Phân tích đa thức thành nhân tử

A. Đặt vấn đề Xét cho cùng thì việc học toán là để “giải các bài toán”, bài toán ở đây có thể là bài tập áp dụng bằng số, các bài tập lí thuyết, các bài toán thực tế… Thoạt nhìn một bài toán, ta khó có thể nói chắc chắn bài toán mà ta đang xét thuộc “mức độ” nào. Chính vì vậy mà ta phải có phương pháp giải toán nói chung và phải có kĩ năng nhìn nhận, giải quyết vấn đề trong học toán. Không có một cách giải toàn năng cho mọi bài toán. Chính vì vậy trong dạy và học toán, không có phương pháp tốt thì chắc chắn sẽ không có kết quả cao. Đứng trên quan điểm hoạt động hoá nội dung và quá trình dạy và học toán thì học một nội dung toán nào đó (một đối tượng, một sự kiện hay một phương pháp học toán cụ thể) là sự tạo lại nọ, sự vận dụng nó bằng cách thực hiện những hoạt động liên hệ với chính nó. Dạy một nội dung toán học là khai thác lựa chọn những hoạt động tiềm tàng trong nội dung này. Từ đó tổ chức, điều khiển học sinh thực hiện những hoạt động này trên cơ sở bảo đảm những thành phần tâm lí cơ bản của hoạt động. Khi tính toán các phép tính liên quan đến đa thức, nhiều khi ta cần phải biến đổi đa thức đó trở thành tích và việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp ta thực hiện điều đó. Việc phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở cho học sinh thực hiện nhiều bài toán sau này như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, giải phương trình… và còn theo các em học sinh lên cấp III và cả về sau nên khi dạy chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ngoài các phương pháp cơ bản mà sách giáo khoa đã nêu, chúng ta nên khai thác sâu, rèn cho học sinh kĩ năng, tư duy để từ đó biết lựa chọn phương pháp phù hợp để giải bài toán và phát triển trí lực khi giải toán liên quan đến đa thức nói riêng và bài toán nói chung. Khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử, ngoài việc khai thác và truyền thụ kiên thức trong SGK, chúng ta cần hướng khai thác cho học sinh đến phương pháp và mở rộng những dạng phân tích thành nhân tử ngoài sách giáo khoa đặc biệt là khai thác cho học sinh khá giỏi. B. Nội dung I/ Cách giải một bài toán nói chung Thông thường khi giải một bài toán, cần trải qua các bước như sau: Tìm hiểu đề Khai thác đề toán Tìm tòi lời giải + Nhận dạng và tập hợp kiến thức + Phân tích đơn giản hoá bài toán + Liên hệ và thử sử dụng các bài toán đã giải + Mò mẫm, dự đoán Trình bày lời giải Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán. II/ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Các phương pháp cơ bản: 1. Phương pháp đặt nhân tử chung. a. Phương pháp: - Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. - Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). b. Ví dụ: x(x+y) - 3x - 3y = x(x+y) - 3(x+y) = (x+y)(x-3) x2 + xy + x = x(x + y + 1) x(x-y) + y(y-x) = x(x-y) - y(x-y) = (x-y)(x-y) =(x-y)2 2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức a. Phương pháp: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. b. Ví dụ: x2 - 16 = x2 - 42 = (x-2)(x+2) 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2 = (3x+y)2 8 - 27x3y9 = 23 - (3xy3)3 = (2 - 3xy3)(4 + 6xy3 + 9x2y6) 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a. Phương pháp - Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm - áp dụng tiếp tục các phương pháp trước đó để phân tích tiếp. b. Ví dụ: x2 - x - y2 - y = (x2 - y2) - (x + y) = (x-y)(x+y) - (x+y) = (x + y)[(x-y) - 1] = (x+y)(x-y-1) x2 + 2xy + y2 - 4 = (x + y)2 - 22 = (x + y -2)(x + y + 2) a3 - a2x - ay + xy = (a3 - a2x) - (ay - xy) = a2(a-x) - y(a-x) = (a-x)(a2 - y) 4. Phối hợp nhiều phương pháp để phân tích a. Phương pháp: Ta xét theo lần lượt: Xét nhân tử chung Xét hằng đẳng thức Nhóm hạng tử b. Ví dụ: 3xy2 - 12xy + 12x = 3x(y2 - 4y + 4) = 3x(y - 2)2 5x2 + 5xy - x - y = (5x2 + 5xy) - (x + y) = 5x(x + y) - (x + y) = (x + y).