Phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

1 1. PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC 1. Định nghĩa : • Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng : A > B ⇔ A – B > 0 hay A < B ⇔ A – B < 0 A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 hay A ≤ B ⇔ A – B ≤ 0 (dạng suy rộng) Trong đó A, B là các biểu thức chứa biến số hay các số. 2. Tính chất cơ bản : 2.1 a > 0 ⇔ a + m > b + m 2.2 Nếu m > 0 thì : a > b ⇔ am > bm Nếu m b ⇔ am < bm 3. Vài tính chất khác : 3.1 Nếu a > b thì b < a 3.2 Nếu a > b và b > c thì a > c 3.3 Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d (tính chất này không áp dụng cho phép trừ hai đẳng thức cùng chiều) 3.4 Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd 3.5 Nếu a > b và ab > 0 thì <1 1 a b 3.6 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : an > bn 3.7 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : >n na b Ghi chú : Các tính chất nêu trên vẫn được sử dụng đối với các bất đẳng thức suy rộng. 4. Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức : • Dựa vào định nghĩa (xét hiệu hai vế) • Dùng phương pháp biến đổi tương đương • Dựa vào các bất đẳng thức đúng đã biết hoặc phối hợp các phương pháp này. 2 B. PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0 Lưu ý : A2 ≥ 0 A2 + B2 ≥ 0 Và các hằng bất đẳng thức : (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 ≥ 0 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + BC + CA) ≥ 0 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. x4 + y4 ≥ x3y + xy3 2. x4 + y4 + 2 ≥ 4xy 1.2 1. Cho hai số dương x, y chứng minh bất đẳng thức : x3 + y3 ≥ x2y + xy2 2. Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x3 + y3 = x – y. Chứng minh bất đẳng thức : x2 + xy + y2 < 1 1.3 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 2. 2 2 2a b c ab 2bc ca 4 + + ≥ + − 1.4 Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + 4 ≥ 2(x + y) + xy Đẳng thức xảy ra khi nào ? Gợi ý : Tách –2x thành x – 3x, đưa hiệu hai vế về dạng : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 1 3 1 2 2 x xy 1.5 Chứng minh rằng nếu abc = 1 và a3 > 36 thì : 2 2 2 3 + + > + +a b c ab bc ca 3 Gợi ý : Tách 2 3 a thành + 2 2 4 12 a a . Đưa hiệu hai vế về dạng : −⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 3 36 2 12 a ab c a C. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng. Cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn : A2 > B2 ⇔ A > B trong điều kiện A, B > 0 m > n ⇔ Am > An trong điều kiện A > 1 và m, n nguyên dương 1.6 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax – by)2 2. x + y + z ≥ + +xy yz zx (với x, y, z ≥ 0) 1.7 Chứng minh bất đẳng thức : (a6 + b6)(a4 + b4) ≤ 2(a10 + b10) 1.8 Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 1. Nếu <a 1 b thì +< + a a c b b c 2. Nếu >a 1 b thì +> + a a c b b c 1.9 Cho hai số dương a và b và ≤x y a b . Chứng minh rằng : +≤ ≤+ x x y y a a b b 1.10 1. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng : < <+ + + + + a a 2a a b c b c a b c 2. Suy ra : < + + <+ + + a b c1 2 b c c a a b 4 Hướng dẫn : 2. ⎫< < ⎪+ + + + + ⎪⎪< < ⎬+ + + + + ⎪⎪< < ⎪+ + + + + ⎭ a a 2a a b c b c a b c b b 2b a b c c a a b c c c 2c a b c a b a b c ⇒ < + < <+ + + a b c1 2 b c c a a b 1.11 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≥ b. Chứng minh rằng : a(a2 – 3ab – c2) ≤ b(b2 – 3ab – c2) 1.12 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1 . Chứng minh rằng : ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 11 1 9 x y Hướng dẫn : Trong điều kiện x > 0, y > 0 và x + y = 1 ta có : (x + 1)(y + 1) ≥ 9xy ⇔ xy + x + y + 1 ≥ 9xy ⇔ 2 ≥ 8xy ⇔ 1 ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (x – y)2 ≥ 0 1.13 Cho a > b > 0 và hai số nguyên dương m và n với m > n. Chứng minh rằng : − −>+ + m m n n m m n n a b a b a b a b 1.14 Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z. Chứng minh rằng : − + − ≤z(x z) z(y z) xy 1.15 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x3 + y3 + z3 = 1. 1. Chứng minh bất đẳng thức : ≥− 2 3 2 x 2x 1 x 2. Suy ra : + + >− − − 2 2 2 2 2 2 x y z 2 1 x 1 y 1 z Gợi ý : 2. Lưu ý đẳng thức không xảy ra. 5 1.16 Cho xy ≥ 1 , chứng minh bất đẳng thức : + − ≥+ + +2 2 1 1 2 0 1 x 1 y 1 xy Hướng dẫn : Trong điều kiện xy ≥ 1 Bất đẳng thức tương đương với : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2 1 1 1 1 1 x 1 xy 1 y 1 xy ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ − − ≥+ + + 2 2 2 (x y) (xy 1) 0 (1 x )(1 y )(1 xy) ⇔ xy – 1 ≥ 0 1.17 Cho x ≥ y ≥ z > 0. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1y (z x) (z x) z x y z x Hướng dẫn : Trong điều kiện x ≥ y ≥ z > 0, chứng minh bất đẳng thức tương đương với y2 + zx ≤ yz + xy ⇔ (y – x)(y – z) ≤ 0 1.18 Tìm các số nguyên x, y, z thỏa bất đẳng thức : x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – 3 Hướng dẫn : Do x, y, z là số nguyên, bất đẳng thức tương đương với : x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 3 ≤ -1 ⇔ ( )2 22 23 1 2 1 04 4y yx xy y z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + + − + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ 2 2 23 1 ( 1) 0 2 2 y yx z⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm được : x = 1 , y = 2 , z = 1 6 D. PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP Dựa vào các tính chất của bất đẳng thức và các hằng bất đẳng thức bằng suy diễn để tìm ra bất đẳng thức phải chứng minh. Ta thường dùng các bổ đề sau : A2 + B2 ≥ 2AB (A + B)2 ≥ 4AB + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2A B A B 2 2 A + 1 A ≥ 2 (với A > 0) +A B B A ≥ 2 (với AB > 0) + ≥ + 1 1 4 A B A B (với A, B > 0) 1.19 Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + z2 + t2 ≥ (x + y)(z + t) 1.20 Chứng minh rằng : 1. Nếu a + b > 2 thì a2 + b2 > 2 2. Nếu a2 + b2 ≤ 2 thì a + b ≤ 2 1.21 Chứng minh bất đẳng thức : x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) 1.22 Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 ≤ x + y ≤ 2 1.23 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 = 1 thì : − 1 2 ≤ ab + bc + ca ≤ 1 Hướng dẫn : Với a2 + b2 + c2 = 1 ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 hay 1 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 ab + bc + ca ≥ - 1 2 (1) 7 Mặt khác : ⎫+ ≥ ⎪+ ≥ ⎬⎪+ ≥ ⎭ 2 2 2 2 2 2 a b 2ab b c 2bc c a 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca hay ab + bc + ca ≤ 1 (2) 1.24 Cho hai số không âm a, b. Chứng minh rằng : (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 1.25 Cho ba số không âm x, y, z. Chứng minh rằng : (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz 1.26 Chứng minh bất đẳng thức : (x + y)2(y + z)2 ≥ 4xyz(x + y + z) Hướng dẫn : (x + y)2(y + z)2 = (xy + y2 + zx + yz)2 = [(x + y + z)y + zx]2 ≥ 4(x + y + z)y.zx = 4xyz(x + y + z) 1.27 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = 1 Chứng minh rằng : y + z ≥ 16xyz Hướng dẫn : 12 = [x + (y + z)]2 ≥ 4x(y + z) mà y + z > 0 1(y + z) ≥ 4x(y + z)2 mà (y + z)2 ≥ 4yz y + z ≥ 4x.4yz = 16xyz 1.28 1. Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng : + + ++ + ≥x y y z z x 6 z x y 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh : + ++ − + − + − 2a 2b 2c b c a c a b a b c ≥ 6 Hướng dẫn : 2. Đặt : b + c – a = x ; c + a – b = y ; a + b – c = z thì : 2a = y + z ; 2b = z + x ; 2c = x + y Vận dụng kết quả của câu (1) 8 1.29 Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : xyzt = 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 + t2 + x(y + z) + y(z + t) + z(t + x) + t(x + y) ≥ 12 Gợi ý : x, y, z, t > 0 và xyzt = 1 cho zt = >1 0 xy ; xy + zt = xy + 1 xy ≥ 2 1.30 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : + =1 1 2 x y z Chứng minh bất đẳng thức : + ++− − x z z y 2x z 2y z ≥ 4 Hướng dẫn : Tính z theo x, y : z = + 2xy x y . Thế vào vế trái của bất đẳng thức phải chứng minh rồi biến đổi : x z z y x 3y y 3x 1 3 y 1 3 x. . 2x z 2y z 2x 2y 2 2 x 2 2 y + + + ++ = + = + + +− − = ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 3 x y 31 .2 4 2 2 2 y x 2 1.31 Cho ba số dương x, y, z . 1. Chứng minh bất đẳng thức : +≤+ xy x y x y 4 2. Suy ra : + ++ + ≤ + + + 1 1 1 x y z 1 1 1 1 1 1 2 x y y z z x Gợi ý : 2. = =+ ++ 1 1 xy 1 1 x y x y x y xy ≤ +x y 4 9 1.32 1. Cho hai số dương x, y . Chứng minh rằng : + ≥ + 1 1 4 x y x y Đẳng thức xảy ra lúc nào ? 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞+ + ≥ + +⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c Đẳng thức xảy ra lúc tam giác có đặc điểm gì ? 1.33 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác . Chứng minh bất đẳng thức : + + > + ++ − + − + − 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Hướng dẫn : Do bất đẳng thức giữa độ dài ba cạnh một tam giác, ta có : a + b – c > 0 b + c – a > 0 c + a – b > 0 Nên : ++ − + − 1 1 a b c b c a ≥ =+ − + + − 4 2 a b c b c a b (1) Tương tự : + ≥+ − + − 1 1 2 b c a c a b c (2) + ≥+ − + − 1 1 2 c a b a b c a (3) Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh. 1.34 Cho hai số dương x,y thỏa điều kiện x+y =1. Chứng minh bất đẳng thức : + ≥+2 2 1 1 6 xy x y Hướng dẫn : - Dùng hằng bất đẳng thức : (x + y)2 ≥ 4xy tìm được : ≥1 4 xy - Vận dụng bất đẳng thức : + ≥ + 1 1 4 a b a b (với a, b > 0) : ⎛ ⎞+ = + + ≥ +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 xy x y 2xy 2xy x y 2xy (x y) 10 1.35 Cho ba số x, y, z thỏa hai điều kiện : x + y + z = 2 và xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng mỗi số x, y, z đều thuộc đoạn 40; 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Hướng dẫn : x + y + z = 2 ⇔ 2 – x = y + z (2 – x)2 = (y + z)2 ≥ 4yz 4yz = 4[1 – x(y + z)] = 4[1 – x(2 – x)] (2 – x)2 ≥ 4(x – 1)2 ⇔ x(3x – 4) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 3 Tương tự với y và z. 1.36 1. Chứng minh bất đẳng thức : + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2a b a b 2 2 2. Vận dụng để chứng minh rằng nếu có + + + = +1 x 1 y 2 1 z thì có : x + y ≥ 2z 1.37 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 221 1 25x y x y 2 Hướng dẫn : Vận dụng bất đẳng thức : + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2a b a b 2 2 2 221 1 1 1 1 1x y x y 2 x y 4 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 1 x yx y 4 xy ⎡ ⎤+= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 1 11 4 xy ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ (do x + y = 1) Mặt khác : (x + y)2 ≥ 4xy hay 1 ≥ 4xy ⇒ ≥1 4 xy (do xy > 0) Nên : ( )⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 22 21 1 1 25x y 1 4 x y 2 2 11 1.38 1. Chứng minh bất đẳng thức : + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 22 2 2a b c a b c 3 3 2. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 22 21 1 1x y z 33 x y z Hướng dẫn : 2. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 22 21 1 1 1 1 1 1x y z x y z x y z 3 x y z = ( )⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ++ + + + + = + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 1 1 1 1 1 x y z x y z x y zx y z 1 3 x y z 3 x y z = ( )⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + + ≥ + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 21 x y y z z x 11 (1 1 1) 1 1 1 1 2 2 2 3 y x z y x z 3 = >21 .10 33 3 1.39 1. Cho a > b > 0, so sánh hai số : A = ++ + 2 1 a 1 a a B = ++ + 2 1 b 1 b b 2. So sánh hai số : A = +1999 2001 B = 2 2000 1.40 Cho hai số nguyên m và n với m > n. Chứng minh rằng : 1. Nếu 0 < x < 1 thì xm < xn 2. Nếu x > 1 thì xm > xn Hướng dẫn : Đặt k = m – n > 0 1. Nếu 0 < x < 1 thì : 0 < xk < 1k và 0 < xn Nên : xn.xk < xn.1k hay xn.xm – n < xn.1k xm < xn 2. Nếu x > 1 thì : Nên : xn.xk > xn.1k hay xn + k > xn xm > xn 12 1.41 1. Chứng minh bất đẳng thức : a12 – a9 + a4 – a + 1 > 0 2. Chứng minh rằng nếu có bất đẳng thức : y ≥ x3 + x2 + |x| + 1 thì có bất đẳng thức : x2 + y2 ≥ 1 1.42 Cho –1 ≤ x ≤ 1 và số nguyên dương n, chứng minh rằng : (1 + x)n + (1 – x)n ≤ 2n Gợi ý : Từ –1 ≤ x ≤ 1 suy ra : 0 ≤ +1 x 2 ≤ 1 và 0 ≤ −1 x 2 ≤ 1 Nên : + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ n1 x 1 x 2 2 − −⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠ n1 x 1 x 2 2 1.43 Cho ba số không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1 Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z Đẳng thức xảy ra khi nào ? Hướng dẫn : Do x + y + z = 1, ta có : 1 – x = y + z Do 0 ≤ y ≤ 1 , ta có : 0 ≤ 1 – y2 ≤ 1 Từ hằng bất đẳng thức : (a + b)2 ≥ 4ab 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) = 4[(y + z)(1 – z)].(1 – y) ≤ ≤ (y + z + 1 – z)2.(1 – y) = (1 + y)2(1 – y) = (1 – y2)(1 + y) ≤ ≤ 1 + y = x + y + z + y = x + 2y + z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2 1 x 1 z (1 y )(1 y) 1 y x y z 1 − = −⎧⎪ − + = +⎨⎪ + + =⎩ ⇔ x = z = 1 2 ; y = 0 1.44 Cho x2 + y2 + z2 = 1 , chứng minh bất đẳng thức : xyz + 2(xy + yz + zx + x + y + z + 1) ≥ 0 Hướng dẫn : Trong điều kiện : x2 + y2 + z2 = 1 biến đổi vế trái thành : A = (xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1) + (xy + yz + zx + x + y + z + 1) Mà : 13 xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 = (x + 1)(y + 1)(z + 1) (1) Và xy + yz + zx + x + y + z + 1 = x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx + x + y + z = 2(x y z 1) 2 + + + (2) Mà |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 , |z| ≤ 1 suy ra điều phải chứng minh. 1.45 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác thì : ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Gợi ý : a 0 ⇒ a2 < a(b + c) hay a2 < ab + ca 1.46 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác . Chứng minh bất đẳng thức : abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) Hướng dẫn : a, b, c > 0, a + b > c, b + c > a, c + a > b a2 ≥ a2 – (b – c)2 hay a2 ≥ (a + b – c)(c + a – b) (1) Tương tự : b2 ≥ (b + c – a)(a + b – c) (2) c2 = (c + a – b)(b + c – a) (3) 1.47 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≤ b ≤ c. Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)2 ≤ 9bc Hướng dẫn : Do a ≤ b nên : (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)2 ≤ 9bc Xét hiệu hai vế : (2b + c)2 – 9bc = (b – c)(4b – c) Mà b ≤ c nên b – c ≤ 0, do đó ta còn phải chứng minh : 4b – c ≥ 0 Do a ≤ b nên : 4b – c = 2b + (b + b – c) ≥ 2b + (a + b - c) Mà a + b – c > 0 nên : 4b – c ≥ 2b + (a + b – c) > 0 Bất đẳng thức được chứng minh. 14 1.48 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi là 2. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Hướng dẫn : Trước hết chứng minh : a < 1; b < 1 ; c < 1 Để có : (1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0 ⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca – abc > 0 Mà a + b + c = 2, nên : -1 + ab + bc + ca – abc > 0 Vận dụng hằng đẳng thức : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca = 2 2 2 2 2 2 2(a b c) (a b c ) a b c2 2 2 + + − + + + += − Ta có : -1 + 2 - 2 2 2a b c abc 0 2 + + − > hay 2 – (a2 + b2 + c2) – 2abc > 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 15 2. VÀI BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG A. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1. Định lý : • Với hai số không âm a và b, ta có bất đẳng thức : a b ab 2 + ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b 2. Hệ quả : • Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 và tổng a + b = k (hằng) thì tích ab lớn nhất khi và chỉ khi a = b : max(ab) = 2k 4 ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình vuông có diện tích lớn nhất. • Nếu a ≥ b, b ≥ 0 và tích ab = k (hằng) thì tổng a + b nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b min(a + b) = 2 k ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất. 3. Tổng quát : • Với a1, a2, , an là n số không âm, ta có bất đẳng thức : 1 2 n n 1 2 n a a ... a a a ...a n + + + ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a1 = a2 = = an 2.1 1. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : a b ab 2 + ≥ 2. Vận dụng để chứng minh bất đẳng thức Cauhy có bốn số không âm, ba số không âm : 4a b c d abcd 4 + + + ≥ 3a b c abc 3 + + ≥ 16 2.2 1. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc 2. Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức : a4 + b4 + c4 ≥ abc 2.3 1. Chứng minh rằng, nếu x > 1 thì : x 2 x 1 ≥− 2. Cho x > 1 và y > 1, chứng minh bất đẳng thức : 2 2x y y 1 x 1 +− − ≥ 8 2.4 1. Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 a 5 a 1 + + ≥ 4 2. Cho a ≥ 1 và b ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức : a b 1 b a 1− + − ≤ ab Gợi ý : 1. 2 2 2 2 a 5 4a 1 a 1 a 1 + = + ++ + 2. a 1 (a 1).1− = − 2.5 1. Cho a, b, c ≥ - 1 4 và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức : 4a 1 4b 1 4c 1 5+ + + + + < 2. Cho a, b, c > 0, Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 2 1 1 1 a b c a bc b ca c ab 2abc + ++ + ≤+ + + Hướng dẫn : 1. Lưu ý đẳng thức không xảy ra. 2. a2 + bc ≥ 2 2a bc = 2a bc ⇒ 2 1a bc+ ≤ 1 2a bc 17 2.6 Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z. Chứng minh bất đẳng thức : z(x z) z(y z) xy− + − ≤ Hướng dẫn : Bình phương hai vế được : z(x – z) + z(y – z) + 2 z(x z).z(y z)− − ≤ xy ⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ 2z2 + xy – yz – zx ⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ z2 + (x – z)(y – z) Đây là bất đẳng thức đúng theo bất đẳng thức Cauchy với hai số dương z2 và (x – z)(y – z) 2.7 Gọi a, b, c là ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi a b cp 2 + +⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠ . Chứng