Phương trình đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Đường thẳng qua một điểm cắt và vuông góc với một đường thẳng: Bài toán 1: Cho đường thẳng và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với d. Nhận xét: Vì đường thẳng d cắt d’ nên ta gọi B là giao điểm của d và d’. Khi đó đường thẳng d’ trùng với đường thẳng AB. Nếu ta tìm được B thì ta viết được pt đt AB. Để tìm B ta dựa vào tính chất sau: Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Gọi B là giao điểm của d và d’, vì B thuộc d nên: Bước 2: Vì . Giải pt ta tìm được t rồi suy ra B. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’. Cách 2: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. Bước 2: Tìm giao điểm B của d và (P). Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’. Dạng 2: Đường thẳng qua một điểm cắt một đường thẳng và vuông góc với một đường thẳng. Bài toán 2: Cho đường thẳng và đường thẳng d’: và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d và vuông góc d’. Nhận xét: Vì đường thẳng cắt d nên ta gọi B là giao điểm của và d. Khi đó đường thẳng trùng với đường thẳng AB. Nếu ta tìm được B thì ta viết được pt đt AB. Để tìm B ta dựa vào tính chất sau: Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Gọi B là giao điểm của và d. Vì B thuộc d nên: Bước 2: Vì Giải pt ta tìm được t rồi suy ra B. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng . Cách 2: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d’. Bước 2: Tìm giao điểm B của d và (P). Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt 2 đường thẳng. Bài toán 3: Cho đường thẳng và đường thẳng d’: và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d và d’. Nhận xét: Cách 1: Vì đường thẳng cắt d và d’ nên ta gọi B, C là giao điểm của với d và d’ . Khi đó để viết pt đường thẳng ta đi viết pt đường thẳng AB hoặc pt đường thẳng AC hoặc pt đường thẳng BC. Để tìm tọa độ điểm B và C ta dựa vào tính chất sau: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương. Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng cùng phương . Phương pháp: Bước 1: Gọi B, C lần lượt là giao điểm của với d và d’. Vì nên: Bước 2: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương. Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm được t và t’. Suy ra B và C. Bước 3: Viết pt đường thẳng AB hoặc AC hoặc BC. Cách 2: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d. Bước 2: Tìm giao điểm B của (P) và d’. Khi đó đường thẳng chính là đường thẳng AB. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB. Cách 3: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và chứa d’. Bước 2: Tìm giao điểm B của (P) và d. Khi đó đường thẳng chính là đường thẳng AB. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và song song với một đường thẳng Bài toán 4: Cho đường thẳng và đường thẳng d’: và đường thẳng Viết phương trình đường thẳng cắt d và d’, song song với đường thẳng d’’. Nhận xét: Vì đường thẳng cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm của với d và d’ .Khi đó để viết pt đường thẳng ta đi viết pt đường thẳng AB. Để tìm tọa độ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do song song với d’’ nên hai vectơ vectơ cùng phương. Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng cùng phương . Phương pháp: Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của với d và d’ Bước 2: Do song song với d’’ nên hai vectơ vectơ cùng phương.Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm được t và t’. Suy ra A và B. Bước 3: Viết pt đường thẳng AB. Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng. Bài toán 5: Cho đường thẳng và đường thẳng d’: và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0. Viết phương trình đường thẳng cắt d và d’, vuông góc với (P). Nhận xét: Vì đường thẳng cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm của với d và d’ .Khi đó để viết pt đường thẳng ta đi viết pt đường thẳng AB. Để tìm tọa độ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do vuông góc với (P) nên hai vectơ vectơ cùng phương. Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng cùng phương . Phương pháp: Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của với d và d’ Bước 2: Do vuông góc với (P) nên hai vectơ cùng phương. Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt tìm được t và t’. Suy ra A và B. Bước 3: Viết pt đường thẳng AB. Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng. Bài toán 6: Cho đường thẳng và đường thẳng d’: và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d và d’. Nhận xét: Vì vuông góc với d và d’ nên hai vectơ có giá vuông góc với là . Ta có: Như vậy để tìm VTCP của đường thẳng ta đi tìm hai vectơ có giá vuông góc với đường thẳng rồi lấy tích có hướng của hai vectơ đó ta được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Chú ý: Nếu d và d’ song song với nhau thì hai vectơ cùng phương, ta phải giải bằng cách khác. Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng và nằm trong một mặt phẳng. Bài toán 7: Cho đường thẳng và mặt phẳng (P). Viết pt đường thẳng qua A(x;y;z) nằm trong (P) và vuông góc với d. Nhận xét: Vì vuông góc với d và nằm trong (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá là . Ta có: Bài toán 8: Cho đường thẳng và mặt phẳng (P). Viết pt đường thẳng qua A(x;y;z) song song với (P) và vuông góc với d. Nhận xét: Vì vuông góc với d và song song (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá là . Ta có: . Dạng 8: Viết phương trình đường vuông góc chung của của hai đường thẳng chéo nhau: Bài toán 9: Cho đường thẳng chéo nhau và d’: . Viết phương trình đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’. Nhận xét: Do là đường vuông góc chung của d và d’ nên: và cắt d và d’. Do đó ta gọi A, B là giao điểm của với d và d’. Như vậy để viết pt đường thẳng ta đi viết pt đường thẳng AB. Để tìm tọa độ điểm A, B ta dựa vào tính chất sau: Phương pháp: Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của với d và d’. Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A, B. Bước 3: Tìm t và t’ áp dụng . Bước 4: Viết phương trình đt AB đó chính là pt đt . VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG DẠNG Ax+By+Cz+D=0. Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và mp(P) cách điểm một khoảng bằng r, (r là số thưc cho trước). Hướng dẫn giải. Pt mp(P) có dạng: . Do mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên mp(P) có VTPT là . Pt (P): mx+ny+pz+D=0, (để tính D ta áp dụng công thức tính khoảng cách). Ta có: . Chú ý: . Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với và mp(P) cách điểm một khoảng bằng r, (r là số thưc cho trước). Hướng dẫn giải. Pt mp(P) có dạng: . Do mặt phẳng (P) vuông góc với d nên mp(P) có VTPT là . Pt (P): mx+ny+pz+D=0, (để tính D ta áp dụng công thức tính khoảng cách). Ta có: Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và mp(P) cách điểm một khoảng bằng r, (r là số thưc cho trước). Hướng dẫn giải. Pt mp(P) có dạng: . Do mặt phẳng (P) song song với (Q) nên mp(P) có VTPT là . Pt (P): mx+ny+pz+D=0, (để tính D ta áp dụng công thức tính khoảng cách). Ta có: Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng r. Hướng dẫn giải. Pt mp(P) có dạng: . Do mặt phẳng (P) song song với (Q) nên mp(P) có VTPT là . Pt (P): mx+ny+pz+D=0, (để tính D ta áp dụng công thức tính khoảng cách). Ta chọn một điểm M thuộc (Q). Khi đó: Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng d và d’ và mp(P) cách điểm một khoảng bằng r, (r là số thưc cho trước). Hướng dẫn giải. Pt mp(P) có dạng: . Do mp(P) song song với d và d’ nên mp(P) có VTPT là . Pt (P): mx+ny+pz+D=0, (để tính D ta áp dụng công thức tính khoảng cách). Ta có: Chú ý: Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau. Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với hai mp (Q) và (R) và mp(P) cách điểm một khoảng bằng r, (r là số thưc cho trước). Hướng dẫn giải. Pt mp(P) có dạng: . Do mp(P) vuông góc với mp (Q) và (R) nên mp(P) có VTPT: . Pt (P): mx+ny+pz+D=0, (để tính D ta áp dụng công thức tính khoảng cách). Ta có: Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S). Hướng dẫn giải. Xác định tâm I và bán kính r của mc(S). Pt mp(P) có dạng: . Do mặt phẳng (P) song song với (Q) nên mp(P) có VTPT là . Pt (P): mx+ny+pz+D=0, (để tính D ta áp dụng công thức tính khoảng cách). Do (P) tiếp xúc (S) nên ta có: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1;0) và cắt hai đường thẳng: Bài giải Cách 1: - Gọi B, C lần lượt là giao điểm của d với . - Vì B. - Vì C. - Tính: . - Do A, B, C thuộc d nên A, B, C thẳng hàng. Do đó hai vectơ cùng phương. - Đường thẳng d qua C(0;0;0) và có vectơ chỉ phương . Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d1: + Chọn điểm M(1;0;0) thuộc d1. + Mp(P) qua điểm A(1;1;0) và có VTPT . + Pt mp(P): z=0. - Tìm giao điểm B của d2 và (P): + Tọa độ giao điểm B của d2 và (P) là nghiệm hệ pt: - Đường thẳng d chính là đường thẳng AB. Đường thẳng AB qua B(0;0;0) và có VTCP là pt của đường thẳng AB là: Chú ý: Ta nên viết cách 2 bài toán sẽ gọn hơn. Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(-4;5;3) và cắt 2 đt: Bài giải Cách 1: - Gọi B, C lần lượt là giao điểm của d với . - Vì B. - Vì C. - Tính: . - Do A, B, C thuộc d nên A, B, C thẳng hàng. Do đó hai vectơ cùng phương. Khi t=5, t’=0 suy ra B(14;-13;-3), C(2;-1;1). Đường thẳng d qua A(-4;5;3) có VTCP là (6;-6;-2). Pt d: . Cách 2: Viết pt mp (P) qua A và chứa . Chọn M(-1;-3;2) thuộc d1 và . Mặt phẳng (P) có VTPT là :. Pt (P): 6(x+1)+18(z-2)=0x+3z-5=0. Tìm giao điểm H của d2 và (P). Tọa độ giao điểm H của d2 và (P) là nghiệm hệ pt: Đường thẳng d qua hai điểm A, H có VTCP: . Pt đt d: . Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(2;1;0) cắt và vuông góc với đường thẳng d’: . Bài giải Gọi H là giao điểm của d và d’. Vì H thuộc d’ . Do Chọn . Pt đt d qua M có VTCP là: . Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;-3) cắt và vuông góc với đường thẳng d’: . Bài giải Gọi H là giao điểm của d và d’. Vì H thuộc d’ . Do Chọn . Pt đt d qua M có VTCP là: .