Một số phương pháp tìm giới hạn của một hàm số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ I. Tóm tắt lý thuyết 1. Giới hạn hữu hạn  Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,xn \{x0} và xn ,ta có limf(xn)=L .  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b) . khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ x0<xn<b và xn , ta có limf(x)=L .  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , a<xn<x0 và xn , ta có limf(xn)=L .  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞) . , khi và chỉ khi với dãy (xn) bất kỳ ,xn>a và xn , thì limf(xn)=L  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;a) . , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ ,xn<a và thì limf(xn)=L. 2. Giới hạn ở vô cực  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng(a;+∞) . , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ,ta có limf(xn)=-∞ .  Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc K\{x0} và xn , ta có limf(xn)=+∞ . Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞ 3.Các giới hạn đặc biệt Với k là một số nguyên dương 4. Định lý về giới hạn hữu hạn * Định lý 1 a) Nếu và , thì     b) Nếu f(x)≥ 0 và , thì L ≥ 0 và Định lý 2 5. Quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) . L>0 +∞ +∞ -∞ -∞ L <0 +∞ -∞ -∞ +∞ b) Quy tắc tìm giới hạn của thương Dấu của g(x) L ±∞ Tuỳ ý 0 L>0 0 + +∞ - -∞ L <0 0 + -∞ - +∞ B. Phương pháp tìm giới hạn của hàm số I. Thông thường ta áp dụng các quy tắc và định lý về giới hạn của hàm số là ta tìm được ngay giá trị của giới hạn . Ví dụ , Tìm các giới hạn sau Bài giải : II. Một số dạngvô định thường gặp và cách biến đổi . 1. Để tính . Ta làm như sau:  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử . Sau đó giản ước nhân tử chung :  Nếu u(x) và v(x) chứa biến số dưới dấu căn ,thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp ,trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước .  Một số biểu thức liện hợp thường dùng : * Chú ý : Trong (**) nếu A(x0)=B(x0)=0 ,ta lại phân tích tiếp chúng thành : * Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức cùng bậc : Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp ( như đã cho ở trên ) Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung . Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô định Ví dụ1 . ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC). Tìm các giới hạn sau Bài giải : Vì , thì x+2<0 ,cho nên Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC) Tìm các giới hạn sau Bài giải : 2. Để tìm giới hạn :(Dạng : ) Ta có thể làm như sau :  Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử x n ,rồi giản ước ).  Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa xk ra ngoài dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của x .  - Chú ý đến cận : Khi x nghĩa là x>0 ; còn x , nghĩa là x<0  - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trị tuyệt đối ) Ví dụ 1. (Bài 32-tr159-GT11-NC) Tìm các giới hạn sau Bài giải : Ví dụ 2. (Bài 44-tr167-GT11NC) Tìm các giới hạn sau Bài giải : Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :     2 2 x 3x(2x 1) 1. lim (5x 1)(x 2x)     2 x x x 1 2. lim x x 1     2 3 2 3 lim 3 1x x x x x         2 2x x x 2 3x 1 4. lim 4x 1 1 x ø giải: .                             