Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2011-2012 môn : toán thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ DỰ BỊ (Đề thi có 1 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012 Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c . Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A =. Câu 3:(2,0 điểm ) Tính P = Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M. Tiếp tuyến tại C với (O) cắt AM tại I. Chứng minh IA = IM. Câu 5:(1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = Câu 6:(1,5điểm) Cho 2 số a,b sao cho . Chứng minh : Câu 7:(1,5điểm) Chứng minh : chia hết cho 84. Câu 8:(1,5điểm) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) cắt nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB. (). Chứng minh rằng : Câu 9:(1,5điểm) Giải phương trình : x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0 Câu 10:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC)có trung tuyến AM.Gọi số đo của góc ACB là . Số đo của góc AMB bằng . Chứng minh rằng: ( sin + cos)2 = 1 + sin Câu 11:(1,5điểm) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: . Tính giá trị của biểu thức: . Câu 12:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: . . . . . . . HẾT . . . . . . . -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : ...................................... Giám thị 1: .......................................Ký tên................... Số Báo danh ........................................... Giám thị 2: .......................................Ký tên................... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ VÀ THANG ĐIỂM Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca 0,5đ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 0,5đ (a – b) = (b – c) = (c – a) = 0 0,5đ a = b = c 0,5đ Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A = A = 0,5đ A = 0,5đ A= = 0,5đ A = = 0,5đ Câu 3:(2,0 điểm ): Tính P = P = 1đ P = = 1đ Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M. Tiếp tuyến tại C với (O) cắt AM tại I. Chứng minh IA = IM. Chứng minh được OIAC 0,5đ Chứng minh được OI//MB 0,5đ Chứng minh được I là trung điểm của AM 0,5đ IA=IM 0,5đ Câu 5:(1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = M = 0,5đ M 0,5đ giá trị nhỏ nhất của M là khi x=1/3 0,5đ Câu 6:(1,5điểm) Cho 2 số a,b sao cho . Chứng minh : (1) (1) 0,5đ 0,5đ (2) (2) đúng nên (1) đúng , dấu “ =” xảy ra khi a = b 0,5đ Câu 7:(1,5điểm) Chứng minh : chia hết cho 84. 0,5đ =.21 0,5đ = 0,5đ Câu 8:(1,5điểm) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r)cắt nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB. ().Chứng minh rằng : Vẽ O’C//AB =>ABO’C là hình chữ nhật => AB = O’C 0,25đ 0,5đ OO’ OO’2 < (R+r)2 0,25đ 0,5đ Câu 9:(1,5điểm) Giải phương trình x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0 x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*) 0,5đ Vì x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0 0,5đ (*)(x - 5)(x + 6) = 0 0,5đ Câu 10:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC) có trung tuyến AM.Gọi số đo của góc ACB là . Số đo của góc AMB bằng . Chứng minh rằng: ( sin + cos)2 = 1 + sin. Từ A vẽ AH BC Vì AB < AC nên HB < HC. Do đó H nằm giữa B và M Nên sin = = ( Vì AM = BC) 0,5đ Mặt khác: (sin = sin2+ cos2+ 2sin.cos = 1 + 2sin.cos Mà 2sincos = 2 = 2 0,5đ Do đó sin = 2sincos Vì vậy (sin = 1+ sin. 0,5đ Câu 11:(1,5điểm) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: . Tính giá trị của biểu thức: Ta có 0,25đ 0,5đ Tương tự : 0,25đ Khi đó 0,5đ Câu 12:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tai A có AB <AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: Chứng minh được đồng dạngDIFB 0,5đ (1) Chứng minh IE=IF (2) 0,5đ Từ (1,2) chứng minh được 0,5đ . . . . . . . HẾT . . . . . . . Ghi chú: Nếu học sinh giải đúng bằng cách khác thì giám khảo căn cứ biểu điểm để cho điểm tương ứng.