Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn Toán

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Tính chất : 8. Nhị thức Newton : * a = b = 1 : ... Với a, b Ỵ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : * Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách : - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ... - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ... - Cho a = ±1, ±2, ..., hay Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. Giải hệ pt : , tìm được k * Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n Ỵ N* ..., k £ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ 1. Chuyển vế : a + b = c Û a = c – b; ab = c Û a/b = c Û ; 2. Giao nghiệm : Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 3. Công thức cần nhớ : a.: chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện. b. : phá bằng cách bình phương : hay bằng định nghĩa : c. Mũ : d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ¹ 1, y Ỵ R y­ nếu a > 1, y¯ nếu 0 < a < 1, a = logaaa loga(MN) = logaM + logaN () loga(M/N) = logaM – logaN () (Þ) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN Û M = N Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với a : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt : Biết S, P thỏa S2 – 4P ³ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng D, S, P để so sánh nghiệm với 0 : x1 < 0 < x2 Û P < 0, 0 < x1 < x2 Û x1 < x2 < 0 Û * Dùng D, af(a), S/2 để so sánh nghiệm với a : x1 < a < x2 Û af(a) < 0 a < x1 < x2 Û ; x1 < x2 < a Û a < x1 < b < x2 Û ; x1 < a < x2 < b Û 7. Phương trình bậc 3 : a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0 b. Số nghiệm phương trình bậc 3 : · x = a Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) : 3 nghiệm phân biệt Û 2 nghiệm phân biệt Û 1 nghiệm Û · Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. · Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 3 nghiệm Û 2 nghiệm Û 1 nghiệm Û Dy' £ 0 Ú c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : Û d. So sánh nghiệm với a : · x = xo Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với a. · Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa a vào BBT. · Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) x1 x2 x3 a < x1 < x2 < x3 Û x1 x2 x3 x1 < a < x2 < x3 Û x1 x2 x3 x1 < x2 < a < x3 Û x1 x2 x3 x1 < x2 < x3 < a Û 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0), x ¹ a 2 nghiệm Û , 1 nghiệm Û Vô nghiệm Û D < 0 Ú Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) Û t = x2 Û x = ± 4 nghiệm Û ; 3 nghiệm Û 2 nghiệm Û ; 1 nghiệm Û VN Û D < 0 Ú Û D < 0 Ú 4 nghiệm CSC Û Giải hệ pt : b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + . Tìm đk của t bằng BBT : c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – . Tìm đk của t bằng BBT : t Ỵ R. d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : , t Ỵ R. 10. Hệ phương trình bậc 1 : . Tính : D = , Dx = , Dy = D ¹ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx ¹ 0 Ú Dy ¹ 0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P ³ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ³ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (a, b) là nghiệm thì (b, a) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất Þ a = b Þ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 13. Hệ phương trình đẳng cấp : Xét y = 0. Xét y ¹ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ¹ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a, b ³ 0 : Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a, b, c ³ 0 : Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 £ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x Ỵ I, lập BBT của f với x Ỵ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x Ỵ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x Ỵ I. f(x) £ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ³ m : (C) trên (d) (hay cắt) + 0 III- LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn lượng giác : 0 Trên đường tròn lượng giác, góc a đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2p. 0 A x+k2 M Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của ( cung phần tư) và ( cung phần tư) cotg chiếu xuyên tâm tg M cos chiếu sin M x = a + : a là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. 2. Hàm số lượng giác : 3. Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu p (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu p). * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. f. Đưa về : đưa lượng giác về đại số. g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. Phương trình cơ bản : sina = 0Û cosa = – 1 hay cosa = 1Û a = kp, sina = 1 Û a = + k2p; sina = –1 Û a = – + k2p, cosa = 0 Û sina = –1 hay sina = 1 Û a = + kp, cosa = 1 Û a = k2p, cosa = – 1 Û a = p + k2p sinu = sinv Û u = v + k2p Ú u = p – v + k2p cosu = cosv Û u = ± v + k2p tgu = tgv Û u = v + kp cotgu = cotgv Û u = v + kp 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ³ c2 * Chia 2 vế cho , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo ) 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. Đặt : t = sinu + cosu = 8. Phương trình chứa ½sinu + cosu½ và sinu.cosu : Đặt : 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : 10. Phương trình chứa ½sinu – cosu½ và sinu.cosu : Đặt : 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ¹ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi p – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi p + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng * t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 14. Phương trình đặc biệt : * * * * sinu.cosv = 1 Û * sinu.cosv = – 1 Û Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a. Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân, thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : b. Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. c. Dạng 3 : . Dùng tỉ lệ thức : biến đổi phương trình (1) rồi dùng công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán D : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = p * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C Ỵ (0, p) ; A/2, B/2, C/2 Ỵ (0, p/2) A + B Ỵ (0, p) ; (A + B)/2 Ỵ (0, p/2) ; A – B Ỵ (– p, p) , (A – B)/2 Ỵ (– p/2, p/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * * Trung tuyến : * Phân giác : ℓa = IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f Û f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : = F(x) + C (C Ỵ R) * , a ¹ – 1 ; ; * * 2. Tích phân từng phần : Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. b. c. từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : a. : u = sinx. : u = cosx. : hạ bậc về bậc 1 b. : u = tgx (n ³ 0) : u = cotgx (n ³ 0) c. chứa a2 – u2 : u = asint chứa u2 – a2 : u = a/cost chứa a2 + u2 : u = atgt d. , R : hàm hữu tỷ R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx Ú u = cotgx R đơn giản : e. f. g. h. , R là hàm hữu tỷ : i. chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk. 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : : bậc P < bậc Q * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (D < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : 5. Tính diện tích hình phẳng : a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ½.½; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. x=b x=a f(x) g(x) c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 / y=a f(y) y=b g(y) / Với trường hợp a) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp b) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính theo dx hay dy để ị dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn hay a b f(x) 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : a b f(y) b f(x) g(x) a b. f(y) a g(y) b c. d. a b c f(x) -g(x) f(x) g(x0) a b e. b c f(y) -g(y) a f. Chú ý : xoay quanh (Ox) : ị ...dx ; xoay quanh (Oy) : ị ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tìm lim dạng , dạng 1 ¥ : a. Phân thức hữu tỷ : b. Hàm lg : c. Hàm chứa căn : , dùng lượng liên hiệp : a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1¥) : dùng công thức 2. Đạo hàm : a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : M f(x) Nếu thì f có đạo hàm tại xo. b. Ý nghĩa hình học : k = tga = f/(xM) c. f/ + : f ­ , f/ – : f ¯ f// + : f lõm , f// – : f lồi d. f đạt CĐ tại M Û f đạt CT tại M Û M là điểm uốn của f Û f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xa)/ = axa–1 , (lnx)/ = 1/x , , (ex)/ = ex (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa ... f. Vi phân : du = u/dx x a y 3. Tiệm cận : Þ x = a : tcđ x y b b Þ y = b : tcn x y Þ y = ax + b : tcx * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ¥ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ¥ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ¥ thì đường cong càng gần đường t c. * Xét · Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ¹ 0 · Có tcn khi bậc P £ bậc Q : với x ® ¥, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. · Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : , tcx là y = ax + b. Nếu Q = x – a, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : ( d ¹ 0 ) · a ¹ 0, c ¹ 0 : có tcđ, tcx · a = 0, c ¹ 0 : có tcn, tcđ. · c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. a = 0 a < 0 4. Đồ thị các hàm thường gặp : a > 0 a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c a < 0 a > 0 c/ y = ax3 + bx2 + c + d > 0 = 0 < 0 a> 0 : a < 0 : d/ y = ax4 + bx2 + c ab > 0 ab < 0 a > 0 a < 0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ¹ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 > 0 = 0 < 0 f/ y = (ad ¹ 0) ad > 0 ad < 0 x < a x > a a x = a y < b y > b b y = b 5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) (C/) : y = : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox). (C/) : y = : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy). 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) Ỵ (Cm), "m Û yo = f(xo, m), "m Û Am + B = 0, "m (hay Am2 + Bm + C = 0, "m) Û (hay ). Giải hệ, được M. b/ Điểm (Cm) không đi qua, "m : M(xo, yo) Ï (Cm), "m Û yo ¹ f(xo,m), "m Û yo = f(xo, m) VN m Û Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) Û (hay ). Giải hệ , được M. Chú ý : VN Û B = 0 Ú c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) Û yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ¹ a, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). * // (D) : y = ax + b : (d) // (D) Þ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. * ^ (D) : y = ax + b (a ¹ 0) : (d) ^ (D) Þ (d) : y = x + m. Tìm m nhờ đk tx. c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M Ỵ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) Ỵ (C/) Û g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : (1). Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : · Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). · PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ¹ a) hay dạng bậc 3 : x = a Ú f(x) = 0 : lập D, xét dấu D, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì a là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị Û f/ đổi dấu n lần. * f đạt cực đại tại xo Û f đạt cực tiểu tại xo Û * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị Û f có CĐ và CT Û > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : · Bên phải (d) : x = a Û y/ = 0 có 2 nghiệm a < x1 < x2. · Bên trái (d) : x = a Û y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < a . · 1 bên (Ox) Û · 2 bên (Ox) Û * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT 0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). * Tính yCĐ.yCT : · Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. · Hàm bậc 2/ bậc 1 : yCĐ.yCT = , dùng Viète với pt y/ = 0. * Đường thẳng qua CĐ, CT : · Hàm bậc 3 : y = Cx + D · Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị Û ab ³ 0, 3 cực trị Û ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 Þ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (-¥, x1) + hàm số tăng trên (x2, +¥) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 Þ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (-¥, x1) + hàm số giảm trên (x2, +¥) + hàm số tăng trên (x1, x2) b. Biện luận sự biến thiên của y = i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và . iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và . c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x Ỵ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với a. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M Ỵ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại Û m ? xo ? (hay yo ?) · Nếu xo = a thì M Ỵ (d) : x = a. · Nếu yo = b thì M Ỵ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là tr