Kỳ thi vào lớp 10 chuyên lam sơn năm học 2012 - 2013 môn thi : toán

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN (Đề gồm có 01 trang) (Môn chung cho tất cảc thí sinh) Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17 tháng 6 năm 2012 Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức : , (Với a > 0 , a ¹1) 1. Chứng minh rằng : 2. Tìm giá trị của a để P = a Câu 2 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt 2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 1. Giải phơng trình khi m = 4 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. CD là đờng kính của (I). Chứng minh rằng: 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng 2. Tam giác COD là tam giác cân 3. Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O) Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : Chứng minh rằng : BÀI GIẢI CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 1. Chứng minh rằng : (ĐPCM) 1.0 2. Tìm giá trị của a để P = a. P = a => . Ta có 1 + 1 + (-2) = 0, nên phương trình có 2 nghiệm a1 = -1 < 0 (không thoả mãn điều kiện) - Loại a2 = (Thoả mãn điều kiện) Vậy a = 2 thì P = a 1.0 2 1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình x2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0 Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1 và x2 = Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = 1 => A (-1; 1) Với x2 = 3 => y2 = 32 = 9 => B (3; 9) Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B 1.0 2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ Theo công thức cộng diện tích ta có: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt) 1.0 3 1. Khi m = 4, ta có phương trình x2 + 8x + 12 = 0 có D’ = 16 – 12 = 4 > 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - 4 + 2 = - 2 và x2 = - 4 - 2 = - 6 1.0 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D’ > 0 => 2m – 4 > 0 => 2(m – 2) > 0 => m – 2 > 0 => m > 2 Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1.0 4 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng: Ta có MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) Þ MC ^ MO (1) Xét đường tròn (I) : Ta có Þ MC ^ MD (2) Từ (1) và (2) => MO // MD Þ MO và MD trùng nhau Þ O, M, D thẳng hàng 1.0 2. Tam giác COD là tam giác cân CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) Þ CA ^AB(3) Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại C Þ CA ^ CD(4) Từ (3) và (4) Þ CD // AB => (*) ( Hai góc so le trong) CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) Þ (**) Từ (*) và (**) Þ Þ Tam giác COD cân tại D 1.0 3. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đờng tròn (O) * Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H. Þ H Î (I) (Bài toán quỹ tích) DH kéo dài cắt AB tại K. Gọi N là giao điểm của CO và đường tròn (I) => Ta có tứ giác NHOK nội tiếp Vì có ( Cùng bù với góc DHN) Þ (5) * Ta có : (Cùng chắn cung NH của đường tròn (I)) Þ DDHN DCOB (g.g) Mà ÞDNHO DDHC (c.g.c) Þ Mà (5) Þ, Þ NK ^ AB Þ NK // AC Þ K là trung điểm của OA cố định Þ (ĐPCM) 1.0 5 Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dơng không âm thoả mãn : Chứng minh rằng : * C/M bổ đề: và . Thật vậy (Đúng) Þ ĐPCM Áp dụng 2 lần , ta có: * Ta có : , tương tự Ta có: Þ Ta chứng minh * Áp dụng Bổ đề trên ta có: Þ * Mà: Từ (3) và (4) Þ (2) Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 1.0