Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học

KHỐI ĐA DIỆN 1 Chương ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: A B C H M 2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường A B C b c a a) Định lí hàm số cosin A C B R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC) b c a b) Định lí hàm số sin c) Công thức tính diện tích của tam giác A B C b c a – nửa chu vi – bán kính đường tròn nội tiếp d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác A B C N K M . . . 3/ Định lí Talet (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) A B C N M 4/ Diện tích của đa giác a/ Diện tích tam giác vuông Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông. A C B b/ Diện tích tam giác đều (cạnh)2 đều Diện tích tam giác đều: (cạnh) đều Chiều cao tam giác đều: A B C c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân . Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. A B C D O A B H C D d/ Diện tích hình thang Diện tích hình thang: SHình Thang .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao A B D C e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường. Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 1/ Chứng minh đường thẳng với Chứng minh: và Chứng minh: và Chứng minh và cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng. 2/ Chứng minh Chứng minh chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với . Chứng minh và cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng. 3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau Hai có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song thì . . Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, 4/ Chứng minh đường thẳng Chứng minh vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong . Chứng minh: Chứng minh: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3: Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến, cũng vuông góc với mặt phẳng kia. 5/ Chứng minh đường thẳng Chứng minh và . Sử dụng định lý ba đường vuông góc. Chứng tỏ góc giữa và bằng. Sử dụng hình học phẳng. 6/ Chứng minh Chứng minh (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia) Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH f 1/ Góc giữa hai đường thẳng Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó: f a 2/ Góc giữa đường thẳngvà mặt phẳng Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. (với là hình chiếu vuông góc của lên ). a b f 3/ Góc giữa hai và Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến , 2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên 2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. 4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng M 5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng) này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia. M 6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng. 7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó. M Là khoảng cách MH từ một điểm M trên đến chứa và song song với . Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa và . HÌNH CHÓP ĐỀU 1/ Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét: Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. 2/ Hai hình chóp đều thường gặp a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều. Khi đó: Đáylà tam giác đều. Các mặt bên là các tam giác cân tại. Chiều cao: . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: . Góc giữa mặt bên và mặt đáy: . Tính chất: . Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều. Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều. Đáylà hình vuông. Các mặt bên là các tam giác cân tại. Chiều cao: . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:. Góc giữa mặt bên và mặt đáy: . XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP 1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chópcó cạnh bên thì chiều cao là. 2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chópcó mặt bên vuông góc với mặt đáythì chiều cao của hình chóp là chiều cao của. 3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chópcó hai mặt bên vàcùng vuông góc với mặt đáythì chiều cao là . 4/ Hình chóp đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềucó tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngthì có đường cao là. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1/ Thể tích khối chóp: Diện tích mặt đáy. Chiều cao của khối chóp. C D S O 2/ Thể tích khối lăng trụ: Diện tích mặt đáy. Chiều cao của khối chóp. Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên. C’ B’ A’ C B A C’ A’ B’ B C A 3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: Thể tích khối lập phương: S A’ B’ C’ A B C a a a c b a 4/ Tỉ số thể tích: 5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC Với là diện tích hai đáy và chiều cao. 4 phương pháp thường dùng tính thể tích Tính diện tích bằng công thức. Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,. Sử dụng công thức tính thể tích. Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm. Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích. Tính thể tích bằng tỉ số thể tích. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT VÀI THÍ DỤ Dạng 1. Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công thức Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích. Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,). Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác, Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết. Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác. Thí dụ 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và vuông góc với.Tính thể tích khối chópvà khoảng cách từđến. Bài giải tham khảo S A C B 300 a Tính thể tích khối chóp. * Ta có: * Trong đó: * Tìm ? Trongvuông tại, ta có: * Thayvào (đvtt) Tính khoảng cách từđến. * Ta có: * Tìm ? Ta có: vuông tại. . * Thếvào. Thí dụ 2. Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật có. Haivà cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnhhợp với đáy một góc. Tính thể tích khối chóptheo. Bài giải tham khảo S A D B C 600 Ta có: . Hình chiếu củalênlà. . Mà: . Tìm Trongvuông tại: . Ta lại có: . Thayvào (đvtt). Thí dụ 3. Hình chópcó, đáylà tam giác vuông tạilà tam giác vuông cân tạivà nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọilà trung điểm cạnh. a/ Chứng minh rằng, đường thẳng. b/ Biếthợp vớimột góc. Tính thể tích khối chóp. Bài giải tham khảo S A B C I K 600 2a a/ CM: Dovuông cân tại cólà trung tuyếncũng đồng thời là đường cao. Ta có: (đpcm) b/ Tính thể tích khối chóp Gọilà trung điểm của đoạn. vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong . Trongvuông tạicó là đường trung bình. . Mặt khác: . Mà: Tìm Trongvuông tại, ta có: . Tìm ? . Thếvào (đvtt). Thí dụ 4. Cho hình chóp đềucó cạnh đáy, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng. Tính thể tích của hình chóp. Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp S A B C D O 2a M 600 Gọilà tâm của mặt đáy thì nênlà đường cao của hình chóp và gọilà trung điểm đoạn. Ta có: (góc giữa mặtvà mặt đáy) Ta có: Tìm Trongvuông tại, ta có: . Mặt khác: . Thếvào (đvtt). Thí dụ 5. Cho hình lăng trụcó đáylà tam giác đều cạnh bằng. Hình chiếu vuông góc của xuốnglà trung điểm của. Mặt bêntạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ này. . Bài giải tham khảo A’ B’ C’ A B C M I H a Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng . Dođều nên:. Tìm ? Dolà đường trung bình trong đều , đồng thời là trung tuyến nên cũng là đường cao. Do đó: và Mà: . Trong vuông tại, ta có: . Thayvào. Thí dụ 6. Cho hình lăng trụ đứngcó đáylà tam giác vuông tại, tạo với đáy một góc và có diện tích bằng. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài giải tham khảo B A’ C’ B’ A C 30o a Do . Và là góc giữavà. Ta có: . Vậy: (đvtt). Thí dụ 7. Cho hình lăng trụ đứngcó đáylà tam giác vuông tại. Đường chéocủa mặt bên tạo với mặt phẳng một góc . Tính thể tích của khối lăng trụ theo . Bài giải tham khảo B’ A C B’ A’ C’ a 600 30o Ta có: . Do đólà hình chiếu vuông góc của lên . Từ đó, góc giữavà là . Trong tam giác vuông: . Trong tam giác vuông: . Trong tam giác vuông : . Vậy, thể tích lăng trụ là: (đvdt). Thí dụ 8. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011) Cho hình chópcó đáy là tam giác vuông cân tại, góc giữa vàbằng. Gọilà trung điểm của cạnh. Tính thể tích khối chóp theo . Bài giải tham khảo Cách giải 1. B A S M C 30o N Ta có: . . Kẻ. Do nên và lúc đó, là đường trung bình Lúc đó: . Tìm: ? Trongvuông tại, ta có: . Thếvào (đvtt). Cách giải 2. (đvtt). (đvtt). Thí dụ 9. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011) Hình chópcó đáylà tam giác vuông tại,. Biết . Tính thể tích khối chópvà khoảng cách từđến Bài giải tham khảo S C B A Ta có: . Thể tích khối chóp: . (đvtt). Tìm khoảng cách từđến ? Ta có: . Ta có: . Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trong: . Trongvuông tại: . Nhận thấy: vuông tại. Do đó, diện tích tam giáclà: . Thayvào. Thí dụ 10. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009) Cho hình chópcó đáy là hình thang vuông tạivà, góc giữa haivàbằng. Gọilà trung điểm của. Biết rằngvà cùng vuông góc với. Tính thể tích khối chóp Bài giải tham khảo Vìvàcùng vuông góc với, nên giao tuyến . Kẻ(định lí 3 đường vuông góc). Ta có: là góc giữa haivà. S D A M B C N H I 600 Thể tích khối chóp: . Tìm Trongvuông tại, ta có: . Gọitương ứng là trung điểm của. Vìlà đường trung bình của hình thang, nên ta có: . Mà: (dovàlà các góc có cạnh tương ứng vuông góc). . . Tìm ? . Thayvào (đvtt). Thí dụ 11. