Minh họa hình vẽ bằng Cabri 3D theo SGK Hình học 11

Minh họa hình vẽ bằng Cabri 3D theo SGK Hình học 11 Mục lục Chương I. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Bài 1. Các khái niệm mở đầu Hình Thể hiện Mô tả ngắn H1a Hình chóp Dùng chuột kích rê các đỉnh trên hình đáy của hình chóp để dịch chuyển các điểm này trên mặt phẳng. Nháy và rê chuột tại đỉnh của hình chóp để dịch chuyển đỉnh này theo phương nằm ngang. Dich chuyển trong khi giữ phím Shift sẽ dịch chuyển đỉnh hình chóp theo phương thẳng đứng. H1b Hình lập phương Dùng chuột kéo rê tại các đỉnh nằm trên mặt phẳng sẽ làm cho hình xoay và chuyển động. Có thể dịch chuyển toàn bộ khối lập phương bằng cach dịch chuyển điểm nằm tại tâm của đáy hình lập phương (điểm có màu đỏ). H1c Hình 12 mặt Dùng chuột kéo rê tại các đỉnh nằm trên mặt phẳng để làm cho khối 12 mặt chuyển động. Dịch chuyển điểm nằm tại tâm của đáy (có màu đỏ) sẽ làm cho toàn khối chuyển động trong không gian). H1d Hình cầu Dịch chuyển các điểm nằm trên vòng tròn xích đạo để quan sát sự thay đổi của hình cầu. Dịch chuyển tâm hình cầu sẽ làm cho toàn bộ hình cầu dịch chuyển trong không gian. H2 Mặt phẳng Dich chuyển điểm A trên mặt phẳng có màu đậm hơn. Dịch chuyển A cùng với giữ phím Shift sẽ làm cho mặt phẳng này chuyển động theo phương thẳng đứng và quan sát sự chuyển động của mặt phẳng này trong không gian. H3 Các biểu diễn của khối hình lập phương trong không gian. Kích và rê chuột tại các đỉnh trên đáy sẽ làm cho các khối hình này chuyển động. H4 Biểu diễn mặt phẳng và đường thẳng trong không gian Dịch chuyển điểm A và điểm (màu đỏ) nằm trên đường thẳng a để quan sát sự thay đổi đường thẳng trong không gian. Nếu trong khi dịch chuyển bấm giữ phím Shift sẽ làm cho điểm chuyển động theo phương thẳng đứng. Bài 2. Các tiên đề của hình học không gian Hình Thể hiện Mô tả ngắn H5 H5. Giao điểm của hai mặt phẳng (Minh họa cho chứng minh định lý 1) Dịch chuyển các điểm C, D trên mặt phẳng P hoặc dịch chuyển điểm (màu đỏ) trên mặt phẳng Q để quan sát sự thay đổi trong không gian của mặt phẳng Q và giao điểm của P và Q. H6 H6. Minh họa cho định lý 2 Các điểm B, C có thể dịch chuyển trêb đường thẳng. Nháy và rê chuột trực tiếp trên đường thẳng sẽ làm dịch chuyển đường thẳng này. H7 H7. Minh họa cho định lý 3 Nháy vả rê chuột trực tiếp trên các đường thẳng a, b để làm chuyển động các đường thẳng này. Có thể dịch chuyển các điểm A, B trên các đường thẳng a, b tương ứng. H8 Hình 8. Minh họa cho ví dụ 1 Dịch chuyển các điểm A, B, C, D trên mặt phẳng và điểm S trong không gian để quan sát sự thay đổi của các đối tượng hình học trên hình. H9 Hình 9. Minh họa cho ví dụ 2 Các điểm A, B, C có thể được chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Điểm O chuyển động trong không gian. Muốn chuyển dịch điểm O theo chiều thẳng đứng hãy nhấn giữ phím Shift trong khi dịch chuyển điểm. Các điểm A’, B’, C’ dịch chuyển trên các cạnh tương ứng của hình chóp OABC. H10 Hình 10. Minh họa cho ví dụ 3 Các điểm A, B, C chuyển động tự do trên mặt phẳng. Điểm O chuyển động trong không gian. Các điểm A’, B’, C’ chuyển động tự do trên các cạnh tương ứng. M chuyển động tự do trên mặt phẳng