x x x x x x x xx x x = - - = + = - + - = + + + = + - - = + - = + + ( ) ( ) 3 2 2 3 2 cos 0 129,sin3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2 cos3 0 130,sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0 1 2 sin cos131, cos 1 sin 3 3 1132,cos cos cos sin sin sin 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x = - + + - = + + + + + = - - = - - = ( ) 2 2 2 2 2 3133, 2 cos 6 sin 2sin 2sin 5 12 5 12 5 3 5 6 134,cot cos sin 1 sin135,cot 1 cos 1 sin 136,cot cos 1 1 cos 137, 1 sin 138, 25 4 3sin 2 8sin 0 1131, cot x x x x gx tgx x x xg x x x g x x x tg x x x x x tgx g p p p p p p ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư- - - = + - +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø - = + + = + - = - - = + - + = + ( ) ( ) 2 cos sin 2 6 1 140,sin 4 cos4 1 4 sin cos x x x tgx x x x x - = - - = + - ( ) 2 3 4 2 3 4 3 3 5 5 2 2 2 141,sin sin 2 sin 3 2 142,2sin3 cos2 sin 143,sin 3 cos2 1 2sin cos 144,cos cos 4 cos2 cos3 0 145,sin sin sin sin cos cos cos cos 146,sin cos 2 sin cos 147,sin cos 2 cos 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + = + = + + = + + + = + + + + = + = + ( ) ( ) 2 6 6 8 8 1 cos2148,1 cot 2 sin 2 1149,3sin 2 cos 3 1 cos 150,sin cos 2 sin cos 151,sin 4 cos 4 1 4 2 sin 4 xg x x x x tgx x x x x x x x x p - + = + = + - + = + ỉ ư- = + -ç ÷ è ø 2 2 2 2 3 3 3 3 152,sin sin 3 cos 2 cos 4 153, 1 4 154,2sin sin 2 cos cos cos2 155,2sin cos2 cos 0 156,1 sin cos sin 2 cos2 0 sin 3 sin 5157, 3 5 x x x x tg x tgx x x x x x x x x x x x x x x p + = + ỉ ư- = -ç ÷ è ø - = - + - + = + + + + = = ( )2 2 3 2 17158,cos 2 cos2 cos3 6 11159,3sin 2 cos cos3 6 160,2 cos 2 sin10 3 2 2 cos28 .sin 161,2 2 cos 1 2 2 sin 1 sin 2 1 3 1 1 3162, 1 0 1 sin 2 11 3 1 3 163,2sin cos 2 sin 164,sin 4 x x x x x x x x x x tg x x x x tgx x tgx xx x x x p + = + + = - + = + + = + ỉ ư- - - - - + + =ç ÷ç ÷+ ++ +è ø = ỉ ư+ç è ø 3 3sin cos 165, sin 1 .sin x x tgx x tgx x = +÷ - = - ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 7 3 7 6 6 4 4 2 2 2 2 167,6 2 cos cos2 168,sin sin sin .sin sin sin 1 169,9 16 cos 24 cos 170,sin cos 1 1171,sin cos sin cos 172, 2 cot .cot 3 sin 173, 2 sin tg x x x x y x y x y tg x x y x x x x x x tg x tg y g x g y x y tg x tgx y - = + = + + - + = + = + = + + + = + + + +( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 cos 2 0 2174, cot 1 1 175,cos cos .cos cos 0 176,2 2 sin cos cos 3 cos2 1177,sin sin 3 sin .sin 3 4 178,sin 4 cos 2sin 4 .cos 1179,cos 3 cos cos3 .cos 4 1180,cos 2 sin 4 1 4 y xtg x y g x y x x x y y x x y y x x x x x x x x x x x x x x p p + = + + + = + + + + + = + + = + = + = + + 2 2 2 2 2 2 sin 4 .cos2 sin 1181, 6 10 1 1 1182,2 2 x x x tg x y tg x tg xy y tgx = + - = - + + + - = PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM SỐ Bài tập 1: Cho phương trình cos 3 sinx x m+ = 1) Giải phương trình khi 3m = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 2: Cho phương trình ( )sin cos sin cos 1 0x x m x x- + + = 1) Giải phương trình khi 2m= . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 3: Cho phương trình sin 2 (cos sin )x x x m+ + = 1) Giải phương trình khi | | 2m = . 2) Chứng minh rằng nếu | | 2m > thì phương trình vô nghiệm. Bài tập 4: Cho phương trình ( )sin 2 4 cos sinx x x m+ - = 1) Giải phương trình khi . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 5: Cho phương trình 6 6sin cos 4 4 x x m tg x tg xp p + = ỉ ư ỉ ư- +ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1) Giải phương trình khi 1 4 m -= . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 6: Cho phương trình 6 6 2 2 sin cos 2 cos sin x x mtg x x x + = - 1) Giải phương trình khi 1 4 m = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 7: Cho phương trình ( )22 1 cot cot 2 0 cos g x m tgx gx x + + + + = 1) Giải phương trình khi 5 2 m = . 2) Với m nào thì phương trình vô nghiệm. Bài tập 8: 1) Giải phương trình 1sin .cos2 sin 2 .cos3 sin 5 2 x x x x x= - . 2) Xác định a sao cho phương trình cos2 cos4 cos6 1a x a x x+ + = có nghiệm là nghiệm của phương trình 1) và chỉ có các nghiệm ấy. Bài tập 9: Cho phương trình ( )44sin 1 sinx x m+ - = 1) Giải phương trình khi 1 8 m = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 10: Cho phương trình 4 4 2 21cos sin cos sin 2 0 4 x x x x m+ - + + = 1) Giải phương trình khi 2m= - . 