2 2 2 2 x x x 1 3 2 3 2x 1 3x(2x 1) 6x 1. lim lim lim 1 25x 1 x 2 5(5x 1)(x 2x) 5 1 x x           2 2 x x 2 1 1 x x 1 x x 2. lim lim 0 1 1x x 1 1 x x                     2 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3 lim lim lim 113 1 3 33 x x x x x x x x x x x x xx                             2 2 2x x 2 1 2 1 x 1 x 3 4 khi x 0 x x 2 3x 1 x xx 24. lim lim khi 0 1 14x 1 1 x 3x 4 x 1 xx Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau     3 3 2 2 1. lim 2 2x x x x x       33 2 2 3 2 23 2 ( 2 ) 2 2 lim 3 2x x x x x x x x x     2 3 2 3. lim 3 1x x x x x      x (x x x 1)( x 1) 4. lim (x 2)(x 1) Bài giải :                    3 3 3 2 2 1 1 2 1. lim lim 1 12 2 2 1 x x x xx x x x x x                       2 2 3 3 33 2 2 3 2 23 2 2 2 1 1 1 ( 2 ) 2 2 lim lim 1 23 2 3 x x x x x x x x x x x x x x                                                     3 2 3 2 3 22 x x x 3 x 2 3 x x 1 x x 1 (x x x 1)( x 1) 4. lim lim lim (x 2)(x 1) x x 2 x 2x 2 x 1 1 1 1 t t lim 1 khi : t x ; khix , t 1 2 2 1 t t t Bài tập tự luyện Tìm các giới hạn sau: a) x 2x 1 lim x 1   b) 2 2 x x 1 lim 1 3x 5x    c) 2 x x x 1 lim x x 1    d) 2 2 x 3x(2x 1) lim (5x 1)(x 2x)    e) 3 3 2 3 2 2 lim 2 2 1x x x x x      f) 3 2 4 3 2 1 lim 4 3 2x x x x x     g) 3 2 2 2 2 lim 3 1x x x x x     h) 4 2 3 3 1 lim 2 2x x x x x      i) 2 2 4x (x 1) (7x 2) lim (2x 1)    j) 2 3 2 2x (2x 3) (4x 7) lim (3x 4) (5x 1)     k) 2 x 4x 1 lim 3x 1   l) 2 3 2 lim 3 1x x x x x           2 2x 4x 2x 1 2 x o) lim 9x 3x 2x p) 2 2x x 2x 3 4x 1 lim 4x 1 2 x         q) 2x x x 3 lim x 1   3. Để tính giới hạn :( Dạng ∞-∞ ) . Hoặc  Ta nhân và chia với biểu thức liên hợp ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thức ) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức ) Dạng vô định và dạng 0.∞ Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hám số sau 31. lim (2 3 ) x x x     22 lim 3 4 x x x    2 x 3. lim ( x x x) 24. lim ( 3 2 ) x x x x     5. lim ( 2 2) x x x           2 2 x 6. lim ( x 4x 3 x 3x 2) Bài giải 3 3 2 3 1. lim (2 3 ) lim 2 x x x x x x                        2 2 3 4 2. lim 3 4 lim 1 x x khix x x x khixx x                                       2 x x x 2x x 1 1 3. lim ( x x x) lim x 1 x lim x 1 1 .0 ? x x x 1 lim lim ? 1x x x 1 1 x 2 2 3 2 4. lim ( 3 2 ) lim 1 x x x x x x do x x x x x                  4 4 5. lim ( 2 2) lim lim 0 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x                                                          2 2 2 2x x x 2 2 x 1 6. lim ( x 4x 3 x 3x 2) lim x 4x 3 x 3x 2 1 1 x 1 khi x x 2lim 1 4 3 3 2 khi x x 1 1 2 x xx x Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài giải : Ví dụ 3. ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1 .Tìm các giới hạn sau Bài giải : Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau: e) 2 x lim ( x x x)    g) )23(lim 2 xxx x   h) 2 lim ( 2 4 ) x x x x     k) 2 lim ( 5 ) x x x x    l) 2 x lim (2x 1 4x 4x 3)      m) 2 x lim (3x 2 9x 12x 3)      n) )223(lim 2   xxx x t) 3 3 2 x lim ( x x x x)     o) )223(lim 2   xxx x p) 2 lim ( 3 2 1) x x x x      q) 2 lim ( 3 1 3) x x x x      r) 2 lim ( 4 3 2 1) x x x x      s) 3 3 2 x lim ( x x x)    v) 32 3 x lim ( x 1 x 1)     w) 3 3 2 lim ( 2 1 3 ) x x x x x      4. Để tìm giới hạn Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .  Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số ) một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0)  Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn thức có cùng chỉ số và áp dụng các định lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết .  Chẳng hạn ,ta tìm :  Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau đó áp dụng cách phân tích trên để giải . ( Thông qua ví dụ : ) Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài giải : Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau. Bài giải : Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau Bài giải : Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau Bài giải : Ví dụ 5. Tìm giới hạn sau : Giải : Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1. Khi đó 5 Để tìm giới hạn : Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .( với căn có chỉ số cao hơn 3- từ 4 trở đi ).  Ta đổi biến số bằng cách đặt u=  Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp dụng các định lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay . Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99). Tìm giới hạn sau : Bài giải : Ta có :  Đặt :  Đặt :  Vậy : Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau Bài giải : 6 Phần nâng cao . Áp dụng giới hạn :  Nếu giới hạn đã cho chứa các hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn trên.  Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thức với lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các định lý và quy tắc tìm giới hạn đã biết . Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau Bài giải : Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau. Bài giải : Vậy : III.Phần bài tập tự luyện Bài 1. Tìm các giới hạn sau Bài 2. Tìm các giới hạn sau Bài 3. Tìm các giới hạn sau Bài 4. Tìm các giới hạn sau Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau III. Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số  Theo định nghĩa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x0 là một giá trị thuộc D . Giới hạn của tỷ số Gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0.  Nếu hàm số f=f(x) tồn tại đạo hàm tại điểm x0 : f'(x0)≠ 0 , thì :  Một số công thức tính đạo hàm cần biết : Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. (ĐH-Thuỷ lợi -KA-2001).Tìm giới hạn sau Bài giải : Với : Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau Bài giải Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau Bài giải * Chú ý : Có thể sử dụng một số kết quả sau để tìm giới hạn Kết quả 1. Tìm giới hạn sau Từ phân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho nên : Ví dụ . Tìm giới hạn sau Bài giải : Do (1) Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau Ví dụ 1: Bài giải : Ví dụ 2 : Bài giải : Một số bài tập tự luyện Bài 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau BÀI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP .Bài 1. Dùng định nghĩa, CMR: a) x 2 lim(2x 3) 7    b) x 3 x 1 lim 1 2(x 1)    c) 2 x 1 x 3x 2 lim 1 x 1      Bài 2. Tìm các giới hạn sau a) 3 2 x 0 lim(x 5x 10x)    b) 2 x 1 x 5x 6 lim x 2    c) x 3 lim x 1   d) 2 2x 2 2x 3x 1 lim x 4x 2      e) 3 x 1 1 1 lim 1 x 1 2x        f) 2 3 x 0 x 4 lim x 3x 2    g) x 1 1 x 1 x lim x    j) 0 tan s in2x lim cosx x x  h) x 2 sin x lim x k) x 4 tgx lim x  Dạng vô định 0 0 1. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 x 2 x 4 lim x 3x 2    b) 2 2 x 1 x 1 lim x 3x 2     c) 2 2 x 5 x 5x lim x 25   d) 2 2 x 2 x 2x lim 2x 6x 4     e) 3 4 x 1 x 3x 2 lim x 4x 3     f) 3 2 2 x 1 x x x 1 lim x 3x 2       g) 2 3 2 2 6 lim 8x x x x     h) 4 2 2 3 72 lim 2 3x x x x x     i) 5 3 1 1 lim 1x x x   j) 3 2 4 2 x 3 x 5x 3x 9 lim x 8x 9      k) 4 3 2 3 2x 1 2x 8x 7x 4x 4 lim 3x 14x 20x 8        l) 3 2 3x 2 x 3x 9x 2 lim x x 6        m) 2 1 2 1 lim 1 1x x x        n) 3 1 1 3 lim 1 1x x x        o) 5 6 2 x 1 x 5x 4x lim (1 x)    p) 3 3 h 0 (x h) x lim h   q) 2 3 3 x a x (a 1)x a lim x a     r) 4 4 x a x a lim x a    s) 3 3 h 0 2(x h) 2x lim h   t) 2 2x 1 x 2 x 4 lim x 5x 4 3(x 3x 2)           u) 1992 1990x 1 x x 2 lim x x 2     k) n 2x 1 x nx n 1 lim (x 1)     2. Tìm các giới hạn sau: A = 8x 18xx4 lim 3 2 2x    B = 2 2x 5 x x 30 lim 2x 9x 5     D = 2 3 21 x 2 4x 1 lim 4x 2x 1    C = 3 2x 1 x 1 lim x 2x x 2     E = 2 2x 1 x 4x 3 lim x 2x 3     G = 2 2x 1 2x 3x 1 lim x 4x 5      H = 4 2x 2 x 16 lim x 2x   L = 3 2 2x 1 x x x 1 lim x 5x 6       I = 3 2x 1 x 1 lim x x   J = 3x4x 27x lim 2 3 3x    N = 3 2 3x 2 x 2x 6x 4 lim 8 x     O = 3 2 2x 2 x x 5x 2 lim x 3x 2      F = 2 21 x 2 2x 5x 2 lim 4x 1    P = 3 2 2x 1 x 4x 6x 3 lim x x 2      Q = 3 2x 1 x 3x 2 lim x 2x 1     R = 5 3x 1 x 1 lim x 1   M = 3 2x 2 8x 64 lim x 5x 6    3. Tìm các giới hạn sau: a) 2 x 0 x 1 x x 1 lim x     b) 2x 7 x 3 2 lim 49 x    c) 2x 2 2 x 2 lim x 3x 2     e) 3 2 x 1 2x 7 3 lim x 4x 3     f) x 4 x 5 2x 1 lim x 4     g) 2 2 1 2 3 lim 3 2x x x x      d) 2x 2 4x 1 3 lim x 4    h) 3 2 2 lim 8x x x x    0) 3 2 1 1 lim 2 5 3x x x x    i) j) x 4 3 5 x lim 1 5 x     k) x 1 3 8 x lim 2x 5 x     o) 3 2 0 1 1 lim 2x x x x    p) x 2 x x 2 lim 4x 1 3     x) 3 2 3 2 x 1 x 2 x 1 lim (x 1)    2 3 1 2 6 4 1 ) lim 2 1x x x x m x x       n) 4 3 2x 1 x 1 lim x x 2    q) 3 2x 2 2x 12 x lim x 2x    r) 3 x 1 x 7 2 lim x 1    s) 30 1 1 lim 1 1x x x     t) 3 x 1 x 7 2 lim x 1    v) 3 4x 1 x 1 lim x 1   w) 3 3 x 1 x 1 lim 4x 4 2    2 2x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2       4. Tính các giới hạn sau: a. x 0 x 1 x 4 3 lim x     b. x 0 x 9 x 16 7 lim x     c. 3 x 0 x 1 x 4 3 lim x     d. 3 x 0 x 1 x 1 lim x    e. 3 21 3 3 5 lim 1x x x x     f. 3 2 x 1 8x 11 x 7 lim x 3x 2      Dạng vô định   1. Tìm các giới hạn sau: a) x 2x 1 lim x 1   b) 2 2 x x 1 lim 1 3x 5x    c) 2 x x x 1 lim x x 