chính. Dùng chuột dịch chuyển các điểm này để quan sát toàn bộ hệ thống. Bài 3. Hình chóp Hình Thể hiện Mô tả ngắn H11 Hình 11. Hình chóp đa giác Dùng chuột dịch chuyển các đỉnh của đa giác đáy trên mặt phẳng chuẩn. Đỉnh S có thể dịch chuyển trong không gian 3 chiều. H12a Hình 12a. Hình chóp tam giác H12b Hình 12b. Hình chóp tứ giác H12c Hình 12c. Hình chóp ngũ giác H13 Hình 13. Minh họa cho Ví dụ 1. Các đỉnh A, B, D có thể dịch chuyển tự do trên mặt phẳng bằng cách kéo rê chuột tại các đỉnh này. Dùng chuột dịch chuyển đỉnh S trong không gian (bấm giữ phím Shift để dịch chuyển S theo chiều thẳng đứng). Quan sát sự thay đổi của toàn bộ hình khi các đỉnh thay đổi trong không gian. H14 Hình 14. Minh họa cho ví dụ 2. Các điểm A, B, C, D chuyển động tự do trên mặt phẳng chuẩn. Dùng chuột để dịch chuyển đỉnh S tự do trong không gian và quan sát tổng thể toàn bộ hình. Chương II. Quan hệ song song Bài 1. Hai đường thẳng song song Hình Thể hiện Mô tả ngắn H15abc Hình 15 (a, b, c). Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng. Trên mỗi đường thẳng a, b đều có hai điểm (màu đỏ) dùng làm điểm điều khiển chuyển động. Nháy và kéo rê các điểm này sẽ làm cho các đường thẳng chuyển động trên mặt phẳng. Quan sát các vị trí khác nhau của a, b để thu được 3 vị trí khác nhau giữa hai đường này: trùng nhau, song song và giao nhau. Có thể dịch chuyển trực tiếp đường thẳng bằng cách di chuột trên đường thẳng này. H15d Hình 15 (d). Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Trên mỗi đường thẳng a, b đều có hai điểm (màu đỏ) dùng làm điểm điều khiển chuyển động. Nháy và kéo rê các điểm này sẽ làm cho các đường thẳng này chuyển động. b luôn chuyển dịch trên mặt phẳng nằm ngang. a sẽ chuyển động tự do trong không gian. H16 Hình 16. Minh họa cho định lý 1. Đường thẳng a luôn song song với b. Dịch chuyển điểm A trên mặt phẳng để quan sát. Trên b cũng có một điểm (màu đỏ) dùng để điều khiển đường thẳng này. H17ab Hình 17 (a, b). Minh họa cho định lý 2. Trên các đường thẳng a, b đều có hai điểm (màu đỏ) dùng làm điểm điều khiển. Dùng chuột dịch chuyển các điểm này sẽ làm cho a, b chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Dịch chuyển các đường thẳng này để quan sát các mặt phẳng Q, R thay đổi. Quan sát hai vị trí khác nhau của a, b: giao nhau và song song. Trên đường thẳng c cũng có 1 điểm điều khiển. Dịch chuyển điểm này trong không gian sẽ quan sát được sự thay đổi của Q, R trong không gian và giao điểm của chúng với P. H18 Hình 18. Minh họa cho hệ quả 1. A, B là hai điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng a, b. Ta sẽ thấy các đường a, b luôn song song với đường thẳng c. Điểm A’ dùng để điều khiển thay đổi của đường thẳng a trong không gian. Trên mặt phẳng nằm ngang (trong suốt) còn có 2 điểm điều khiển nữa. Các điểm này kết hợp với A, B dùng để điều khiển sự thay đổi vị trí của các mặt phẳng đi qua a và b. H19 Hình 19. Minh họa cho định lý 3. Điểm giao của b, c với mặt phẳng nằm ngang chính là các điểm điều khiển chuyển động của các đường thẳng b, c. Muốn dịch chuyển a hãy kéo thả chuột trực tiếp trên đường thẳng này. H20 Hình 20. Hình vẽ cho Ví dụ 1. Các điểm B, C, D có thể dịch chuyển tự do trong mặt phẳng nằm ngang. Điểm S chuyển động tự do trong không gian. Các điểm và đường còn lại phụ thuộc vào 4 điểm vừa nêu. H21 Hình 21. Hình vẽ cho Ví dụ 2. Các điểm B, C, D chuyển động tự do trên mặt phẳng nằm ngang. Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Các điểm và đường còn lại phụ thuộc vào 4 điểm đã cho. Bài 2. Đường thẳng và mặt phẳng song song Hình Thể hiện Mô tả ngắn H22a Hình 22a. Đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng. Đường thẳng a luôn song song với mặt phẳng P. Trên a có 2 điểm điều khiển (màu đỏ). Dùng chuột dịch chuyển các điểm này để quan sát chuyển độn của a. Trên mặt phẳng P cũng có một điểm điều khiển (bên trái, màu đỏ). Dịch chuyển điểm này theo chiều thẳng đứng (trong khi giữ phím Shift) để quan sát sự chuyển động của P. H22b Hình 22b. Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm. Mặt phẳng P có thể được chuyển động theo chiều thẳng đứng bằng cách dịch chuyển điểm điều khiển trong không gian. Trên đường thẳng a có 2 điểm điều khiển, trong đó điểm I luôn nằm trên mặt phẳng P. H22c Hình 22c. Đường thẳng nằm trên mặt phẳng. Đường thẳng a có 2 điểm điều khiển. Dịch chuyển các điểm này trên mặt phẳng để quan sát sự chuyển động của a. H23 Hình 23. Minh họa cho định lý 1. Trên đường thẳng a có 2 điểm điều khiển. Đường thẳng d đi qua 1 điểm trong không gian (điểm này có thể chuyển dịch tự do trong không gian) và luôn song song với a. Trên mặt phẳng P có một điểm điều khiển (màu đỏ, bên trái). Dịch chuyển điểm này để quan sát sự chuyển động của P theo phương thẳng đứng. H24 Hình 24. Minh họa cho định lý 2. Mặt phẳng Q xác định bởi đường thẳng d và một điểm (màu đỏ) trong không gian. Dịch chuyển các điểm này để quan sát sự chuyển động của Q và giao của Q và P. Trên P có một điểm điều khiển (bên trái, màu đỏ) dùng để dịch chuyển P trong không gian theo chiều thẳng đứng. H25 Hình 25. Minh họa cho định lý 3. Các mặt phẳng P, Q được xác định đi qua 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang (trong suốt) và luôn song song với d. Trên d có 2 điểm điều khiển, trong đó một điểm luôn nằm trên mặt phẳng nằm ngang, một điểm nằm trong không gian và chuyển động tự do. Dịch chuyển các 2 đường thẳng tạo nên P, Q (mỗi đường này lại có 2 điểm điều khiển) để quan sát tổng thể giao của P và Q trong không gian. Ta sẽ thấy đường thẳng a là giao của P, Q sẽ luôn luôn song song với d. H26 Hình 26. Minh họa cho định lý 4 Đường thẳng b chuyển động tự do trong không gian (xác định bởi 2 điểm điều khiển, trong đó có 1 điểm chuyển động hoàn toàn tự do trong không gian). Đường thẳng a chuyển động tự do trên mặt phẳng nằm ngang. Điểm M chuyển động trên a. Đường thẳng b’ luôn song song với b. Mặt phẳng nằm ngang có thể chuyển động bởi 01 điểm điều khiển màu đỏ. H27 Hình 27. Minh họa cho ví dụ Các đỉnh B, C, D chuyển động tự do trên mặt phẳng đáy. Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Điểm M chuyển động tự do trên mặt phẳng ABC. P là mặt phẳng đi qua M và song song với AB, CD (mặt phẳng này trong suốt). Bài 3. Hai mặt phẳng song song Hình Thể hiện Mô tả ngắn H28 Hình 28. Minh họa cho định lý 1. Đường thẳng a chuyển động tự do trên mặt phẳng P và xác định bởi 2 điểm điều khiển. H29 Hình 29. Minh họa cho định lý 2. Hai đường thẳng a, b chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Mỗi đường thẳng được xác định bởi 2 điểm điều khiển (màu đỏ). H30 Hình 30. Minh họa cho định lý 3. Hai đường thẳng a, b chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Mỗi đường thẳng được xác định bởi 2 điểm điều khiển (màu đỏ). Điểm A chuyển động tự do trên Q. Các đường thẳng a’, b’ đi qua A và song song với a, b tương ứng. H31 Hình 31. Minh họa cho Hệ quả 2, định lý 3. Hai mặt phẳng P, Q có thể dịch chuyển theo chiều thẳng đứng và được điều khiển bởi 2 điểm màu đỏ bên trái. H32 Hình 32. Minh họa cho định lý 4. Mặt phẳng S xác định bởi đường thẳng a trên P và một điểm trên Q. Đường thẳng a xác định bởi 2 điểm điều khiển. Mặt phẳng P có thể dịch chuyển theo chiều thẳng đứng. Bài 4. Hình lăng trụ và hình hộp Hình Thể hiện Mô tả ngắn H33 Hình 33. Hình lăng trụ. Các đỉnh A1, A2, A3, A4, A5 có thể dịch chuyển tự do trên mặt phẳng P. H34a Hình 34a. Hình lăng trụ tam giác Có thể dịch chuyển các đỉnh của hình lăng trụ này. H34b Hình 34b. Hình lăng trự tứ giác Có thể dịch chuyển các đỉnh của hình lăng trụ này. H34c Hình 34c. Hình lăng trự ngũ giác Có thể dịch chuyển các đỉnh của hình lăng trụ này. H35 Hình 35. Hình hộp Có thể dịch chuyển các đỉnh của hình hộp này. Bài 5. Hình chóp cụt Hình Thể hiện Mô tả ngắn H36 Hình 36. Hình chóp cụt Các điểm A1, A2, A3, A4, A5 được chuyển động tự do trên mặt phẳng chuẩn. Có thể dùng chuột để dịch chuyển các đỉnh này. Điểm S chuyển động tự do trong không gian. Mặt phẳng P được điều khiển bởi một điểm (màu đỏ). Dịch chuyển điểm này theo chiều thẳng đứng (nhớ bấm giữ phím Shift). sẽ làm co P chuyển động theo phương thẳng đứng. Bài 6. Phép chiếu song song Hình Thể hiện Mô tả ngắn H37 Hình 37. Phép chiếu song song. Đường thẳng l được xác định bởi 2 điểm chuyển động tự do trong không gian. Điểm M chuyển động tự do trong không gian. M’ là hình chiếu song song của M theo phương của đường thẳng l. Mặt phẳng P được điều khiển bởi một điểm (màu đỏ). H38 Hình 38. Minh họa cho định lý 1 Các điểm A, C chuyển động tự do trong không gian. Điểm B chuyển động trên đường thẳng AC. Dịch chuyển các điểm A, B, C để quan sát hình và kiểm tra tính đúng đắn của định lý. H39 Hình 39. Minh họa cho định lý 2 Đường thẳng a được xác định bởi điểm A và một điểm chuyển động tự do trong không gian. Điểm B chuyển động tự do trong không gian. Đường thẳng b luôn song song với đường thẳng a. Dịch chuyển B trong không gian để quan sát tính đúng đắn của định lý. H40 Hình 40. Minh họa cho trường hợp 1, định lý 3 Đường thẳng a xác định bởi hai điểm A và D. Các điểm B, C chuyển động tự do trên a. Dịch chuyển B, C để quan sát các tỷ lệ. Dịch chuyển A, D để quan sát toàn bộ hình. H41 Hình 41. Minh họa cho trường hợp 2, định lý 3 Các điểm A, B, C chuyển động tự do trong không gian. CD // AB. MD // AC. Dịch chuyển các điểmA, B, C để quan sát chuyển động của hình tương ứng với trường hợp đã nêu của định lý 3. H42 Hình 42. Minh họa cho trường hợp 3, định lý 3 Các đối tượng hình học tương tự như hình 41. Tuy nhiên vị trí của CD được chuyển dịch sao