Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm 2011 môn Toán

Bài 6(7,0 điểm). Cho tamgiác ABCkhông cân tại Avà có các góc nABC, nACBlà

các góc nhọn. Xét một điểm Ddi động trêncạnh BCsao cho Dkhông trùng với B,

Cvà hình chiếu vuông góc của Atrên BC. Đường thẳng dvuông góc với BCtại D

cắt các đường thẳng ABvà ACtương ứng tại Evà F. Gọi M, Nvà Plần lượt là tâm

đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDEvà CDF. Chứng minh rằng bốn điểm

A, M, N, Pcùng nằm trên một đường tròn khi và chỉkhi đường thẳng d đi qua tâm

đường tròn nội tiếp tamgiác ABC.

pdf1 trang | Chia sẻ: quynhsim | Lượt xem: 367 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm 2011 môn Toán, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 12/01/2011 Bài 5 (7,0 điểm). Cho dãy số nguyên (an) xác định bởi 0 11, 1a a= = − và 16 5n n na a a 2− −= + với mọi n ≥ 2. Chứng minh rằng chia hết cho 2011. 2012 2010a − Bài 6 (7,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc nABC , nACB là các góc nhọn. Xét một điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B, C và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng d vuông góc với BC tại D cắt các đường thẳng AB và AC tương ứng tại E và F. Gọi M, N và P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 7 (6,0 điểm). Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức ( , ) n nP x y x xy y= + + không thể viết được dưới dạng ( , ) ( , ). ( , )P x y G x y H x y= , trong đó G(x, y) và H(x, y) là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng. ----------------------------HẾT--------------------------- • Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị không giải thích gì thêm.

File đính kèm:

  • pdfDe_Toan_HSG2011_Ngay2.pdf