Mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác

Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 1 MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH TỨ GIÁC Mục lục I/ ĐẶT VẤN ĐỀ(Lý do chọn đề tài) .................................................trang 2 II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm)......... trang 3 1)Cơ sở lý luận của vấn đề..................................................................trang 3 2)Thực trạng của vấn đề......................................................................trang 3 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.............................trang 3 A.LÝ THUYẾT:.................................................................................trang 3 B.ÁP DỤNG:.....................................................................................trang 5 4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ..............................................trang 9 III/KẾT LUẬN....................................................................................trang 10 Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 2 I/ ĐẶT VẤN ĐỀ :(Lý do chọn đề tài) * Chương I “Tứ giác” ở hình học 8 là chương đặt nền móng đầy đủ cho việc nghiên cứu đa giác trong học hình học phẳng ở chương trình THCS. Nó hoàn thiện kiến thức về tam giác và cơ sở để mở rộng về đa giác nói chung. * Nhiều năm dạy toán THCS tôi nhận thấy HS thường hay lúng túng khi một tứ giác có thêm hoặc bớt đi một điều kiện thì loại hình tứ giác đó thay đổi như thế nào?Do các em chưa nắm chắc mối quan hệ giữa các loại hình tứ giác đó . * Để phần nào giúp HS có cơ sở làm tốt những bài toán chứng minh về tứ giác . Tôi xin đưa ra một số yếu tố về cạnh , góc , đường chéo của tứ giác , vị trí của điểm ,tam giác … thay đổi thì sẽ kéo theo loại hình tứ giác đó thay đổi. Làm nền tảng cho HS vẽ hình , dự đoán và chứng minh được tứ giác đó là hình gì.Từ đó HS tính được độ dài cạnh , số đo góc … Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 3 II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :(Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 1)Cơ sở lý luận của vấn đề : * Để đạt hiệu quả cao khi sử dụng mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác . HS phải hiểu chắc hệ thống kiến thức về chương tứ giác . * Các em phải nắm vững những định nghĩa , tính chất , dấu hiệu nhận biết , lưu ý… của từng loại hình tứ giác . * Từ đó khi thêm hoặc bớt một điều kiện các em có thể dự đoán ngay loại hình mới và tìm cách để chứng minh . 2)Thực trạng của vấn đề : * Để chứng minh một tứ giác là hình gì thông thường HS hay lúng túng nếu chưa nắm chắc hệ thống lí thuyết và các mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác. Nên các em cần chú ý những điểm sau đây : -Có thể dựa vào sơ đồ nhận biết các loại tứ giác -Có thể dựa vào tính chất đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục của từng loại hình tứ giác) - Nắm chắc hết các phương pháp để chứng minh 1 tứ giác là hình gì ? -Tìm các mối liên hệ của cùng một tiểu mục như : giữa định nghĩa với nhau , tính chất với nhau , dấu hiệu nhận biết với nhau . Để thấy sự giống nhau và khác nhau của từng loại hình tứ giác . Từ đó không nhầm lẫn khi chứng minh hoặc tìm điều kiện để hình này trở thành hình khác . 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: A.LÝ THUYẾT: *HS cần có cái nhìn tổng quát về việc nhận biết mối liên lệ giữa các loại tứ giác đã học SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC . 2 ñöôøng che ùo = . 1 goùc vuoâng . 1ñöôøng che ùo laø ñöôøng phaân giaùc cu ûa 1 goùc . 2ñöôøng che ùo vuoâng goùc . 2caïnh keà = Hình chöõ nha ät 1 goùc vuoâng 2 caïnh beân song song .2ñöôøng cheùo = . 1goùc vuoâng Hình thoi . 1ñöôøng che ùo laø ñöôøng phaân giaùc cu ûa 1 goùc . 2ñöôøng che ùo vuoâng goùc . 2caïnh keà = Hình thang caân Hình bình ha ønhHình thang vuoâng . 2ñöôøng che ùo = . 2goùc keà ñaùy = Goùc vuoâng 2 caïnh beân song song Hình thang . 2 ñöôøng cheùo caét nhau tai trung ñieåm moãi ñöôøng . Caùc caïnh ñoái = . 2 caïnh ñoái song song vaø = . Caùc caïnh ñoái = . Caùc caïnh ñoái song song 2 caïnh ñoái song song TÖÙ GIAÙC 4 caïnh baèng nhau3 goùc vuoâng Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 4 *Để giúp HS nắm đầy đủ các phương pháp chứng minh một tứ giác là hình gì , tôi xin giới thiệu bảng các phương pháp sau : 1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG CÂN Chứng minh tứ giác là một hình thang có PP1) Hai góc kề một đáy bằng nhau . PP2) Hai đường chéo bằng nhau . PP3) Hai góc đối bù nhau . PP4) Đường nối các trung điểm của hai đáy là trục đối xứng . 2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH Chứng minh tứ giác có PP1) Hai cặp cạnh đối song song . PP2) Hai cặp cạnh đối băng nhau từng đôi một . PP3) Các cặp góc đối bằng nhau . PP4) Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . PP5) Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau . PP6) Một tâm đối xứng . 