cho các điểm A’, B’, C’, D’ thẳng hàng. H43 Hình 43. Biểu diễn hình chiếu tam giác lên mặt phẳng Trên hình là biểu diễn hình chiếu song song cúa một tam giác đều và một tam giác với đường cao lên cùng một mặt phẳng. Có thể tương tác làm chuyển động các tam giác gốc và phuơng của đường thẳng chiếu. Quan sát hình ảnh chiếu của các tam giác này lên mặt phẳng và đưa ra các nhận xét của mình. H44 Hình 44. Biểu diễn hình chiếu của hình vuông, hình bình hành Trên hình là biểu diễn của một hình vuông và một hình bình hành lên cùng một mặt phẳng. Có thể tương tác làm chuyển động các hình gốc và phuơng của đường thẳng chiếu. Quan sát hình ảnh chiếu của các hình này lên mặt phẳng và đưa ra các nhận xét của mình. H45 Hình 45. Biểu diễn hình chiếu của hình tròn lên một mặt phẳng Hình biểu diễn hình chiếu song song của một vòng tròn lên một mặt phẳng. Tam giác ABC là hình chiếu của một tam giác vuông nội tiếp trong vòng tròn gốc. Có thể tương tác trực tiếp với vòng tròn gốc và mặt phẳng chứa vòng tròn gốc. Chương III. Quan hệ vuông góc Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc Hình Thể hiện Mô tả ngắn H46 Hình 46. Góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng. Các đường thẳng a, b chuyển động tự do trên măt phẳng với giao điểm O. Góc giữa hai đường thẳng được tính trực tiếp là góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng. Hai đường thẳng a, b được điều khiển bởi 2 điểm. Mặt phẳng chính được điều khiển bởi 1 điểm (màu đỏ) theo phương thẳng đứng. H47 Hình 47. Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian. Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian được tính bởi góc giữa hai đường thẳng a’, b’. Đường thẳng a’ luôn // a, đường thẳng b’ luôn // b. Điểm O có thể dịch chuyển tự do trong không gian. Hai đường thẳng a, b cũng chuyển động tự do trong không gian và đều được xác định bởi 2 điểm. Dịch chuyển điểm O để quan sát sự thay đổi và chuyển động của các đường thẳng a’, b’. H48 Hình 48. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Hai đường thẳng a, b luôn vuông góc với nhau trong không gian. Các điểm điều khiển chính của các đường thẳng a, b là các điểm A, B. Các điểm A, B có thể chuyển động tự do trong không gian. H49 Hình 49. Minh họa cho ví dụ 1. H50 Hình 50. Minh họa cho ví dụ 2. Tứ diện ABCD là một tứ diện đều với đỉnh A chuyển động tự do còn các đỉnh còn lại chuyển động tự do trên mặt phẳng. Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Hình Thể hiện Mô tả ngắn H51 Hình 51. Minh họa cho định lý mở đầu Các đường thẳng a, b, c đều được xác định bởi 2 điểm và chuyển động tự do trong mặt phẳng P. O là giao điểm của a, b. Đường thẳng d’ song song với d và đi qua O. Điểm M chuyển động tự do trên d’. M’ là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng c’ đi qua O và luôn song song với c. Một đường thẳng chuyển động tự do xác định bởi 2 điểm, trong đó có điểm C’ sẽ cắt a, b tại A và B. H52 Hình 52. Minh họa cho hệ quả của định lý mở đầu Điểm M chuyển động tự do trong không gian. Các điểm A, B, C chuyển động tự do trên mặt phẳng P. H53 Hình 53. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Mặt phẳng P được xác định bởi 3 điểm, trog đó một điểm chuyển động tự do trong không gian, hai điểm còn lại chuyển động tự do trong mặt phẳng chuẩn (mặt phẳng màu xám). Dịch chuyển các điểm này sẽ quan sát được thay đổi của P. Điểm M dịch chuyển tự do trong không gian. Đường thẳng d đi qua M và luôn vuông góc với P. Đường thẳng a chuyển động tự do trên P và được xác định bởi 2 điểm (màu đỏ, không có nhãn). H54 Hình 54. Minh họa cho định lý 1. Đường thẳng d được xác định bởi 2 điểm, điểm phía trên chuyển động tự do trong không gian, điểm phía dưới chuyển động theo phương nằm ngang. Điểm O chuyển động tự do trong không gian. Mặt phẳng R luôn đi qua O và vuông góc với d. Các đường thẳng a, b chuyển động tự do trong mặt phẳng R, mỗi đường luôn đi quan O và các định bởi một điểm thứ hai. Đường thẳng d’ luôn đi qua O là song song với d. Các mặt phẳng P, Q xác định bởi các cặp đường thẳng (d’, a) và (d’, b) tương ứng. H55 Hình 55. Minh họa cho định lý 2. Điểm O chuyển động tự do trong không gian. Đường thẳng a chuyển động tự do trong mặt phẳng P xác định bởi 2 điểm tự do trong mặt phẳng này. Mặt phẳng Q đi qua O và luôn vuông góc với a. Dịch chuyển O và a để quan sát sự chuyển động của các đối tượng trên màn hình. H56 Hình 56. Liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc (1). Đường thẳng a đi qua 2 điểm chuyển động tự do là A, A’. Đường thẳng b đi qua điểm tự do B và song song với a. Mặt phẳng P đi qua một điểm tự do (màu đỏ) và luôn vuông góc với a, b. Dich chuyển a, b và P sẽ quan sát được sự thay đổi các đối tượng hình học trên màn hình. H57 Hình 57. Liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc (2). Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Đường thẳng d luôn vuông góc với hai mặt phẳng P, Q. Dịch chuyển các điểm điều khiển (màu đỏ) trên P, Q để quan sát sự chuyển động của các đối tượng khác trên màn hình. H58 Hình 58. Liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc (3). Hai điểm A, B chuyển động tự do trong không gian. Đường thẳng d đi qua A, B do vậy cũng chuyển động tự do trong không gian và luôn vuông góc với hai mặt phẳng P, Q. H59 Hình 59. Liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc (4). Mặt phẳng P xác định bởi 3 điểm X, Y, Z chuyển động tự do trong không gian. Hai đường thẳng a, b đi qua A, B và luôn vuông góc với P. Dịch chuyển A, B và các điểm X, Y, Z để quan sát. H60 Hình 60. Liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc (5). Đường thẳng b có thể dịch chuyển bất kỳ tròn không gian và được xác định bởi 2 điểm B, B’ chuyển động tự do trong không gian. Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Điểm A’ chuyển động sao cho đường thẳng a luôn vuông góc với b. Mặt phẳng P đi qua một điểm điều khiển (màu đỏ) và luôn vuông góc với b. Dịch chuyển B, B’, A, A’ và P để quan sát sự chuyển động trên màn hình. H61 Hình 61. Minh họa cho ví dụ Trong hình vẽ trên SA luôn vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC. SB vuông góc với BC. AH là đường cao của tam giác SAB. H62 Hình 62. Phép chiếu vuông góc Các điểm M, N, K chuyển động tự do trong không gian. M’, N’, K’ là hình chiếu vuông góc của các điểm M, N, K lên mặt phẳng P. H63 Hình 63. Định lý 3 đường