2) Biện luận phương trình đã cho. Bài tập 11: Tìm tất cả các cặp số (a;b) sao cho: ( )sin sin ,a x b ax b x+ = + " ỴR . Bài tập 12: Với giá trị nào của a thì phương trình sau có một nghiệm duy nhất. 21 sin cosax x+ = Bài tập 13: Cho phương trình 4 4sin cos cot 2 sin .cos x x m g x x x + = 1) Giải phương trình khi 2m= - . 2) Với m nào thì phương trình vô nghiệm. Bài tập 14: Cho phương trình 4 4sin cos cot .cot 3 6 x x m g x g xp p + = ỉ ư ỉ ư+ -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1) Giải phương trình khi 7 8 m = . 2) Với m nào thì phương trình vô nghiệm. Bài tập 15: Cho phương trình 2 2 4 29 cos 3cos 5 cos cos x m x x x ỉ ư+ = - +ç ÷ è ø 1) Giải phương trình khi 2m = - . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 16: Cho phương trình 2 2 4 2sin sin 2 sin sin x m x x x ỉ ư+ = + -ç ÷ è ø 1) Giải phương trình khi 1m = - . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 17: Cho phương trình ( )22 3 3 cot 1 0 sin tg x m tgx gx x + + + - = 1) Giải phương trình khi 4m= . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 18: Cho phương trình 2 2sin sin 3 cos 2x x m x+ = 1) Giải phương trình khi 2; 3m m= = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 19: Tìm a để mọi nghiệm của phương trình: ( ) đều là nghiệm của phương trình: 2sin 3 cos 1 2sin .cos2x x x x+ = + và ngược lại Bài tập 20: Tìm a để hai phương trình sau tương đương. ( )24 cos cos3 cos 4 1 cos2 2 cos .cos2 1 cos2 cos3 x x a x a x x x x x - = - - + = + + Bài tập 21: Cho phương trình sin .sin2 .cos 1x x kx = 1) Giải phương trình khi 1k = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 22: Cho phương trình cos .sin2 .cos4x x x m= 1) Giải phương trình khi 1m = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 23: Cho phương trình ( )44cos cos 1x x m+ - = 1) Giải phương trình khi 1 8 m = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 24: Cho phương trình 4 4cos sin sin 2 1x x m x+ + = 1) Giải phương trình khi 3m = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm. Bài tập 25: Tìm (a;b) sao cho: ( ) ( )2 2cos 1 cos 1,a x b ax b x- + = + - " . Bài tập 26:CMR: *aỴQ , b vô tỷ thì phương trình 21 sin cosax bx+ = có nghiệm duy nhất. Bài tập 27: Tìm m để phương trình: 2 23sin 6sin .cos 5cos 0x x x x m- - + = có nghiệm. Bài tập 28: Tìm m để phương trình: 2 26 sin sin .cos cos 2x m x x x m+ - = + có nghiệm. Bài tập 29: Cho phương trình ( ) ( )sin 2 2 sin 3 sinx x a xp p- - - = 1) Giải phương trình khi 1a = . 2) Với m nào thì phương trình có nghiệm khoong có dạng x kp= . Bài tập 30: Cho phương trình ( )( ) 22sin 1 2 cos2 2sin 3 4 cosx x x m x- + + = - 1) Giải phương trình khi . 2) Với m nào thì phương trình có đúng hai nghiệm thuộc [ ]0;p . Bài tập 31: Giải và biện luận phương trình ( )24sin 1 sin 1 0x m x+ - + = trên ; 2 2 p p-é ù ê úë û Bài tập 32: Giải và biện luận phương trình 2cos 2 sin 0 6 x m xpỉ ư+ - =ç ÷ è ø trên [ ]0;2p Bài tập 33: Cho phương trình 2 cos .cos2 .cos3 7cos2x x x m x+ = 1) Giải phương trình khi 7m = - . 2) Định m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên 3 ; 8 8 p p- -é ù ê úë û PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA CĂN THỨC Điều hiển nhiên là để giải phương trình loại này thì ta phải làm mất căn thức cho phương trình. Vẫn giống như trong phương trình đại số là ta phải nâng luỹ thừa hay đặt ẩn phụ. Tuy nhiên điều đáng nói ở đây là vấn đề đặt điều kiện trong phương trình lượng giác. Ta xét ví dụ sau đây. VD1: Giải phương trình: 2 2sin 2 .cos 2 .sin 6 . .cot 3 0x x x tgx g x = . VD2: Giải phương trình: 21 8sin 2 .cos 2 2sin 3 4 x x x pỉ ư+ = +ç ÷ è ø BÀI TẬP ( ) ( ) 2 2 2 2 1, 2 3cos2 sin 2, 3 4 cos2 2 cos 3,3sin 4sin 1 1 4, cos2 1 sin 2 2 sin cos 5,sin 2 sin sin 2 sin 3 6, cot 1 cot 1 cot 7, 2 cos2 3 sin 2 3 sin 2 cos2 8,3 1 sin 2 cos 5 sin 3cos 9,cos2 cos x x x x x x x x x x x x x x tgx gx gx gx x x x x tgx x x x x x - = + = - - = + + + + - + - = - - - = - + + = + + + = + = 2 2 1 10, cos2 1 sin 2 sin cos 11, 2 cos2 3 sin 2 sin 3 cos 1 1 1 1 3cos12, 2 2 sin 1 cos 1 cos sin x tgx x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + ỉ ư+ + - = - ç ÷- + è ø 13, Cho phương trình . 1. Giải phương trình khi k = 1; k = 2. 2. Giải và biện luận.