(5x - 1) x3 - x + 3 x2y + 3xy2 + y3 - y = (x3 + y3) + (3x2y + 3xy2) - (x+y) = (x+y)(x2 - xy + y2) + 3xy(x + y) - (x + y) = (x + y)(x2 - xy + y2 + 3xy - 1) = (x + y)[(x2 + 2xy + y2) - 1] = (x + y)[(x+y)2 - 1] = (x + y)(x + y - 1)(x + y + 1) 5. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a. Phương pháp: Tách đa thức thành đa thức nhiều hạng tử hơn để từ đó nhóm hạng tử thích hợp để đặt nhân tử chung. b. Ví dụ: Phân tích x2 - 6x + 8 * Cách 1: x2- 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x(x-2) - 4(x-2) = (x-2)(x-4) * Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 = (x - 3)2 - 1 = (x-2)(x-4) * Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12 = (x-2)(x+2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 6 + 2) = (x-2)(x-4) * Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 = (x-4)(x+4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 6 + 4) = (x-4)(x-2) * Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x+ 4 = (x - 2)2 - 2(x-2) = (x - 2)(x - 2 - 2) = (x - 2)(x - 4) * Cách 6: x2 - 6x + 8 = x2 - 8x + 16 + 2x - 8 = (x - 4)2 + 2(x-4) = (x - 4)(x - 4 + 2) = (x - 4)(x - 2) Tuy rằng với một bài có rất nhiều cách tách khác nhau nhưng thông dụng nhất là ta sử dụng hai phương pháp tách: ** Phương pháp 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới (Như trong cách 1). ** Phương pháp 2: Tách các hạng tử (thông thường nên tách hạng tử không đổi) thành nhiều hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức ( chủ yếu là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương như trong cách 2) hoặc thành những nhân tử chung mới (như trong cách 3, 4, 5, 6). 6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. a. Phương pháp: Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng dễ phân tích. b. Ví dụ: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - (2x)2 = (x2- 2x + 2)(x2+ 2x + 2) x4 + x2 + 1 = x4 - x + x2 + x + 1 = x(x3 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)( x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) * Các phương pháp khác 1. Phương pháp đổi biến a. Phương pháp: Đặt ẩn phụ để đưa bài toán ban đầu về dạng đã biết cách giải b. Ví dụ: VD1: 6x4 - 11x2 + 3(1) Đặt x2 = t (1) Trở thành : 6t2 - 11t + 3 = 6t2 - 2t - 9t + 3 = (2t - 1)(2t + 3) Thay t = x2 ta được: 6x4 - 11x2 + 3 = (2x2 - 1)(2x2 + 3) VD2: (x3 + x)2 + 3(x3 + x) + 2 (2) Đặt t = (x3 + x) (2) Trở thành: t2 + 3t + 2 = t2 + t + 2t + 2 = (t + 1)(t + 2) Thay t = (x3+x) được: (x3 + x)2+3(x3 + x)+2 = (x3+ x + 1)(x3+ x + 2) 2. Phương pháp hệ số bất định a. Phương pháp: Phân tích đã cho thành tích của hai hay nhiều đa thức có thể phân tích được. Sau đó đồng nhất hệ số của đa thức đã cho với đa thức mới với hệ số chưa biết. b. Ví dụ: x3 - 19x - 30 (1) Giải: Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac. (2) Vì hai đa thức (1) và (2) đồng nhất tức là: x3 - 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac a + b = 0 ab + c = -19 ac = -30 hay: {từ ac = - 30 ta chọn các giá trị thích hợp} ở đây chọn a = 2; b = -15 Khi đó ta tìm được b = -2 thoả mãn cả 3 điều kiện Vậy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x -15) {Sau đó phân tích tiếp} = (x+2)(x2 - 5x + 3x - 15) = (x + 2)[(x2 - 5x) + (3x - 15)] = (x-5).(x +2).(x+3) 3. Phương pháp xét giá trị riêng a. Phương pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại. b. Ví dụ: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh (nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không thay đổi) nên P = 0 chắc chắn có nghiệm là x = y, y = z, z = x. Vậy P có dạng: k(x-y)(y-z)(z-x) Dễ thấy k là hằng số vì nếu coi một trong ba thừa số x hoặc y hoặc z là biến thì P sẽ có bậc là 2. Vậy: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x-y)(y-z)(z-x) với mọi x,y,z Chọn x = 0, y = 1, z = 2 ta được: 2 + (-1).4 = k(-1)(-1)2 k = -1 Vậy P = - (x-y)(y-z)(z-x) 4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức a. Phương pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy đa