vuông góc Hai điểm A, B chuyển động tự do trong không gian. Điểm M chuyển động tự do trong mặt phẳng P. Dùng chuột dịch chuyển các điểm A, B, M để quan sát sự thay đổi của các đường thẳng a, b, a’. Các đường thẳng a, b luôn vuông góc với nhau. H64 Hình 64. Mặt phẳng trung trực Các điểm A, B chuyển động tự do trong không gian. M chuyển động tự do trong mặt phẳng P là trung trực của đoạn thẳng AB. H65 Hình 65. Phép đối xứng qua một mặt phẳng Điểm M chuyển động tự do trong không gian. Có thể dịch chuyển mặt phẳng P theo phương thẳng đứng bởi điểm màu đỏ. Cho điểm M hoặc P chuyển động và quan sát hoạt động của phép đổi xứng qua mặt phẳng. H66 Hình 66. Phép đối xứng qua mặt phẳng của tứ diện ABCD. Tứ diện ABCD được xây dựng từ 4 điểm A, B, C, D chuyển động tự do trong không gian. Các điểm A’, B’, C’, D’ là đối xứng của A, B, C, D qua mặt phẳng P. Có thể cho P chuyển động thẳng đứng bởi một điểm điều khiển (màu đỏ). Điểm M chuyển động trên cạnh AC. M’ là đối xứng của M qua P và nằm trên cạnh A’C’. Trên hình hiện rõ các đường thẳng vuông góc với P đi qua các đỉnh của tứ diện ABCD để dễ dàng quan sát khi dịch chuyển các điểm A, B, C, D trong không gian. Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc Hình Thể hiện Mô tả ngắn H67 Hình 67. Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc. Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Đường thẳng a luôn đi qua A và vuông góc với mặt phẳng Q. Mặt phẳng P đi qua a và một điểm trên Q. Đường thẳng B đi qua điểm B và vuông góc với P. Dịch chuyển A, B và điểm (màu đỏ) trên C để quan sát hình vẽ. H68 Hình 68. Minh họa cho định lý 1. Mặt phẳng nằm ngang Q được xác định bởi 3 điểm X, Y, Z chuyển động tự do trong không gian. Mặt phẳng P luôn đi qua 2 điểm M, N chuyển động tự do trong không gian và vuông góc với Q. Điểm A chuyển động tự do trong P và đường thẳng a đi qua A và vuông góc với Q. H69 Hình 69. Minh họa cho định lý 2. Mặt phẳng nằm ngang Q được xác định bởi 3 điểm X, Y, Z chuyển động tự do trong không gian. Mặt phẳng P luôn đi qua 2 điểm M, N chuyển động tự do trong không gian và vuông góc với Q. Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Đường thẳng a luôn đi qua A và vuông góc với Q. Dịch chuyển A theo phương nằm ngang cho đến khi A đi qua P và quan sát a để minh họa cho tính đúng đắn của định lý. H70 Hình 70. Minh họa cho định lý 3. Các mặt phẳng P, Q được xác định bởi 2 điểm chuyển động tự do trên mặt phẳng nằm ngang (màu xanh) và luôn vuông góc với mặt phẳng nằm ngang. Dịch chuyển các điểm này để quan sát sự thay đổi của P, Q. Khi hai mặt phẳng này cắt nhau, giao của chúng luôn vuông góc với mặt phẳng nằm ngang. H71 Hình 71. Minh họa cho định lý 4. Mặt phẳng Q xác định bởi 2 điểm chuyển động tự do trong không gian và luôn vuông góc với mặt phẳng P. Đuờng thẳng a đi qua 2 điểm tự do này. Điểm O chuyển động trên đường thẳng a. H72a Hình 72a. Hình lăng trụ. Điểm A có thể chuyển động tự do theo chiều ngang cũng như thẳng đứng. Các đỉnh khác của mặt trên hình lăng trụ có thể chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang. Các cạnh bên hình lăng trụ luôn song song với đường thẳng l. H72b Hình 72b. Hình lăng trụ đứng. Điểm