Kiểm tra học kì II môn: Toán – lớp 12

kiểm tra học kì II, năm học 2007-2008 Môn: Toán – lớp 12. Thời gian: 150 phút. (không kể thời gian phát đề). ---------------------------------------------------------------------------- Đề bài Bài 1. (3,5 điểm). Cho hàm số y = x3 -3x2 + mx Định m để hàm số đạt cực trị tại x = 2. Khảo sát hàm số khi m = 0. Gọi (C) là đồ thị hàm số. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 -3x2 -k = 0. Bài 2. (1,5 điểm) a) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x = 0; x = . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. b) Tính I = . Bài 3. (1,0 điểm) Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x + y)15. Bài 4. (1,5 điểm) Cho hypebol (H): và đường thẳng (D): x -y -2 = 0. Chứng minh rằng (D) luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt. Tìm điểm C thuộc (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4. Bài 5. (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng D1 : và D2: . a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2. b) Cho điểm M(-2; 1 ; 0). Xác định điểm H thuộc đường thẳng D1 sao cho độ dài MH nhỏ nhất. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2. ------------------------------------------------------------------------- ĐáP áN Và hướng dẫn chấm đề kiểm tra học kì II môn toán 12, năm học 2007-2008 Bài Đáp án Biểu điểm Bài1 a) TXĐ : D=R Y’= 3x2 -6x +m Hàm số đạt cực trị tại x=2 ị y’(2)= 0 Û 12 -12 +m= 0 Û m=0 Khi m=0 hàm số trở thành y= x3- 3x Xét y’= 3x3 -6x, y’’= 6x -6 y’(2)= 12 -12 =0, y’’(2)= 12 -6 =6 > 0 ị x=2 là điểm cực tiểu Vậy khi x=2 thì hàm số đạt cực trị tại m = 0 b) Khi m= 0 hàm số trở thành y= x3 - 3x2 * Tập xác định: D=R * Sự biến thiên + y’ = 3x2-6x y’=0 Û 3x2-6x=0Ûx = 0 hoặc x = 2 + Giới hạn: , + Bảng biến thiên x 0 2 y' + 0 - 0 + y 0 -4 Hàm số đồng biến trên hai khoảng (; 0) và (2; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại tại x=0 ; yCĐ=0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; yCT= -4 + y’’= 6x -6, y’’=0 ị 6x -6 =0 Û x=1ị y= -2 Bảng xét dấu y’’: x 1 y’’ - 0 + ĐTHS lồi điểm uốn lõm I(1; -2) * Đồ thị: Cho x= -1ị y= -4 x= 3 ị y=0 Đồ thị qua các điểm (-1; -4), (3; 0) c) x3 - 3x2 -k =0 Û x3 - 3x2 =k (1) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: (C): y= x3- 3x2 (d): y= k Đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành và đi qua điểm (0;k). Số giao điểm của (d) và (C) là số nghiệm của phương trình đã cho. Dựa vào đồ thị: + Khi k 0 thì (d) và (C) có một điểm chung suy ra phương trình đã cho có một nghiệm. + Khi k= -4 hoặc k = 0 thì (d) và (C) có hai điểm chung suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm. + Khi -4 < k < 0 thì (d) và (C) có ba điểm chung suy ra phương trình đã cho có ba nghiệm. Bài2 a) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm: V = p = = = (đvtt) b) Đặt ị Suy ra I = - = ln2 - Bài3 Số hạng thứ (k+1) trong khai triển (x3 +xy)15 là Tk+1 = (k = 0, 1 ,, 15) = Hệ số của x25y10 ứng với Û k = 10 Vậy hệ số của x25y10 là = 3003 Bài 4 a) Toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và Hypabol (H) là là nghiệm của hệ phương trình: Từ (2) ta suy ra: y = x- 2 thay vào (1) ta được: x2 + 4x -12 = 0 Û x = 0 hoặc x = -6 Với x = 0 thì y = 0, ta có A(2; 0) Với x = -6 thì y = -8, ta có B(-6; -8) Khi đó AB = 8 b) Gọi C(x;y) ẻ (H) thì d(C,D) = Û Û Vì C ẻ (H) nên có pt: 2x2 - y2 = 8 Với y = x - 3 thì x2 + 6x - 17 = 0 Û Với y = x - 1 thì x2 + 2x - 9 = 0 Û Vậy có 4 điểm cần tìm: ; ; Bài 5 a) Đường thẳng D1 có VTCP: và D1 đi qua A(0; 1; 2) Đường thẳng D2 có VTCP: và D2 đi qua B(2; 1; 1) Khi đó VTPT của mp(P) là: = (13; 5 ; -4) Phương trình mặt phẳng (P) là: 13x + 5y -4z + 3 = 0 b) Vì Hẻ D2 nên H(2+t; 1-t; 1+2t) và =(4+t; -t; 1+2t) MH nhỏ nhấtÛ MH ^ D2 Û. 2= 0 Û 4 +t +t + 2(2t+1) = 0 Û 6t + 6=0 Û t= -1 Khi đó: H(1; 2; -1) c) d(D1 , D2) = Mà = (2; 0; -1) ị13.2 + (-4)(-1) = 30 Do đó: d(D1 , D2) = =