1    d) 2 2 x 3x(2x 1) lim (5x 1)(x 2x)    e) 3 3 2 3 2 2 lim 2 2 1x x x x x      f) 3 2 4 3 2 1 lim 4 3 2x x x x x     g) 3 2 2 2 2 lim 3 1x x x x x     h) 4 2 3 3 1 lim 2 2x x x x x      i) 2 2 4x (x 1) (7x 2) lim (2x 1)    j) 2 3 2 2x (2x 3) (4x 7) lim (3x 4) (5x 1)     l) 2 3 2 lim 3 1x x x x x    k) 2 x 4x 1 lim 3x 1   m) 2 3 2 lim 3 1x x x x x    n) 2 2x x x 2 3x 1 lim 4x 1 1 x         o) 2 2x 4x 2x 1 2 x lim 9x 3x 2x        p) 2 2x x 2x 3 4x 1 lim 4x 1 2 x         q) 2x x x 3 lim x 1   r) 3 3 2 2 lim 2 2x x x x x    s) 33 2 2 3 2 23 2 ( 2 ) 2 lim 3 2x x x x x x x x x      t) x (x x x 1)( x 1) lim (x 2)(x 1)       Giới hạn một bên 1. Tìm các giới hạn sau a) 2 2 2 lim 3 1x x x x    b) 2 3 1 lim 2x x   c) 1 1 lim 1x x x    d) 1 1 lim 1x x x    e) 2 3 x 0 x x lim 2x  f) 2 3 x 0 2x lim 4x x   g) 2 33 lim 2 2    x xx x h) 2 33 lim 2 2    x xx x i) 4 3 lim 4x x x    j) 2 33 lim 2 2 2    xx xx x k) 2 33 lim 2 2 2    xx xx x l) 3 2 x 1 x 3x 2 lim x 5x 4     g) x 0 1 x lim x x        h) 2 x 1 x x 2 lim x 1    i) x 2 1 cos2x lim x 2      2. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại xo và xét xem hàm số có giới hạn tại xo không ? 2 2 o x 3x 2 (x 1) x 1 a) f(x) x (x 1) 2 với x 1           2 o 4 x (x 2) b) f(x) x 2 1 2x (x 2) với x 2           3 1 x 1 x 0 c) f (x) 1 x 1 3/ 2 x 0 0            o với x 3. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại xo: a) 3 x 1 (x 1) f(x) x 1 Ax 2 (x 1)          với x0 = 1 b) 3 2 2 x 6 2x 9 A x 3 f (x) x 4x 3x 3x 2 x 3             với x0 = 3 Giới hạn hàm lượng giác 1. Tính các giới hạn sau: a) x 0 sin5x lim 3x b) 2 x 0 1 cos2x lim x  c) 2 x 0 cosx cos7x lim x  d) 2 x 0 cosx cos3x lim sin x  e) 3 x 0 tgx sin x lim x  f) x 0 1 3 lim x sin x sin3x       g) 0 sin2 sin lim 3sinx x x x  h) 0 1 sin cos2 lim sinx x x x   D¹ng 1: x  a Bµi 1: Thay vµo lu«n. 1) 2 3 lim 3 2 1    x x x 2) 5 3 72 34 lim          x x x 3) 3 2 4 2 2 232 lim    xx xx x 4) 6 lim 3 2 3  xx x x 5) 72 15 lim 1    x x x 6) 622 35 lim 23 2 2    xxx xx x Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư. 1) 253 103 lim 2 2 2    xx xx x 2) ax ax nn ax    lim 3) 2 1 )( )( lim ax axnaax nnn ax     4) 21 )1( 1 lim    x nnxx n x 5)          31 1 3 1 1 lim xxx 6)          xx n nx 1 1 1 lim 1 7)   h xhx h 33 0 lim   8) x x x    1 1 lim 1 9) 3 152 lim 2 3    x xx x 10) 5 152 lim 2 5    x xx x 11) 6)5( 1 lim 3 1    xx x x 12) 6 293 lim 3 23 2    xx xxx x 13) xx xx x 4 43 lim 2 2 4    14) 2012 65 lim 2 2 4    xx xx x 15) 6 23 lim 2 23 2    xx xxx x 16) 32 1 lim 2 4 1    xx x x 17) 6 44 lim 2 23 2    xx xxx x Bµi 3: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã mét c¨n bËc hai) 1) . 