A có thể chuyển động tự do theo chiều ngang cũng như thẳng đứng. Các đỉnh khác của mặt trên hình lăng trụ có thể chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang. H72c Hình 72c. Hình lăng trụ đều. Tâm O của mặt trên hình lăng trụ có thể chuyển động theo chiều ngang và chiều thẳng đứng. H73 Hình 73. Hình hộp Hình bên trái là hình hộp chữ nhật, có thể dịch chuyển hai điểm A, B để quan sát. Hình bên phải là hình lập phương được xác định bởi tâm O và các đỉnh của hình hộp này. H74 Hình 74. Hình chóp đều. Đáy hình chóp đều là một đa giác đều xác định bởi tâm H và các đỉnh. Điểm S có thể dịch chuyển theo phương thẳng đứng. H75 Hình 75. Hình chóp cụt đều. Đáy hình chóp cụt đều là một đa giác đều xác định bởi tâm O và các đỉnh. Tâm O’ của mặt trên có thể chuyển động theo phương thẳng đứng. H76 Hình 76. Minh họa cho ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại C. Mặt phẳng SAC luôn vuông góc với mặt phẳng ABC. Tam giác SAC là đều. Các điểm H, I là trung điểm của AC và SC. Chỉ có thể dịch chuyển các điểm A, B, C trên mặt phẳng (màu xanh). H77 Hình 77. Minh họa cho ví dụ 2. SABCD là hình chóp tứ giác đều. ABCD là hình vuông. S chỉ có thể chuyển động theo phương thẳng đứng. Muốn dịch chuyển và thay đổi hình vuông đáy hãy nháy và rê chuột tại tâm O hoặc tại các đỉnh của hình vuông này. Bài 4. Khoảng cách Hình Thể hiện Mô tả ngắn H78 Hình 78. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng. Đường thẳng a xác định bởi 2 điểm chuyển động tự do trong không gian là M và N. Điểm O cũng có thể chuyển động tự do trong không gian. Trên hình vẽ thể hiện khoảng cách từ O đến đường thẳng a. H79 Hình 79. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Điểm O chuyển động tự do trong không gian. Điểm M chuyển động tự do trên mặt phẳng P. H80 Hình 80. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Đường thẳng a luôn song song với mặt phẳng P. Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Điểm B chuyển động tự do theo phương nằm ngang. H81 Hình 81. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Ba điểm A, B, C chuyển động tự do trên mặt phẳng P. H82 Hình 82. Minh họa cho định lý về đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng trong không gian. Hai đường thẳng a, b xác định bởi các điểm A, A’ và B, B’ đều có thể chuyển động tự do trong không gian. Đường vuông góc chung MN được xác định một cách duy nhất giữa chúng. H83 Hình 83. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Các đường thẳng a, b có thể chuyển động tự do trong không gian. Các điểm M, N được xác định duy nhất. H84 Hình 84. Minh họa cho việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Các đường thẳng a, b có thể chuyển động tự do trong không gian. Các điểm M, N được xác định duy nhất theo cách dựng của SGK. H85 Hình 85. Minh họa cho ví dụ 1. Các đoạn thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và bằng nhau. H86 Hình 86. Minh họa cho ví dụ 2. Đáy ABCD luôn là hình vuông. SA vuông góc với đáy. Bài 5. Góc Hình Thể hiện Mô tả ngắn H87 Hình 87. Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng a, b chuyển động tự do trong không gian, mỗi đường xác định bởi hai điểm tự do. Từ điểm