Phương pháp tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z O y x O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ . Các trục tọa độ: Ox : trục hoành. Oy : trục tung. Oz : trục cao. Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau. là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz. = (1;0;0), = (0;1;0), = (0;0;1). và . , , . , , . , , CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ M Ox M(x;0;0) M Oy M(0;y;0) M Oz M(0;0;z) M (Oxy) M(x;y;0) M (Oyz) M(0;y;z) M (Oxz) M(x;0;z) Tọa độ của điểm: Tọa độ của vectở: CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ. Cho và số k tuỳ ý, ta có: 1. Tổng hai vectơ là một vectơ. 2. Hiệu hai vectơ là một vectơ. 3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ. 4. Độ dài vectơ. Bằng . Vectơ không có tọa độ là: . Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau. 7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao. 8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz. Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB). Khi đó: Tọa độ vectơ là: . Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài : . Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B. Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: Tọa độ trọng tâm của tam giác: Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC). Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là: 5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng: Cho . Khi đó: Hai vectơ , cùng phương . Hai vectơ , không cùng phương Ba vectơ đồng phẳng . Ba vectơ không đồng phẳng . 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương. Cách 1: và cùng phương . Cách 2: và cùng phương với và cùng phương với Cách 3: và cùng phương . CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng. Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: Cần nhớ Phương pháp Ba điểm A, B, C thẳng hàng hai vectơ cùng phương . Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng. Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính . Bước 2: Tính . Bước 3: Kết luận hai vectơ cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: Cần nhớ Phương pháp Ba điểm A, B, C không thẳng hàng hai vectơ không cùng phương Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính . Bước 2: Tính . Bước 3: Vậy hai vectơ không cùng phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác. Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng. Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng. Cần nhớ Phương pháp Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng đồng phẳng . Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính . Bước 2: Tính . Bước 3: Vậy ba vectơ không đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Chú ý: A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD. Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Cần nhớ Phương pháp Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng đồng phẳng . Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là bốn điểm thuộc một mp. Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính . Bước 2: Tính . Bước 3: Vậy ba vectơ đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc. Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ. Phương pháp Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0) 2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các phẳng tọa độ. Phương pháp Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0) Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0) Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện. Cần nhớ Phương pháp Thể tích của khối tứ diện ABCD A D B C Bước 1: Tính . Bước 2: Tính Bước 3: Chú ý: Thể tích không âm. Vấn đề 5: Diện tích tam giác. Diện tích tam giác ABC A B C Chú ý: Diện tích không âm. Bước 1: Tính . Bước 2: Tính . Bước 3: Tính . Bước 4: ADCT MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu. Dạng 1 Dạng 2 Mặt cầu (S): Có tâm I(a;b;c) và bán kính r Mặt cầu (S): Có tâm I(a;b;c) với Bán kính: Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu. Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính r=m (với m là số thực). Phương pháp: Pt mặt cầu (S): (*). Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=m. Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực). Phương pháp: Pt mặt cầu (S): (*). Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=. Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A. Phương pháp: Pt mặt cầu (S): (*). Mặt cầu có tâm I(a;b;c) Bán kính r=. Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính r hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính r. Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB. Phương pháp: Pt mặt cầu (S): (*). Gọi I trung điểm AB Mặt cầu có tâm I(a;b;c) Bán kính r=. Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Chú ý: Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính. Ta có thể tính r theo 2 cách sau: r= hoặc r=. Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phương pháp: Pt mặt cầu (S): (*). Mặt cầu có tâm I(a;b;c). Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: . Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Phướng pháp. Pt mặt cầu (S) có dạng: (*) Vì A, B, C, D thuộc (S): Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d. Sau đó thế a, ,b , c, d vào pt (*). Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.\ Loại 2: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phướng pháp. Pt mặt cầu (S) có dạng: (*) Vì A, B, C thuộc (S): Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ tư. Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d. VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến. Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm và có vectơ pháp tuyến . Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm . Mặt phẳng (P) có VTPT . Ptmp (P): . M P) Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm và song song hoặc chứa giá của hai vectơ . Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm . Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là Mặt phẳng (P) có VTPT . Ptmp(P): . Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q). Phương pháp: Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: Ax+By+Cz+m=0, với . Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và pt (P) ta tìm được m. Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến. P) Q) M Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Phương pháp: Mặt phẳng (P) đi qua M. Mặt phẳng (P) có VTPT: . Ptmp(P): M P) Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. Phương pháp: Mặt phẳng (P) đi qua A. Mặt phẳng (P) có VTPT: . Pt(P): C B A B P) Q) A Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q). Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm A. Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: . Nên mp(P) có VTPT: . Ptmp(P): Dạng 6: Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’. Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’. Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm . Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: . Mp(P) có VTPT: . Ptmp(P): Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d. Phương pháp: Chọn điểm M thuộc đt d. Mặt phẳng (P) qua điểm A. Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: . Nên mp(P) có VTPT: . Ptmp(P): Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp: Gọi I là trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua điểm I. Mặt phẳng (P) có VTPT . Ptmp (P): . P) A I B Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R). Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm M. Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: . Nên mp(P) có VTPT: . Ptmp(P): Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A. Phương pháp: Xác định tâm I của mc(S). Mặt phẳng (P) qua điểm A. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến . Ptmp(P): Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và tiếp xúc mặt cầu (S). r = d(I,(P)) I P) Phương pháp: Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu. Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Vì mp(P) có VTPT . Do mp(P) tiếp xúc mc(S) Chú ý: . Chú ý: Các kết quả thường dùng: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) với I là tâm mặt cầu (S) r là bán kín mặt cầu (S) Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) với I là tâm mặt cầu (S) r là bán kín mặt cầu (S) Vấn đề 5: Khoảng cách: Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là Dạng 2(nâng cao): Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d: Xác định điểm M0 thuộc d và vtcp của d . Tính: ADCT: Dạng 3(nâng cao): Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 : Trước tiên ta xác định: 1 có vtcp và đi qua điểm M1 2 có vtcp và đi qua điểm M2 d(1;2) = VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B. Phương pháp: Đường thẳng d đi qua điểm A. Đường thẳng d có VTCP: . Pt tham số:. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Phương pháp: Đường thẳng d đi qua điểm M. Đường thẳng d có VTCP: . Pt tham số:. Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Phương pháp: Đường thẳng d đi qua điểm M. Đường thẳng d có VTCP: . Pt tham số: . Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP. VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P): Ax+By+Cz+D=0. Phương pháp: Gọi H là giao điểm của d và (P). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt: Xét pt: (*).Giải pt (*) tìm tx, y, z H. VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P). Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Tìm giao điểm H của d và (P). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P). M H Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P). Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Tìm giao điểm H của d và (P). Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM”. M’=.. M H M/ Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’ VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d. Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Tìm giao điểm H của d và (P). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d. (d) H M P) Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d. Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Tìm giao điểm H của d và (P). Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM’. M’=.. M M/ H P) (d) Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’. VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Bước 1: Xác định điểm M thuộc d và VTCP của d. Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP của d’. Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính Nếu thì cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’. Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’. Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’. Nếu thì không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau. Nếu thì d và d’ cắt nhau. Nếu thì d và d’ chéo nhau. VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP. Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d: và mp(P): Ax+By+Cz+D=0. Ta làm như sau: Xét pt: (*).Giải pt tìm t. Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm. Pt (*) vô nghiệm d song song với (P). Pt(*) có vô số nghiệm t d nằm trong (P). Chú ý: VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH. 1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A Phương pháp: Tính Tính Suy Suy ra . Kết luận tam giác ABC vuông tại A Chú ý: Nếu tam giác ABC vuông tại B Nếu tam giác ABC vuông tại C 2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ VUÔNG GÓC với nhau. Cần nhớ: Phương pháp: Đường thẳng d có VTCP: =... Đường thẳng d’ có VTCP: =... Tính Suy ra: . Kết luận d và d’ vuông góc với nhau. 3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’. Phương pháp: Do ta giải pt tìm được tham số. 4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’. Cần nhớ: Hai đường thẳng song song không có điểm chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia. Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ phương cùng phương với nhau. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau: Cách 1: Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương cùng phương: Ta chứng minh . Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận. Cách 2: Bước 1: Lập tỉ số: Tức là cùng phương . Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận. 5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’. Phương pháp: Bước 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương . Bước 2: Vì d //d’ nên cùng phương , lập pt hoặc hệ pt để tìm m. 6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng: d: và d’: Cách tìm: Bước 1: Gọi I là giao điểm của d và d’. Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt: (*) Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại. Giải hệ pt . Tìm t và t’. Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ (*) vô nghiệm. Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I. 7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau. Phương pháp: Cách 1: Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương của d. Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương của d’. Chứng minh: . Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’. 8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau. Phương pháp: Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương của d. Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương của d’. Chứng minh: . VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. Cách tính: Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau: Chọn điểm M thuộc (P). . VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Chọn điểm M thuộc d. . VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng d có phương trình tham số: . Cần nhớ: Đường thẳng là tập hợp vô số điểm. Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: . VẤN ĐỀ 18: GÓC. 1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương. Chú ý: . 2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Chú ý: . 3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. Chú ý: . VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S). Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S). Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): . TH1: (hay (P) và (S) không có điểm chung). TH2: TH3: Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C). Gọi H là tâm của (C). Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I và vuông góc mp(P). Gọi r’ là bán kính của (C). Khi đó: . Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) nên tam giác IMH vuông tại H. Với: r=IM, d=IH= và r’=MH.