2 35 lim 2 2    x x x 2) 7 29 lim 4 7    x x x 3) x x x    5 5 lim 5 4) 2 153 lim 2    x x x 5) 11 lim 0  x x x 6) xx x x 336 1 lim 21    7) x xx x 11 lim 2 0   8) 25 34 lim 25    x x x 9)   x xxx x   121 lim 2 0 10) 4102 3 lim 3    x x x 11) 1 23 lim 3 1    x xx x 12) x xn x 11 lim 0   (n N, n  2) 13) 6 22 lim 6    x x x 14) 23 2423 lim 2 2 1    xx xxx x 15) 1 132 lim 21    x xx x 16) 2 583 lim 3 2    x xx x 17) 32 1 lim 21    xx x x Bµi 4: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã hai c¨n bËc hai) 1) x xx x   55 lim 0 2) x xx x   11 lim 0 3) 1 12 lim 1    x xx x 4) x axa x  0 lim (a > 0) 5) x xxx x 11 lim 2 0   6) 23 2423 lim 2 2 1    xx xxx x 7) 23 2423 lim 2 3 23 1    xx xxx x 10) x xxx x   131 lim 2 0 8) x axa x 33 0 lim   9) 1 12 lim 2 3 23 1    x xxx x Bµi 5: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã mét c¨n bËc ba) a) x x x 141 lim 3 0   b) 2 24 lim 3 2    x x x c) x x x 3 11 lim 3 0   d) 11 lim 30  x x x Bµi 6: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (c¶ tư vµ mÉu) 1) x x x    51 53 lim 4 2) 314 2 lim 2    x xx x 3) 1 lim 2 1    x xx x 4) 23 1 lim 2 3 1    x x x 5) 1 1 lim 4 3 1    x x x 9) 1 1 lim 3 1    x x x 6) 39 24 lim 2 2 0    x x x 7) 3 527 lim 9    x x x 8) 364 4 8 lim x x x    Bµi 7: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba) 1) x xx x 3 0 812 lim   (§HQG – KA 97) 2) 23 2423 lim 2 3 2 1    xx xxx x 3) 1 75 lim 2 3 23 1    x xx x 4) 23 2423 lim 2 23 1    xx xxx x 5) 1 57 lim 23 1    x xx x 6) x xx x 3 0 5843 lim   7) x xx x 7121 lim 3 0   D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn 1) 2 228 lim 2    x x x 2) xx xx x 23 32 lim 0    3) 2 4463 lim 2 2    x xxx x 4)         1;1 1;13 2 xx xx xf . )(lim 1 xf x 5)           0; sin 0;123 2 x x x xxx xf . T×m )(lim 1 xf x ; 6)            1;12 10; 0; 2 2 xxx xx xo xf . T×m )(lim 1 xf x ; )(lim 0 xf x 7)       2;3 2; )( 2 x xmx xf 8)        2;4 2;65 )( 2 xmx xxx xf . T×m m ®Ĩ hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2. 9)              3;3 31;56 1;)32( 5 1 2 xx xx xx xf . T×m )(lim 1 xf x ; )(lim 3 xf x 10) 34 1 lim 2 4 3    xx x x 11) 320 4 2 lim xx x x  D¹ng 3: x  : Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh:  -  ; 0x ;   . Khi ®ã chĩng ta ph¶i khư: Chĩ ý: Khi x  - hoỈc x  + mµ chia cho x th× ph¶i chĩ ý tíi dÊu. 1) 32 3 662 13 lim xx xx x    2)        xxx x lim 3)      50 3020 12 2332 lim    x xx x 6)  2317lim 22   xxxx x 4)  21lim 22   xxx x 5)     n nn x x xxxx 11 lim 22   7)  xxxx x 914lim 22   8)  3612lim 22   xxxx x 9)  274lim 2   xxx x 15)    xbxax x   lim 10)  34412lim 2   xxx x 11)         xxxx x 3333lim 12)  xxxx x   3 23 2lim 18)  xxxx x 22lim 23 23   13)  13lim 3 23   xxxx x 14)  xx x   1lim 2 16)         xxxxxx x lim 17)  2lim 2   xxx x 19)  11. 1 lim  xxxx 20)  xxxxx x   22 22lim 21)  xxx x   122lim 24)  34.lim 22   xxx x 22)  13.lim   xxx x 23)  13.2lim   xxx x 25)  7252lim   xx x 26)  xxx x   3 23 6lim 27)  3 233 23 11lim   xxxx x D¹ng 4: 1 sin lim 0   x x x 1) x x x 5sin lim 0 2) x x x 3 2tan lim 0 3) m n x x x sin sin lim 0 4) 20 cos1 lim x x x   5) 30 45 sin.3sin.5sin lim x xxx x 6) nx xn nxxx ! sin....2sin.sin lim 0 7) x xx x 30 sin sintan lim   8) ax ax ax    sinsin lim 9) bx bx bx    coscos lim 10) x x x 2sin 121 lim 0   11) cx cx cx    tantan lim 12) xx x x sin cos1 lim 3 0   13) cx cx cx    cotcot lim 14) 22 22 sinsin lim ax ax ax    17) 20 coscos lim x xx x    15) x xx x sin 3sin5sin lim 0   16)   2 tan1lim 1 x x x    18) )2tan( 8 lim 3 2    x x x 19) x