3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT Chứng minh tứ giác PP1) Là hình bình hành có một góc vuông . PP2) Có bốn góc bằng nhau . PP3) Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Là hình thang cân có một góc vuông . PP5) Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI Chứng minh tứ giác PP1) Là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau . PP2) Có bốn cạnh bằng nhau . PP3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc . PP4) Có mỗi đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo đó . PP5) Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy . PP6) Có mỗi đường thẳng qua hai đỉnh đối nhau là một trục đối xứng của nó . 5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH VUÔNG Chứng minh tứ giác PP1) Là hình thoi có một góc vuông . PP2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau . PP3) Là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc . PP5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối nhau , các đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối nhau . Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 5 B.ÁP DỤNG: *Tôi xin minh hoạ 1 số trường hợp cụ thể bằng các bài toán sau . Lời giải trình bày gọn , chủ yếu là gợi ý. HS hiểu và làm lại chi tiết hơn . 1.Phương pháp :Đường chéo của tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì về đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông ? * Giải : a) Vẽ 2 đường chéo AC,BD Ta có : , 2 ACMN AC MN  (tính chất đường trung bình của tam giác ) , 2 ACPQ AC PQ  ,MN PQ MN PQ  Vậy MNPQ là hình bình hành . b)- MNPQ là hình chữ nhật thì Mˆ = 1v AC BD  - MNPQ là hình thoi thì MN = MQ AC BD  - MNPQ là hình vuông thì AC BD và AC = BD 2.Phương pháp :Vị trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABC ,D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC. Chúng cắt các cạnh AC , AB theo thứ tự tại E và F . a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ? c)Nếu ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ? * Giải : Q P N M D C B A Q P N M D C B A Q P NM D C B A Q P NM D C B A F E D C B A F E D CB A F E D CB A F E D C B A Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 6 a) Ta có : DE AF (gt) DF AE (gt) Vậy AEDF là hình bình hành . b)Vẽ đường chéo AD Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác  Vậy D là giao điểm của phân giác  và BC c) Nếu ˆ: 1ABC A v thì AEDF là hình chữ nhật Để AEDF là hình vuông thì :  = 1v và AD là phân giác 3. Phương pháp : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình thoi thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? * Giải : a) (Xem bài 1 phần a ) b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình bình hành (tương tự phần a) - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD MN MQ  Vậy MNPQ là hình thoi . - Nếu ABCD là hình thoi thì : AC BD MN MQ  hay Mˆ = 1v Vậy MNPQ là hình chữ nhật . - Nếu ABCD là hình vuông thì : MN = MQ và Mˆ = 1v Vậy MNPQ là hình vuông . 4. Phương pháp :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho hình thang ABCD ( AB CD ). Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, AC, DC, BD . a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ? c) Khi MNPQ là hình vuông . Tính các góc của hình thang ABCD. * Giải : Q P N M D B C AQ P N M D C B A Q P N M D C BA Q P N M C B D A K Q P N M C B D A Q P N M B C D A Q P N M D C BA Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 7 a) Ta có : , 2 ADMQ AD MQ  ( tính chất đường trung bình của tam giác ) , 2 ADNP AD NP  ,MQ NP MQ NP  Vậy MNPQ là hình bình hành b) Nếu ABCD là hình thang cân thì AD = BC MQ MN  Vậy MNPQ là hình thoi . c) Khi MNPQ là hình vuông thì Mˆ = 1v hay MQ MN DK CK   nên Cˆ = Dˆ = 450 Do đó  = Bˆ = 1350 5.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABC cân tại A . Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC . Q là điểm đối xứng của P qua N . a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang . b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật . c) ABC phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông . * Giải : a) Ta có : PN AB (tính chất đường trung bình của tam giác ) hay AM PQ Vậy PMAQ là hình thang b) Ta có NA = NC (gt) NP = NQ ( tính chất đối xứng) ABC cân tại A nên AP cũng là đường cao , do đó ; AP BC hay Pˆ = 1v Vậy APCQ là hình chữ nhật . c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành) P = A (góc đối hình thoi ) Do đó :  = Bˆ ˆ ˆˆA B C   Vậy ABC đều - Nếu APCQ là hình vuông thì AP = PC (= 2 BC ) Vậy ABC vuông cân tại A 6.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình và góc giữa 2 trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho ABC . Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi I,J là trung điểm GB, GC . a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành . b) ABC phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ? c) Nếu BE CF thì tứ giác EFIJ là hình gì ? N P Q CB A Q N P M C A B Q N P M CB A Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 8 * Giải : a) Ta có : , 2 BCFE BC FE  (tính chất đường trung bình của tam giác) , 2 BCIJ BC IJ  ,FE IJ FE IJ  Vậy EFIJ là hình bình hành . b) Để EFIJ là hình chữ nhật thì FJ = IE . Do đó BE = CF . Vậy ABC cân tại A c) Nếu BE CF hay FJ IE Vậy EFIJ là hình vuông . * BÀI TẬP THAM KHẢO : Tôi xin giới thiệu thêm một số bài toán để HS thử sức và đồng nghiệp hướng dẫn cho các em . Với mục đích tìm thêm nguyên nhân mà tứ giác thay đổi loại hình . Từ đó thấy được mối liên hệ của các loại hình tứ giác thật phong phú đa dạng . 