Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 năm học 2011- 2012 môn: toán thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề này có 01 trang) ---------- ĐỀ BÀI Câu 1.(3 điểm). Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất . Câu 2.(4 điểm). a) Giải phương trình sau: b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: xy + yz + zx = 2011. Tính giá trị biểu thức: Q = Câu 3. (3 điểm). Giải các phương trình, hệ phương trình sau: a) b) Câu 4. (6 điểm). Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB( M không trùng với O và B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N. a) Tính góc BND, từ đó suy ra 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: C, M, N thẳng hàng. c) Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất? Câu 5.(4 điểm). Cho x 1, y 1. Chứng minh: Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn là số nguyên. Chứng minh rằng: Ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn . ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 a) ĐK: x>0, x≠4, x≠9. 0,25 Ta có: 0,5 0,25 0,5 b) (Vì x>0) ⇔x<4 0,25 Kết hợp với điều kiện đầu ta có: x∈{1, 2, 3} thì P<0 0,25 c) 0,25 Áp dông B§T Cosi ta cã: Þ Hay 0,25 Dấu “=” xảy ra khi 0,25 Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi 0,25 2 a) Điều kiện: 0,25 Đặt Theo bài ta có: giải hệ ta tìm được u=v=1 0.5 1 Thay u vav tìm được vào (*) ta được x = 0. 0,25 b) Ta có: 2011+ y2= y2+ xy + yz + zx = (x+y)(y+z); (4) 2011+ z2= z2+ xy + yz + zx = (x+z)(y+z); (5) 2011+ x2= x2+ xy + yz + zx = (x+y)(x+z) (6) 1,5 Thay (4), (5), (6) vào Q ta được: Q = 2(xy + yz + zx )= 2.2011= 4022 0,5 3 a) (x≥-1) 0,25 ⇔ 0,25 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={0; 1} 0,25 b) Ta có x + y + z =9 91 = (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy+yz+zx) 0,5 0,5 Do đó: Vậy: x = y = z = 3 0,75 0,25 4 a) Vẽ hình đúng, đẹp 0,5 Ta có: (Cùng chắn cung BM) (Cùng chắn cung DM) 1 ⇒ Do đó: 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn 0,5 0,5 b) Ta có: NC là phân giác của góc BND 0,75 Mặt khác theo chứng minh trên ta có NM là phân giác của góc BND Nên M, N, C thẳng hàng 0,75 c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên AC và BD ⇒ NHOK là hình chữ nhật 0,5 Ta có: NA.NC=NH.AC=NH.a NB.ND=NK.BD=NK.a Suy ra: NA.NB.NC.ND=2a2.NH.NK 0,25 0,25 1 Dấu “=” xảy ra khi NH = NK= 0,5 5 a) Ta cã: V× x 1, y 1 => xy – 1 0, (x – y)2 0 Do ®ã (*) ®óng. VËy 0.5 0.5 0.5 0.5 b) Gọi ƯCLN(a, b)=dm2; n2; mn cùng chia hết cho d2 0,5 Do là số nguyên nên m2+ n2+ m+n cũng chia hết cho d2 1 Suy ra: m+n chia hết cho d2m+n≥d2(đpcm) 0,5