thức f(x) chứa nhân tử là (x - a). Ta đã biết nghiệm nguyên của một đa thức nếu có sẽ là ước của hệ số tự do vì thế ta dễ dàng thử và tìm ra nghiệm nguyên nếu có của đa thức. b. Ví dụ: x3 + 3x - 4 Nếu đa thức có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử là (x - a)) thì nhân tử còn lại sẽ có dạng x2 + bx + c. từ đó ta suy ra (-a).c = - 4 Vậy a sẽ là ước của -4. Từ đó ta suy ra trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có của đa thức phải là ước của hạng tử tự do. Ta thấy ước của -4 là (-1), 1, (-2), 2, (-4), 4. Ta đi kiểm tra xem trong các giá trị trên, các giá trị nào là nghiệm của phương trình bằng cách thay lần lượt vào đa thức ban đầu. Sau khi kiểm tra thấy x = - là nghiệm của đa thức vậy đa thức sẽ chứa nhân tử là (x - 1). Từ đó ta đi biến đổi đa thức để làm xuất hiện nhân tử chung là (x -1). Cụ thể là: x3 + 3x - 4 = x3 - x2 + x2 - x + 4x - 4 = (x - 1)(x2 + x + 4) Chú ý: - Nếu trong đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chắc chắn có nghiệm là x = 1. VD: 2x4 + 5 x2 - 3x - 4 có 2 + 5 - 3 - 4 = 0 - Nếu trong đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức sẽ có ít nhất một nghiệm là x = -1. VD: x3 - 3x2 + 11x + 17 thấy 1 + 11 = -3 + 17 nên đa thức x3 - 3x2 + 11x + 17 chắc chắn có một nhân tử là (x+1) - Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ước của hạng tử tự do chia cho hạng tử cấp cao nhất. VD: Đa thức 6x3 - 11x2 - 7x + 3 nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó sẽ là ước của = . 5. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai a. Phương pháp: Xét tam thức bậc hai ax2 + bx + c Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì ta có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết. Nếu b2 - 4ac không là bình phương của số hữu tỉ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa. b. Ví dụ: 2x2 - 7x + 3 có a= 2, b = -7, c= 3 Xét b2 - 4ac = 49 - 24 = 25 = 52 Ta sẽ phân tích đa thức đã cho thành tích các đa thức có hệ số hữu tỉ. Lưu ý: P(x) = ax2 + bx + c mà phân tích được thành nhân tử thì nhân tử sẽ có dạng: P(x) = a(x - )(x + ) * áp dụng vài giải các bài toán khác 1. Bài toán rút gọn biểu thức. a. Đường lối giải: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số và phân tích đa thức thành nhân tử ở tử và mẫu để xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn. b.Ví dụ: Cho A = (). a, Tìm điều kiện của x để A xác định b, Chứng minh A không phụ thuộc x. 2. Bài toán giải phương trình a. Đường lối giải: Thông thường phân tích đa thức về dạng tích sau đó giải phương trình tích vừa tìm được b. Ví dụ: Giải phương trình: x = x = -2 16x2 + 24x - 9 = 0 Ta đưa phương trình về dạng 8(2x - 1)(x + 2) = 0 3. Bài toán giải bất phương trình a. Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và biến đổi đa thức thành tích các đa thức khác rất quan trọng để giải. b. Ví dụ: Giải bất phương trình Vì -2 < 0 nên (x-2)(x-3) < 0 2 < x < 3 4. Bài toán chứng minh chia hết a. Đường lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết. b. Ví dụ: Chứng minh rằng: n3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Giải: Ta có: ĐặtP = n3 - n = n(n2 -1 ) = (n-1)n(n+1) Vì P là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ có ít nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. mà 2 và 3 lại nguyên tố cùng nhau. Chính vì vậy P 6 Kết luận: Trên đây là 4 dạng toán cơ bản thường gặp trong SGK mà ta áp dụng kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải. Thông qua giải các bài toán này mà học sinh có thể rèn luyện kĩ năng giải và áp dụng vào giải các bài toán sau này, từ đó rèn luyện tư duy phân tích tổng hợp và biết cách khai thác một bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Việc phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử từ đó áp dụng vào giải các dạng toán sau này sẽ góp phần kích thích tư duy, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh từ đó dẫn tới mục tiêu và hiệu quả