1. Cho ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AC , D là điểm đối xứng với M qua I . a) Tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? b) Nếu ABC có  = 900 thì tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? c) Tìm điều kiện của ABC để AMCD là hình vuông ? 2. Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo BD lấy E,K sao cho BE = DK . a) Chứng minh AKCE là hình bình hành . b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để AKCE là hình thoi ? 3. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Vẽ đường thẳng qua B và song song AC , vẽ đường thẳng qua C và song song BD . Hai đường đó cắt nhau tại K . a)Tứ giác OBKC là hình gì ? Vì sao ? b) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông ? 4. Cho tứ giác ABCD , các phân giác các góc Â, B,C,D cắt nhau tại M,N P,Q . a) Chứng minh tứ giác MNPQ có tổng các góc đối bù nhau . b) Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? c) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? d) Nếu ABCD là hình thoi , hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? 5. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E,F là trung điểm AB, CD . AF cắt BC tại G , BF cắt AD tại H. a) Chứng minh ABGH là hình thoi . b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để ABGH là hình vuông ? l G JI F E CB A G JI F E CB A JI G F E CB A Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 9 6. Cho hình thang ABCD ( AB CD ) . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD , DA . a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) Với điều kiện nào của hình thang ABCD thì MNPQ là hình thoi , hình vuông . 7. Cho ABC , gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC . gọi M,N,P,Q là trung điểm AD, AE, EF, FD . a) Chứng minh các tứ giác ADFE, MNPQ là hình bình hành . b) Khi ABC có A = 1v thì ADFE, MNPQ là hình gì ? Vì sao ? 8. Cho ABC có AA’, BB’,CC’ là các trung tuyến , Trọng tâm G . Trên tia đối của tia B’G lấy D sao cho B’D = B’G . Trên tia đối của tia C’G lấy E sao cho C’E = C’G . a) Chứng minh BEDC là hình bìng hành . b) Tìm điều kiện của ABC để BEDC là hình chữ nhật ? c) Tứ giác BEDC có thể là hình vuông , hình thoi được không ? Vì sao ? 9. Cho ABC và H là trực tâm . Các đường thẳng vuông góc với AB tại B , vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D . a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành . b) Nếu ABC có  = 1v thì BDCH là hình gì ? c) Tìm điều kiện của ABC để BDCH là hình thoi ? 10. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N,P,Q là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD ,DA . Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt nhau tại E, F, G, H . a) Chứng minh EFGH là hình bình hành . b) Nếu ABCD là hình vuông thì EFGH là hình gì ? Chứng minh . 4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: * Tôi đã giới thiệu một số bài toán ở Chương I, Hình học lớp 8 mà khi giải cần thấy được mối liên hệ của các loại hình tứ giác . Nếu không nắm vững các mối liên hệ của các loại hình tứ giác , các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết...hoặc vận dụng không tốt, có thể ta sẽ không giải được bài toán. Điều đó cho thấy mối liên hệ của các loại hình tứ giác có tầm quan trọng như thế nào trong việc giải toán hình tứ giác * Trong giảng dạy tôi thấy nếu học sinh nhận dạng hoặc tìm thấy được mối liên hệ của các loại hình tứ giác nhanh trong từng bài toán cụ thể thì vấn đề vận dụng các phương pháp,chứng minh ... để giải bài toán các em sẽ tiến hành nhanh chóng. Từ đó học sinh quen dần việc nhận biết mối liên hệ của các loại hình tứ giác để giải toán hình tứ giác nếu có thể. Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 10 III/ KẾT LUẬN :  Thực tế khi giảng dạy tôi nhận thấy nếu HS làm loại toán này được nhiều thì các em nhớ nhanh kiến thức các loại tứ giác đã học .  Khi mỗi một câu có điều kiện đưa ra tạo cho HS tích cực suy nghĩ và tiết học sẽ sôi nổi , sinh động hơn .  Rất mong các đồng nghiệp góp ý để “sáng kiến kinh nghiệm” có chất lượng hơn. HS nên tìm thêm nhiều bài toán dạng này và giải chi tiết , hình vẽ cụ thể cho từng trường hợp . Từ đó các em tìm được điều kiện nhanh và vô hình chung HS tích luỹ được nhiều kiến thức . Chúc các đồng nghiệp và các em HS thành công . Quy Nhơn, ngày 15/02/2012 Người viết : NGUYỄN KIM CHÁNH Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2011-2012 GV: Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 11 Tài liệu tham khảo -Sách giáo khoa toán 8,tập1 -Sách bài tập toán 8,tập1 -Sách giáo viên toán 8,tập1 -500 bài toán 8 chọn lọc (Nguyễn ngọc Đạm-Nguyễn quang Hanh-Ngô long Hậu) -Để học tốt hình học 8 (Nguyễn vĩnh Cận-Vũ thế Hựu-Hoàng Chúng)