minh bất đẳng thức : (p – a)(p – b)(p – c) ≤ 1 abc 8 2.8 Gọi R, r và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích một tam giác vuông. Chứng minh rằng : R + r ≥ 2S Hướng dẫn : Gọi a là độ dài canh huyền, b và c là độ dài hai cạnh góc vuông R = a 2 S = 1 (a b c)r 2 + + và S = 1 bc 2 r = bc a b c+ + Nên : R + r = 2a bc a(a b c) 2bc a ab ca 2bc 2 a b c 2(a b c) 2(a b c) + + + + + ++ = =+ + + + + + Mà theo định lí Pitago thì : a2 = b2 + c2 nên R + r = 2 2 2b c ab ac 2bc (b c) a(b c) 2(a b c) 2(a b c) + + + + + + +=+ + + + = (b c)(a b c) b c 2(a b c) 2 + + + +=+ + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương b, c: 18 R + r = b c 2 + ≥ bc 2S= (do S = 1 bc 2 ) 2.9 1. Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c) 1 1 1 a b c ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ 9 2. Vận dụng kết quả đó để chứng minh bất đẳng thức : x y z 3 y z z x x y 2 + + ≥+ + + với x, y, z là ba số dương. Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 3 3 a b c 3 abc 1 1 1 1 1 13 . . a b c a b c ⎫+ + ≥ ⎪⎬+ + ≥ ⎪⎭ ⇒ ( ) 1 1 1a b c a b c ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 9 2.10 1. Cho x ≥ 0 và y ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức : 3x2 + 7y2 > 9xy2 2. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức : a3 + b3 + c3 ≥ a2 2 2bc b ca c ab+ + Gợi ý : 1. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : 3x3 + 7y3 = 3x3+3y3 + 4y3 ≥ 3 3 33 3x .3y .4y = 2 233xy 3 .4 >3xy2 33 3 = 9xy2 2. a3 + b3 + c3 ≥ 3abc ⇔ 2(a3 + b3 + c3) ≥ a3 + b3 + c3 + 3abc = (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc) a3 + abc ≥ 2 3 2a abc 2a bc= b3 + abc ≥ 2b2 ca c2 + abc ≥ 2c2 ab a3 + b3 + c3 ≥ a2 2 2bc b ca c ab+ + 19 2.11 Chứng minh các bất đẳng thức sau đây : 1. 4(x2 + y2)3 ≥ 27x2y4 2. 6 9x y 4 + ≥ 3x2y3 – 16 (với y ≥ 0) Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : 1. x2 + y2 = x2 + 2 2y y 2 2 + ≥ 3 2 2 23 y yx . . 2 2 2. 6 9x y 4 + ≥ 3x2y2 – 16 ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x2y3 x6 + y9 + 64 = (x2)3 + (y3)3 + 43 ≥ 3 6 9 33 x .y .4 2.12 Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện : 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z + + ≥+ + + Chứng minh rằng : xyz ≤ 1 8 Gợi ý : Điều kiện đã cho tương đương với : 1 ≥ 2xyz + xy + yz + zx Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với bốn số không âm 2.13 1. Cho n số dương : x1, x2, ,xn . Chứng minh rằng : 1 2 n 2 3 1 x x x... x x x + + + ≥ n 2. Cho ba số không âm z, y, z thoả điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng : xy2z3 ≤ 1 432 Gợi ý : 2. x + y + z = x + y y z z z 2 2 3 3 3 + + + + (=1) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho sáu số không âm. 20 2.14 1. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng : 16xyz ≤ y + z 2. Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : 1 1 1 1 3 1 x 1 y 1 z 1 t + + + ≥+ + + + Chứng minh rằng : xyzt ≤ 1 81 Hướng dẫn : 1. 1 = x + (y + z) ≥ 2 x(y z)+ ⇔ 1 ≥ 4x(y + z) ⇔ y + z ≥ 4x(y + z)2 ⇔ y + z ≥ 4x(2 yz )2 ⇔ y + z ≥ 16xyz 2. Nhận xét : 1 1 1 11 1 1 1 x 1 y 1 z 1 t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = y z t 1 y 1 z 1 t + ++ + + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : 1 y z t 1 x 1 y 1 z 1 t ≥ + ++ + + + ≥ 3 3 yzt (1 y)(1 z)(1 t)+ + + Tương tự, rồi nhân theo vế bốn bất đẳng thức tìm được : 1 (1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + + ≥ 81 xyzt (1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + + xyzt ≤ 1 81 21 B. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARTZ 4. Định lí : • Nếu (a ; b) và (z ; y) là hai bộ hai số thì : (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) hay |ax + by| ≤ 2 2 2 2(a b )(x y )+ + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y a b = (với qui ước a = 0 thì x = 0, b = 0 thì y = 0) 5. Tổng quát : Nếu (a1 , a2 , , an) và (x1 , x2 , , xn) là hai bộ n số thì : (a1x1 + a2x2 + + anxn)2 ≤ (a12 + a22 + + an2)(x12 + x22 + + xn2) hay |a1x1 + a2x2 + + anxn| ≤ ( )( )2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 na a ... a x x ... x+ + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n 1 2 n x x x... a a a = = = (với qui ước trên) 2.15 Chứng minh các bất đẳng thức : 1. (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) 2. (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) 2.16 1. Cho hai số x, y thỏa điều kiện 4x – 6y = 1. Chứng minh rằng : 4x2 + 9y2 ≥ 1 8 2. Cho hai số x, y thoả điều kiện 2x + 3y = 5. Chứng minh rằng : 2x2 + 3y2 ≥ 5 2.17 1. Cho a2 + b2 = 1 và x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh bất đẳng thức : |ax + by + z| ≤ 2 2. Cho xy + yz + zx = 4. Chứng minh bất đẳng thức : x4 + y4 + z4 ≥ 16 3 22 2.18 Cho 3 2 ≤ x ≤ 50 3 , chứng minh bất đẳng thức : x 1 2x 3 50 3x 12+ + − + − < 2.19 Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện x > z và y > z. Chứng minh : z(x z) z(y z) xy− + − ≤ Gợi ý : z(x z) z(y z) z. x z y z. z− + − = − + − ≤ (z y z)(x z z) yx+ − − + = 2.20 Cho x + y + z = 1. Chứng minh bất đẳng thức : x2 + 4y2 + 9z2 ≥ 36 49 Gợi ý : 1 = 2 2 2 2 2 2 21 1 1 11.x .2y 3z 1 x (2y) (3z) 2 3 2 3 ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2.21 Cho hai số x, y thỏa điều kiện : (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 Chứng minh rằng : x + 2y ≤ 10 Hướng dẫn : [1(x – 1)2 + 2(y – 2)2] ≤ (12 + 22)[(x – 1)2 + (y – 2)2] = 5.5 (x + 2y – 5)2 ≤ 25 x + 2y – 5 ≤ |x + 2y – 5| ≤ 5 x + 2y ≤ 10 2.22 Gọi x0 là một nghiệm của phương trình bậc hai : x2 + px + q = 0. Chứng minh rằng : x02 < p2 + q2 + 1 Hướng dẫn : x02 + px0 + q = 0 ⇔ x02 = - (px0 + q) x04 = (px0 + q)2 ≤ (p2 + q2)(x02 + 1) 23 p2 + q2 = 4 0 2 0 x x 1+ > ( )( )2 24 0 0 20 02 2 0 0 x 1 x 1x 1 x 1 x 1 x 1 + −− = = −+ + x02 < p2 + q2 + 1 2.23 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác , đặt p = a b c 2 + + . Chứng minh rằng : p p a p b p x< − + − + − ≤ 3p Hướng dẫn : - Dùng biến đổi tương đương để có : p p a p b p c< − + − + − - Dùng bất đẳng thức Schwartz để có : p a p b p c− + − + − ≤ 3p 2.24 Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức : xyz(x + y + z) ≤ x3y + y3z + z3x Hướng dẫn : - Chứng minh bất đẳng thức tương với : x + y + z ≤ 2 2 2x y z z x y + + - Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : 2 x y z. z . x . y z x y ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ ≤ ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2x y z z x y z x y ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2.25 Cho a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Chứng minh bất đẳng thức : (x2 + ax + b)2 + (x2 + cx + d)2 ≤ (2x2 + 1)2 Hướng dẫn : Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : (x2 + ax + b)2 = (x.x + ax + b.1)2 ≤ (x2 + a2 + b2)(x2 + x2 + 1) (1) (x2 + cx + d)2 = (x.x + cx + d.1)2 ≤ (x2 + c2 + d2)(x2 + x2 + 1) (2) Cộng (1) và (2) được điều phải chứng minh . 24 C. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 6. Định lí : • Với hai số thực