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007) Cho hình chópđáy là hình vuôngcạnh, mặt bênlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọilần lượt là trung điểm của. Tính thể tích khối tứ diện. Bài giải tham khảo S H A D C B M N P K Gọilà trung điểm củathì. Do nên. Và đều. Kẻ và. Vậy: (đvtt). Thí dụ 12. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006) Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật vớivà vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọilần lượt là trung điểm củavàlà giao điểm của và. Tính thể tích khối tứ diện. Bài giải tham khảo S A D C B M N I O Gọilà tâm của của đáy. Trong, ta cólà đường trung bình nên: haylà đường cao của hình tứ diện. Và Ta có: . Tìm A B C D M I Dolà trọng tâmnên: Nhận thấy: vuông tại. . Thayvào (đvtt). Thí dụ 13. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009) Cho lăng trụ tam giáccó , góc giữa đường thẳng và bằng , tam giácvuông tạivà góc . Hình chiếu vuông góc của điểm lên trùng với trọng tâm của. Tính thể tích của khối tứ diệntheo . A’ B’ C’ A B C G N M Bài giải tham khảo Gọi là trung điểm của. Khi đó,là trọng tâm của. Do hình chiếu điểm lên lànên . Ta có: . Tìm ? 600 B A C N M G Trong vuông tạivà có nên nó là nữa tam giác đều cạnh là . Tìm ? Đặt. Trongvuông tạicónên nó cũng là nữa tam giác đều với đường cao là. Dolà trọng tâm. Trongvuông tại: Thếvào (đvtt). Dạng 2. Tính thể tích khối đa diện bằng cách lắp ghép khối hoặc so sánh khối (tỉ số) Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp khó khăn vì hai lí do: Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao. Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng. Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau: Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn. Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích. Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó: . S A’ B’ C’ A B C H H’ Chứng minh: Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC). Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng. Ta có: . Trong đó: . Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm . Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu, Thí dụ 14. Cho hình chópcó đáy là vuông cân ở. a/ Tính thể tích khối chóp. b/ Gọi là trọng tâm của , đi quavà song song vớicắtlần lượt tại. Tính thể tích khối chóp. Bài giải tham khảo S A B C M N G I a/ Tính thể tích khối chóp. Ta có: và . Mặc khác: vuông cân ở và có: nên là nữa hình vuông có đường chéocạnh. . Vậy: . b/ Tính thể tích khối chóp. Gọi I là trung điểm của,là trọng tâm của . Ta có: . Do. . Thí dụ 15. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2006) Cho hình chópcó đáy làđều cạnhvà,. Gọilần lượt là hình chiếu vuông góc của điểmlần lượt lên cạnh. Tính thể tích khối theo. Bài giải tham khảo S A B C H a K 2a Ta có: . Dođều cạnhvà nên: . Ta lại có: . . Từ . Thí dụ 16. Cho khối chóp tứ giác đều. Một mặt phẳngquavà trung điểmcủa. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. Bài giải tham khảo Kẻthì hình thanglà thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng. S A B C M N D Ta có: . . Mặt khác: . . Mà: . Kết hợp: . . . . Thí dụ 17. Cho hình chóp tứ giác đều , đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên tạo với đáy góc 600 . Gọi là trung điểm . Mặt phẳng đi quavà song song với, cắttạivà cắttại. Tính thể tích khối chóp . Bài giải tham khảo Gọi . Ta có: . Ta có: với. Trongcó: . Mặt khác: và Xét khối và khốicó: Và trongcó trọng tâm, . . Thí dụ 18. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008) Cho hình chóp tứ giác đềucó cạnh đáy, cạnh bên. Gọilần lượt là trung điểm của. Tính thể tích tứ diện. Bài giải tham khảo M A B N C D S P O H Gọilần lượt là tâm củavà trung điểm. Do . Mặt khác: . . Từ . Dạng toán 3. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức hiển nhiên: , ở đâylần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc đối với hình lăng trụ). Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng giác, Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên. Lược đồ thực hành: Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây: Nếu trong đóchứathì. Nếu trong đólần lượt chứavàthì: . Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp (hoặc một khối lăng trụ) nào đó. Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnhcủa một hình chóp (hoặc một lăng trụ). Ta tìm thể tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp ấy có đỉnh. Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnh. Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từcần tìm. Thí dụ 19. Cho hình chópcó đáylà hình vuông cạnh, và mặt bên hợp với mặt phẳng đáymột góc. Tính khoảng cách từ điểmđến . Bài giải tham khảo S A D B C 600 Ta có: . Mặt khác: và . . Vì vậy . . Thí dụ 20. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002) Cho tứ diệncó cạnhvuông góc với, , . Tính khoảng cách từđến. Bài giải tham khảo D A C B Ta có: vuông tại. . . Mặt khác: Nên Với nửa chu vi . Do đó, . Thí dụ 21. Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông cân tại. Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cho , mặt bêntạo với đáymột góc. Tính khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng. Bài giải tham khảo S A C B M Gọilà trung điểm của cạnh. Ta có vuông cân tại nên: (dovừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong cân) Ta có: . Và Ta có: . Và: . Mặt khác: . Mà: . Thí dụ 22. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2004) Cho hình chóp có đáy là hình thoicóvuông góc với đáy vớilà giao điểm của và. Giả sửvàlà trung điểm của. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngvà. Bài giải tham khảo S C A B D O M H Dolà trung điểm củanên. . Kẻ Mà . Từ . Ta lại có: . Mặt khác: vuông tại đỉnh. . Thayvào. Thí dụ 23. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006) Cho hình lập phươngcó cạnh bằng 1. Gọilần lượt là trung điểm củavà . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngvà. B’ A’ C’ D’ A B C D M N Bài giải tham khảo Ta có: . . Mà: . Mặt khác: . vuông tại. Ta lại có: . Từ . Từ . Dạng toán 4. Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Đây có thể xem là bài toán rất cơ bản mặc dù nó chưa một lần xuất hiện trong các đề thi TNPT cũng như Đại học – Cao đẳng (cho dù bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với hàm số hầu như năm nào cũng có mặt trong các đề thi). Nội dung bài toán: Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó (tham số có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh). Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Phương pháp giải: Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc α thích hợp trong khối đa diện, hoặc là một yếu tố nào đó. Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của khối đa diện theo các phương pháp đã biết. Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “kết thúc”. Ta có một hàm số mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Dùng bất đẳng thức cổ điển (Cauchy hay Bunhiacopski) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ấy. Thí dụ 24. Cho hình chóp tứ giác đềumà khoảng cách từ điểmđếnbằng. Góc hợp bởi mặt phẳn bên và mặt phẳng đáy của hình chóp là. Với giá trị nào của góc thì thể tích của hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ? α A D C B S N O M H Bài giải tham khảo Gọilà tâm mặt phẳng đáy vàlà trung điểm của. Ta có: . Kẻ . Do Nên . Và . Trong tam giác vuông, ta có: . Và trong tam giác vuông. . Từ, để đạt giá trị nhỏ nhất thì hàm đạt giá trị lớn nhất. Xét hàm số xác định và liên tục trên khoảng. Ta có: . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên: hay . Vậy: thể tích khốinhận giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi. Thí dụ 25. Cho hình chópcó đáy là vuông cân đỉnhvà. Giả sử. Hãy tìm góc giữavàsao cho thể tích khối chóplà lớn nhất. S A C B α Bài giải tham khảo Ta có: . Mặt khác: . Do đó, trongta có: . Để đạt giá trị lớn nhất khi biểu thứcđạt giá trị lớn nhất. Vì . Mà: . . Vậy nhận giá trị lớn nhất bằngkhi và chỉ khi . THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP Hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy Bài 1. Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông tại. Biết rằng: , góc giữa hai mặt phẳngvàbằng. Tính thể tích khối chóptheo. ĐS: . Bài 2. Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông cân tại. Cho , . Tính thể tích của khối chóp . ĐS: . Bài 3. Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông tại. Cho,. Cạnhtạo vớimột góc. Tính thể tích của khối chóp . ĐS: . Bài 4. Cho hình chópcó đáylà tam giác cân tại. Cho . Mặt phẳngtạo với mặt phẳngmột góc. Tính thể tích của khối chóp . ĐS: . Bài 5. Cho hình chóp có đáylà hình vuông, cạnh , góc giữa và bằng. Tính thể tích khối chópvà khoảng cách từ điểmđến. Bài 6. Cho hình chópcó đáylà hình vuông cạnh, tạo với một góc. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểmđến. ĐS: . Bài 7. Cho hình chópcó đáylà hình vuông cạnh , góc giữa và bằng. Tính thể tích của khối chóp theo . ĐS: . Bài 8. Cho hình chópcó đáylà hình thang vuông tạivàvới. Cạnh bên và cạnh bêntạo với mặt phẳng đáy một góc. Tính thể tích của khối chóptheo . ĐS: . Bài 9. Cho hình chópcó mặt bênlà tam giác đều cạnh. Biết . Tính thể tích khối chóp theo . ĐS: .