giờ dạy. Sau đây tôi xin đưa ra một bài dạy thử nghiệm trong giờ dạy phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức. Tiết 10: Phân tích đa thức thành nhân tử Bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức A. Mục tiêu - Giúp học sinh hiểu được cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức. - Biết áp dụng các hằng đẳng thức vào các bài phân tích cụ thể. B. Chuẩn bị của thầy và trò - Thầy: Bài dạy, bảng phụ, bài tập nhóm - Trò: Học bài cũ, phiếu học tập, bảng nhóm C. Các hoạt động dạy - học TG Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng 8’ Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ Hs1: Viết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ? Làm tính nhân: a, (x + 2)(x + 2) b, (x - )(x + ) Viết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (phần góc phải bảng) *Yêu cầu: a, x2 + 4x + 4 b, x2 - 2 {7 hằng đẳng thức đáng nhớ} Hs2: ? Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Làm bài 39 c,d (N/x và cho điểm) Trả lời sau đó làm bài * Yêu cầu: c, 7xy(2x - 3y + 4 xy) b, (y-1)(x-y) 21’ Hoạt động 2: 1. Ví dụ 9’ ? Phân tích đa thức sau thành thừa số? a, x2 + 4x + 4 b, x2 - 2 c, 1 - 8x3 Học sinh đứng tại chỗ trình bày: a, x2 + 4x + 4 = x2 - 2.2x + 22 = (x - 2)2 b, x2 - 2 = x2 - ()2 = (x - )(x + ) c, 1 - 8x3 = 13 - (2x)3 =(1-2x)(1 + 2x + 4x2) 1. Ví dụ {giáo viên trình bày lời giải của học sinh lên bảng} 3’ ? Trong các ví dụ trên ta có áp dụng được phương pháp đặt nhân tử chung hay không? ? Đã áp dụng kiến thức nào để phân tích? Cách làm như các ví dụ trên bảng gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức. Chưa áp dụng được. áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. 1 học sinh đọc lại các hằng đẳng thức đáng nhớ trên bảng 6’ Làm ?1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x3 + 3x2 + 3x + 1; b, (x + y)2 - 9x2. a, x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 b, (x + y)2 - 9x2 = (x + y - 3x)(x + y + 3x) = (y - 2x)(4x + y) 3’ Làm ?2: Tính nhanh: 1052 - 25 = 1052 - 52 = (105-5)(105+5) = 100.110 = 11000 14’ Hoạt động 3: áp dụng, củng cố, luyện tập 3’ 4’ Học sinh dưới lớp tự nghiên cứu ví dụ trong vòng 3’ áp dụng lớp chia làm 4 nhóm theo tổ làm bài tập 43 (mỗi nhóm 1 câu). Sau 4’ trình bày kết quả ? đã sử dụng kiến thức nào để giải? Nghiên cứu Các nhóm trình bày lời giải của nhóm. *Nhận xét bài của nhóm bạn và cho điểm. Đã áp dụng phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức. 2. áp dụng Bài 43/20 SGK (treo bài mẫu trên bảng phụ của nhóm) 4’ Chia lớp làm 2 nhóm mỗi nhóm làm một phần bài 45. {đây là dạng bài giải phương trình mà học sinh sẽ học nhiều sau này} Kết quả: a, x = b, x = Bài 45 tr 20 SGK G treo bài giảng mẫu đã giải sẵn ở nhà. 3’ Tính nhanh bài 46 G chốt lời giải Ba học sinh lên tbảng trình bày lời giải Học sinh trình bày 2’ Hoạt động 4: Về nhà - Luyện tập thành thạo phương pháp phân tích thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức. - Làm bài tập: 44 tr 20 SGK Bài: 27, 28, 29 tr 6 SBT C. Kết luận Phân tích đa thức thành nhân tử là một mảng kiến thức tương đối rộng và nó là kiến thức cơ sở phát huy trí tuệ học sinh cũng như là cơ sở cho học sinh áp dụng vào làm nhiều dạng bài tập toán sau này. Chính vì vậy rèn luyện cho học sinh những kĩ năng cũng như những kĩ xảo khi phân tích đa thức thành nhân tử sẽ giúp cho học sinh không bị hụt cũng như bỡ ngỡ khi học lên các cấp cao hơn. Là một giáo viên mới ra trường, tôi đã có ý thức rèn luyện nghiệp vụ, nghiên cứu tài liệu và áp dụng vào bài dạy cho học sinh. Tuy vậy do thời gian nghiên cứu còn ít, thời gian tích luỹ kinh nghiệm còn chưa đủ. Chính vì thế, những vấn đề tôi nêu trên đây chắc chắn còn nhiều chỗ thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các thầy, các cô để tôi ngày càng hoàn thiện hơn về phương pháp để có thể truyền đạt cho học sinh một cách tốt nhât. Xin chân thành cảm ơn! Bạch Long, ngày 22 / 3 / 2006 Người viết Lê Văn Thủy