Hình học phẳng ôn thi Đại học

HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC biết , phương trình đường cao (BH): , Phương trình đường phân giác (CD). Tìm toạ độ 2 điểm B, C Trong maët phaúng Oxy, cho ñöôøng troøn (C): . Moät ñöôøng troøn (C') tieáp xuùc vôùi Oy vaø tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C). Tìm taâm cuûa (C') bieát taâm thuoäc ñöôøng thaúng (d): . ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: và phân giác trong CD . Viết phương trình đường thẳng BC HD: Điểm . Suy ra trung điểm M của AC là . Điểm Từ A(1;2), kẻ tại I (điểm ). Suy ra . Tọa độ điểm I thỏa hệ: . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của . Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D. Ta có: . Phương trình của AB là: . . I là trung điểm của AC và BD nên ta có: Mặt khác: (CH: chiều cao) Ngoài ra: Vậy tọa độ của C và D là hoặc Trªn Oxy cho Elip biÕt h×nh ch÷ nhËt c¬ së c¾t Ox t¹i A, A’, c¾t Oy t¹i B, B’. LËp ph­¬ng tr×nh Elip biÕt diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ cã diÖn tÝch b»ng . HD: . gt: DiÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ b»ng Þ b¸n kÝnh ®­êng trßn r = 2 . O lµ t©m h×nh trßn, kÎ OK ^ AB’ Þ r = OK = 2 .XÐt tam gi¸c vu«ng OAB’ ta cã: (1) A’ A B’ B O K . Tõ gt: (2) . a2 vµ b2 ®­îc t×m tõ hÖ (1); (2) VËy ElÝp tho¶ yªu cÇu bµi to¸n co pt lµ: Trªn Oxy cho 2 ®­êng th¼ng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0. Gäi I lµ giao ®iÓm cña d1 vµ d2; A lµ ®iÓm thuéc d1, A cã hoµnh ®é d­¬ng kh¸c 1 (0 < xA 1). LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (r) ®i qua A, c¾t d2 t¹i B sao cho diÖn tÝch rIAB b»ng 6 vµ IB = 3IA I = d1 Ç d2 Þ t¹o ®é cña I lµ n0 cña hÖ VËy I(1; 1) I j A B IB=3TA Tõ gt d1 cã VTPT d2 cã VTPT Gäi j lµ gãc cña d1 vµ d2 Tõ gt: víi a > 0, a ¹ 1 lo¹i . pt a = 2 Þ A(2;3) * Víi A(2;3); B(4;5) pt cÇn t×m lµ Víi A(2;3); B(-2;7) pt cÇn t×m lµ Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có trung điểm cạnh là , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là . Đường cao của tam giác kẻ từ có phương trình: . Tìm tọa độ đỉnh . HD: AB đi qua M nhận làm vtpt nên có pt: Tọa độ A là nghiệm của hệ : là trung điểm của AB nên BC nhận làm vtcp nên có p t: Vậy Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có , đường phân giác trong góc có phương trình:. Trọng tâm tam giác là .Viết phương trình đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của B trên Gọi M là điểm đối xứng của B qua Vậy Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . HD: Gọi d là ĐT cần tìm và là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: . Theo giả thiết, ta có: . Khi thì . Nên: . Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm . Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M và nhận làm tiêu điểm Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình theo một dây cung có độ dài bằng 8 HD : G/s một véc tơ pháp tuyến của d là ,vì d đi qua điểm A(1;2) nên d có phương trình d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 hay d: ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3. · a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 · a = : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0. HD: (C1): có tâm , bán kính R1 = 2. (C2): có tâm , bán kính R2 = 1. Ta có: Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1) Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy * Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ta có: Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 và điểm M( 1; - 8).Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C) tại hai điểm A,B phân biệt mà diện tích tam giác ABI đạt giá trị lớn nhất.Với I là tâm của đường tròn (C). §trßn (C) cã t©m I(- 2; 3) & b¸n kÝnh R = 2. Gi¶ sö pt®t (d) : Ax + By – A + 8B = 0 víi A2 + B2 > 0 Lu«n cã DBIA c©n t¹i I víi IA = IB = 2 ; SDBIA = IA.IB.sinAIB = 2sinAIB SDBIA £ 2 DÊu = khi DAIB vu«ng c©n t¹i I hay d(I ; (d)) = ó ó 7A2 – 66BA + 119B2 = 0 ó (A – 7B)(7A – 17B) = 0 VËy cã hai ®­êng th¼ng d tho¶ m·n: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0 Cho A(1 ; 4) và hai đường thẳng b : x + y – 3 = 0 ; c : x + y – 9 = 0. Tìm điểm B trên b , điểm C trên c sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Gäi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) => (b - 1 ; - 1 - b) ; (c - 1 ; 5 - c) & ABC vu«ng c©n t¹i A ó ó v× c = 1 kh«ng lµ n0 nªn hÖ ó Tõ (2) ó (b + 1)2 = (c - 1)2. Víi b = c – 2 thay vµo (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5). Víi b = - c thay vµo (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7). KÕt luËn :cã hai tam gi¸c tho¶ m·n: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoÆc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7). Trong hÖ to¹ ®é Oxy ®­êng th¼ng (d): x – y +1 =0 vµ ®­êng trßn (C):.T×m ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng (d) mµ qua M kÎ ®­îc hai ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi ®­êng trßn (C) t¹i A vµ B sao cho Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD biÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh BC:x + 2y - 4 = 0 ph­¬ng tr×nh ®­êng chÐo BD: 3x + y – 7 = 0,®­êng chÐo AC ®i qua M(-5;2).H·y t×m täa ®é c¸c ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x - 2y + 6 = 0; 4x + 7y – 21 = 0. viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng gốc tọa độ O Giả sử AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Vậy A(0;3) Đường cao đỉnh BO đi qua O nhận VTCP = (7; - 4) của AC làm VTPT Vây BO: 7x - 4y = 0 vậy B(-4;-7) A nằm trên Oy, vậy đường cao AO chính là trục OY, Vậy AC: y + 7 = 0 Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẽ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600. HD: (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2 M Î Oy Þ M(0;m) Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm) Vậy Vì MI là phân giác của (1) Û = 300 Û MI = 2R Û (2) Û = 600 Û MI = R Û Vô nghiệm Vậy có hai điểm M1(0;) và M2(0;-) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(8 ;6) và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12 Giả sử (d) đi qua A(8;6) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M(a;0), N(0;b) a,b khác 0.Khi đó (d) có phương trình . Vì (d) đi qua A nên (1) lại có (2). Từ (1) và (2) ta có hệ từ đó có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện là Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD .Biết rằng AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng đi qua M(), B, C thuộc đường thẳng đi qua N(0 ; 3), A,D thuộc đường thẳng đi qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng đi qua Q(6 ;2) HD : Phương trình AB có dạng: y = k(x + 4/3) + 1 DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky – 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0 Vì AB = 2BC nên d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC) Với k = 1/3 ta có phương trình các cạnh hình chữ nhật là: AB: Với k = -3/17 ta có phương trình các cạnh của hình chữ nhật là: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 I A H B Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH ⊥AB suy ra IH =4 Mặt khác IH= d( I; Δ ) Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0 vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0 d(I; Δ )= |c-9|5=4⇔c=29c=-11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình: và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB. HD: Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB A, B Î (H) : Þ M là trung điểm AB nên : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4) (1) - (2) ta có : 3(x2A - x2B) - 2(y2A - y2B) = 0 (5) Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0 Û 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 Û 3xA - yA = 5 Tương tự : 3xB - yB = 5. Vậy phương trình d : 3x - y - 5 = 0 Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C. HD: Ta có: . Phương trình của AB là: . . I là trung điểm của AC: Theo bài ra: Từ đó ta có 2 điểm C(-1;0) hoặc C() thoả mãn Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , ®Ønh C n»m trªn ®­êng th¼ng , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Ta cã . Khi ®ã täa ®é G lµ . §iÓm G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn , vËy , tøc lµ . Ta cã , vËy , , . DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ = Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 V× G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn G cã täa ®é . Khi ®ã , VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ = NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng . VËy , suy ra hoÆc . VËy cã hai ®iÓm G : . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn vµ . Víi ta cã , víi ta cã Trong mặt phẳng oxy cho có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích . +AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là AC có phương trình 3x + y - 7 = 0 + Tọa độ C là nghiệm của hệ C(4;- 5) +  ; M thuộc CM ta được + Giải hệ ta được B(-2 ;-3) Tính diện tích . + Tọa độ H là nghiệm của hệ . Tính được BH = ; AC = 2 Diện tích S = ( đvdt) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:, và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’. HD: Tâm I của đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t) Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có Giải tiếp được t = -3 Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn . Viết phương trình tiếp tuyến của , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng . Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là . Do đó: tiếp xúc (C) . KL: . Và : tiếp xúc (C) . KL: . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm , chân đường cao hạ từ đỉnh B là , trung điểm cạnh AB là .+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận làm vtpt và AC đi qua K nên Ta cũng dễ có: . + Do nên giả sử Mặt khác là trung điểm của AB nên ta có hệ: Suy ra: + Suy ra: , suy ra: . + Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận , suy ra: KL: Vậy : , Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và , đường thẳng (d) qua M có phương trình . + Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có: , Dễ thấy nên chọn . Kiểm tra điều kiện rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm A có hoành độ bằng 4. Gọi . (H) tiếp xúc với Từ (1) và (2) suy ra Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip (E): và parabol (P): y2 = 12x. Giả sử đường thẳng (D) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) (D) là tiếp tuyến của (E) Û 8A2 + 6B2 = C2 (1) (D) là tiếp tuyến của (P) Û 12B2 = 4AC Û 3B2 = AC (2) Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = -2A. Với C = -2A Þ A = B = 0 (loại) Với C = 4A Þ Þ Đường thẳng đã cho có phương trình: Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao , phân giác trong .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC + Do nờn AB: . Giải hệ: ta có (x; y)=(-4; 3). Do đó: . + Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ . - Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): . Gọi . Giải hệ: . Suy ra: I(-1; 3) + Phương trình BC: . Giải hệ: Suy ra: . + , . Suy ra: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng và . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Ta có: . Toạ độ của I là nghiệm của hệ: . Vậy Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD Suy ra M( 3; 0) Ta có: Theo giả thiết: Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận làm VTPT nên có PT: . Lại có: Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: hoặc . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) Do là trung điểm của AC suy ra: Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. +) AD = Þ AB = 2 Þ BD = 5. +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng . Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15. Gọi . Khi đó diện tích tam giác ABC là . Theo giả thiết ta có Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0 Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta cóvà diện tích tam giác ABC là Dấu bằng xảy ra khi . Vậy Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0) Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d). Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)2 = 2 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Tọa độ A là nghiệm của hệ Þ A(–4, 2) Vì G(–2, 0) là trọng tâm của DABC nên (1) Vì B(xB, yB) Î AB Û yB = –4xB – 14 (2); C(xC, yC) Î AC Û ( 3) Thế (2) và (3) vào (1) ta có Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho . Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại trung điểm H của đoạn AB. Ta có . Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B' Ta có: Ta có: và ; Ta có: Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43