Lý thuyết toán học

LÝ THUYẾT TOÁN HỌC ------------------------ Phần 1: Định lí Ta lét. Đoạn thẳng tỉ lệ. Định nghĩa. AB, CD tỉ lệ với A’B’, C’D’ hay Tính chất. Định lí Ta lét thuận. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau. . . . Định lí Ta lét đảo. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Hệ quả của định lí Ta lét. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Chú ý: Hệ quả này vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dày của hai cạnh còn lại. . . Phần 2: Tính chất của đường phân giác. Định lí 1. Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hại cạnh kề của hai đoạn ấy. Chú ý: Định lí này vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác. a. b. Định lí 2 (định lí thuận). Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Nghĩa là khoảng cách từ điểm nằm trên tia phân giác đến hai cạnh là bằng nhau. Định lí 3 (định lí đảo). Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó là tia phân giác của góc đó. Tính chất ba đường phân giác. Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Giao điểm ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Phần 3: Tam giác đồng dạng. Tam giác đồng dạng. Định nghĩa: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ nếu: Định lí. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Chú ý: Định lí vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài của hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. . Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác. Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng. Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. Tam giác vuông này có hai cạnh góc góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng: . Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng: . Phần 4: Tứ giác. Tứ giác. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. Tổng các góc của tứ giác bằng 3600. Cần nhớ: Các cạnh kề nhau, đối nhau; các góc kề nhau, đối nhau. Hình thang. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau. Có những hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không là hình thang cân. Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Đường trung bình của tam. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Đường trung bình của hình thang. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Hình bình hành. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Trong hình hình bình hành: Các cạnh đối bằng nhau. Các góc đối bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(0=nhau) . Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Hình chữ nhật. Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(= nhau). Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Hình thoi. Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Trong hình thoi: Các cạnh đối bằng nhau. Các góc đối bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(0=nhau) . Hai đường chéo vuông góc với nhau. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Dấu hiệu nhận biết. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. Hình bình hành có một đường chéo là các đường phân giác của một góc là hình thoi. Hình vuông. Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau. Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông. Dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. Phần 5. Đường tròn. Qua ba điểm không thẳng hàng, ta chỉ vẽ được một và chỉ một đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác. Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó. Đường kính là dây cung lớn nhất. Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm dây cung ấy và ngược lại. Hai dây cung bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. Dây cung nào lớn hơn thì dây cung đó gần tâm hơn và ngược lại. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán đi qua tiếp điểm. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến và cũng là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. Hai đường tròn có ba vị trí tương đối. Hai đường tròn có hai điểm chung đgl hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó đgl là hai tiếp điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây chung. Hai đường tròn chỉ có một điểm chung đgl hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó đgl tiếp điểm. Hai đường tròn không có điểm chung đgl hai đường tròn không giao nhau. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối hai tâm. Vị trí tương đối của hai đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O’;r)(R>t) Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữa OO’ với R và r Hai đường tròn cắt nhau 2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau: Tiếp xúc ngoài Tiếp xúc trong 1 1 OO’=R+r OO’=R-r >0 Hai đường tròn không giao nhau: (O) và (O’) ở ngoài nhau (O) đựng (O’) Đặc biệt (O) và (O’) đồng tâm 0 0 OO’>R+r OO’<R=r OO’=0 Phần 6: Tam giác. Tam giác: Cần nhớ: Đường cao AH đi qua đỉnh A và vuông góc với cạnh BC tại H. Diện tích tam giác bằng đường cao nhân cạnh tương ứng. Quy ước: BC=a, AC=b, AB=c. là nửa chu vi. r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A. Diện tích tam giác (công thức Hê - rông). . B. Định lí côsin: C. Định lí sin: Tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A Quy ước: AC=b, AB=c, BC=a, CH=b’, BH=c’, AH=h. HC là hình chiếu vuông góc của AC lên BC. HB là hình chiếu vuông góc của AB lên BC. A. Các hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông. hay hoặc . B. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Cạnh huyền Cạnh đối của góc C Cạnh kề của góc C C. Đường trung tuyến trong tam giác vuông. Gọi M là trung điểm cạnh huyền BC . Khi đó AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Ta có các tính chất sau đây: MC=MB. (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một phần hai cạnh huyền) (M cách đều ba điểm A, B, C.) D. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông. Vì M cách đều ba điểm A, B, C nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC. Như vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính là trung điểm cạnh huyền. Hay tâm của tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền. Đường trung bình của tam giác: Gọi M trung điểm AC, N là trung điểm AB. Khi đó MN là đường trung bình của tam giác ABC. Ta có các tính chất sau đây: MN song song với BC và . Định lí Ta – lét thuận và đảo. Chú ý: Trong định lí Ta – lét chỉ cần MN//BC không cần M, N là trung điểm AC, AB. Tam giác cân. Tam giác ABC cân tại A có các tính chất sau: Hai cạnh bằng nhau: AB=AC. Hai góc bằng nhau: . Gọi M là trung điểm BC khi đó AM là đường trung tuyến. Đặc biệt: AM cũng là đường cao, là đường trung trực, là đường phân giác. - Đặc biệt: Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều. Trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M trung điểm BC, N trung điểm AB. Gọi G là giao điểm của AM và CN. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC. Cần nhớ: Trọng tâm G của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Tam giác đều. Tam giác đều ABC có các tính chất sau đây: Ba cạnh bằng nhau: AB=AC=BC. Ba góc bằng 600: . Gọi M là trung điểm BC. Khi đó AM là đường trung tuyến và cũng là đường cao, đường trung trực, đường phân giác. - G là trọng tâm và . Đặc biệt: G cũng là trực tâm của tam giác ABC. G cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường cao: (đường cao bằng cạnh nhân chia 2) Diện tích: (diện tích bằng cạnh bình phương nhân chia 4) Diện tích: . 7. Hình bình hành. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Ta có các tính chất sau đây: Các cạnh đối song song và bằng nhau: . Các góc đối bằng nhau: . Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: . Kẻ AH vuông góc CD khi đó AH là chiều cao. Diện tích: Chú ý: Trong hình bình hành: Hai đường chéo không bằng nhau và không vuông góc với nhau. Hình chữ nhật. Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Ta có các tính chất sau đây: Các cạnh đối song song và bằng nhau: . Bốn góc bằng 900: . Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: . O là tâm của hình chữ nhật. Diện tích: . Chú ý: Trong hình chữ nhật hai đường chéo không vuông góc với nhau. Hình thoi. Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Ta có các tính chất sau đây: Các cạnh đối song song với nhau: . Bốn cạnh bằng nhau: AB=BC=CD=AD. Các góc đối bằng nhau: . Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: . Hai đường chéo vuông góc với nhau: . Hai đường chéo là đường phân giác của các góc của hình thoi. - Diện tích: Chú ý: Hai đường chéo không bằng nhau. Vì cân tại B nên nếu góc thì là tam giác đều và . 10. Hình vuông. Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau. Ta có các tính chất sau đây: Các cạnh đối song song với nhau: . Bốn cạnh bằng nhau: AB=BC=CD=AD. Bốn góc bằng 900: . Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: . Hai đường chéo vuông góc với nhau: . Diện tích: hoặc . Đường chéo: (cạnh nhân ). 11. Hình thang. - Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. - Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau. Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau. - Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên. Đường trung bình bằng một phần hai tổng hai đáy. - Diện tích hình thang: 12. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. - Đường trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai điểm A, B. - Ngược lại tập hợp tất cả các điểm cách đều hai điểm A, B sẽ thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB. - Đường trung trực d vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB: 13. Đường tròn: - Chu vi đường tròn: C. - Diện tích hình tròn: S=. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) --------------------------- Bài 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian. 1. Có một và chỉ một đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B cho trước. 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng A, B, C hàng cho trước. 3. Tồn tại 4 điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. 4. Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Cần nhớ: Đường thẳng chứa các điểm chung của hai mặt phẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng. 5. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của mặt phẳng thì mọi điểm thuộc đường thẳng đó đều nằm trên mặt phẳng đó. 6. Trong mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng. II. Các cách xác định mặt phẳng. Có ba cách xác định một phẳng. 1. Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Kí hiệu: mp(ABC). 2. Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó. Kí hiệu: mp(A,a). 3. Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau. Kí hiệu: mp(a,b). III. Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta đi tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN I. Ví trí tường đối của hai đường thẳng phân biệt. 1. Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. 2. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. 3. Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. II. Hai đường thẳng song song. 1. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. 2. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. III. Phương pháp chứng hai đường thẳng song song với nhau. Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rối áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng. Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. Bài 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) có ba trường hợp xãy ra như sau. 1. a chứa trong (P). Kí hiệu: . 2. a cắt (P) tại điểm A. Kí hiệu: . 3. a song song với (P). Kí hiệu: . Cần nhớ: Đường thẳng chứa trong mặt phẳng thì mọi điểm thuộc đường thẳng đều thuộc mặt phẳng. Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm duy nhất. Đường thẳng song song với mặt phẳng thì đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung. II. Điều kiện để một đường thẳng song song với mặt phẳng. 1. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với mặt phẳng (P). Hay một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mp thì nó song song với mặt phẳng đó. 2. Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì giao tuyến b của (P) và (Q) sẽ song song với a. 3. Nếu một đường thẳng song song với một phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng. III. Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng. Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong mp. Bài 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. I. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) xãy ra hai trường hợp sau: 1. (P) và (Q) cắt nhau. (hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng). 2. (P) song song với (Q). (hai mặt phẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung). III. Điều kiện hai mặt phẳng song song với nhau: 1. Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng song song với mp(Q) thì (P) song song với (Q). 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. 3. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì có duy nhất một phẳng (Q) chứa a và song song với (P). 4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau. Bài 5: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. 1. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng. 2. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a, b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P). Hay một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó. 3. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì vuông góc với cạnh thứ 3. 4. Qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. 5. Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. 6. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Hay mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A và B. 7. Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này cũng vuông góc với đường thẳng kia. 8. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. 9. Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mp này cũng vuông góc với mp kia. 10. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 11. Đường thẳng a song song với (P). Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a. 12. Cho đường thẳng a không chứa trong mp(P). Nếu a và (P) cùng vuông góc với đường thẳng b thì a và (P) song song với nhau. Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mp(P) là a’. Khi ấy đường thẳng b nằm trong (P) vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’ hay Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) chính là góc giữa a và hình chiếu vuông góc của a lên (P). Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng 900. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 900. Bài 6: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I. Góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. II. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng. Gọi là góc giữa (P) và (Q). Trường hợp 1: (P)//(Q) hoặc (P)(Q): =00. Trường hợp 2: (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Khi góc góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với d. Cần nhớ: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với gaio tuyến. III. Hai mặt phẳng vuông góc. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi. Như vậy: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta đi chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia hoặc ngược lại. Bài 7: KHOẢNG CÁCH – GÓC. 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900. 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). Bài 8: Hình lăng trụ. Hình lăng trụ có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Các mặt bên là các hình bình hành. Các cạnh đáy song song với nhau. Các cạnh bên song song với nhau và bằng nhau. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc mặt đáy. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Hình hộp đứng là hình hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình lập phương là hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông. Hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’: Hai đáy là hai tam giác ABC, A’B’C’ bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Các cạnh đáy song song với nhau. Các mặt bên là là các hình bình hành: AA’B’B, AA’C’C, BB’C’C. Các cạnh bên song song với nhau và bằng nhau. Thể tích: với A’H là chiều cao và là diện tích mặt đáy. Cần nhớ: Cạnh bên không vuông góc mặt đáy. Hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’. Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ bằng nhau và cùng vuông góc hai mặt đáy. Độ dài cạnh bên cũng là chiều cao của hình lăng trụ. Hai đáy là hai tam giác ABC, A’B’C’ bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Các mặt bên là là các hình bình hành: AA’B’B, AA’C’C, BB’C’C. - Các mặt bên vuông góc với mặt đáy. Các cạnh bên song song với nhau và = nhau. Thể tích khối lăng trụ: Cần nhớ: Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều gọi là lt đều. Hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Hai đáy là hai tứ giác ABCD, A’B’C’D bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Các cạnh đáy song song với nhau. Các mặt bên là là các hình bình hành: Các cạnh bên song song với nhau và bằng nhau. Thể tích: với AH là chiều cao và là diện tích mặt đáy. Cần nhớ: Cạnh bên không vuông góc mặt đáy. Hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’. Hai đáy là hai tứ giác ABCD, A’B’C’D bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Các cạnh đáy song song với nhau. Các mặt bên là các hình bình hành cùng vuông góc với mặt đáy. Các cạnh bên vuông góc với mặt đáy song song với nhau và bằng nhau. Cạnh bên cũng là chiều cao. Thể tích: Cần nhớ: Hình lăng trụ đứng có đáy là tứ giác đều gọi là lt đều. Hình hộp chữ nhật. Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữa nhật. Tất cả các mặt là hình chữ nhật. Các mặt bên vuông góc với mặt đáy. Các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, song song với nhau và