Hình học không gian tổng hợp

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP. Bài 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 60o. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 30o cắt các cạnh SC, SD tương ứng tại M và N. Tính diện tích tứ giác ABMN và thể tích khối chóp S.ABMN theo a. Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy góc 60o. 1. Tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD). 2. Tính khoảng cách giữa AB và SC. 3. Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SCD). 4. Tính cosin của góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD). 5. Chứng minh rằng các đỉnh của hinh chóp cùng thuộc một mặt cầu. 6. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh chữ nhật và SA . Giả sử AB = a, AD = b, SA = c. (ABCD) 1. Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp được một mặt cầu. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu. 2. Giả sử h là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 b  . 1 1 h a c   3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). 4. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và BD. 5. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó. 6. Chứng minh rằng 4 điểm A, B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt phẳng.Tính diện tích tứ giác AB’C’D’ và tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ trong trường hợp b = a. Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi 1 2 3, ,   3 lần lượt là góc giữa các mặt phẳng SBC, SCA, SAB với mặt phẳng ABC; 1 2, ,   lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC với mặt phẳng ABC. Giả sử SA = a, SB = b, SC = c. Chứng minh rằng: 1. H là trực tâm của tam giác ABC. 2. . 2 2 2 2ABC SAB SBC SCAS S S S   3. . 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3cos cos cos 1,sin sin sin 1            4. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 5. Tính bán kính mặt cầu nội tứ diện. Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a. 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C. 2. Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số AM 3 MD  . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB’C. 3. Tính thể tích khối tứ diện AB’CD’. Bài 6. Cho hình lập phương ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D. Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh AA’ = a và . Tính độ dài đường chéo BD’ và góc giữa hai đường thẳng BD’, AC.  BAA ' DAA '   Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. 1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA’ và đỉnh C’ cùng thuộc một đường thẳng. Tính tỉ số AG AC' . 2. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BD, DD’, A’B’ sao cho BM DN A 'P BD DD' A 'B'   . Chứng minh rằng BD // (MNP). Bài 9. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC. Tính thể tích của khối chóp trong các trường hợp sau: 1. Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. 2. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy bằng  . 3. Cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng SA với mặt đáy bằng  . 4. Cạnh bên bằng b, góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy bằng  . 5. Cạnh đáy bằng a, góc BSC   . 6. Góc giữa đường thẳng SA với mặt đáy bằng  , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng h. Giả sử khoảng cách h không đổi, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của thể tích hình chóp. Bài 10. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. 1. Tính theo a thể tích của khối trụ, tính thể tích các khối chóp A’.ABC và A’BCC’B’. 2. Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng A’ACC’. 3. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B’C’. Bài 11. Cho hình nón có độ dài đường sinh là q và bán kính đường tròn đáy là a. 1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp mặt nón và diện tích mặt cầu nội tiếp mặt nón. 2. Giả sử bán kính đáy không đổi. Với điều kiện nào của đường sinh thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp mặt nón đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Giả sử độ dài đường sinh không đổi. Với điều kiện nào của bán kính đáy thì diện tích mặt cầu nội tiếp mặt nón đạt giá trị lớn nhất. Bài 12. Cho khối trụ tròn xoay có bán kính đường tròn đáy là R. Gọi AB, CD lần lượt là đường kính của hai đường tròn đáy. Giả sử ABCD là tứ diện đều. 1. Tính độ dài đường sinh của mặt trụ và cạnh tứ diện đều theo R. 2. Tính diện tích xung quanh và diện tích từng phần của mặt trụ. 3. Tính thể tích khối trụ. 4. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp mặt trụ. Tính thể tích khối cầu tương ứng. Bài 13. Một hình nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng h. Giả sử có một hình trụ bán kính đáy bằng r nội tiếp hình nón. 1. Tính diện tích xung quanh của hình trụ theo R, r, h. 2. Trong các hình trụ nội tiếp hình nón cho trước có bán kính đáy bằng R, chiều cao h, hãy tìm hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất. 3. Trong các khối trụ nội tiếp khối nón tròn xoay cho trước có bán kính đáy R, chiều cao h, hãy tìm khối trụ có thể tích lớn nhất. BÀI TẬP HHKG TRONG ĐỀ THI ĐH–CĐ TỪ 2002–2008. A–02. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các ác AMN, biết và B’D. D’, A’D’. Tính góc giữa hai trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam gi rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). B–02. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. 1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, C đường thẳng MP và C’N. D–02. Cho hình tứ diện ABCD có  AD ABC ;AC AD 4cm   ; AB = 3cm, BC = 5cm. oảng cách từ A đến mặt phTính kh ẳng (BCD). A–03. Cho hình lập phương ABCD ủa góc phẳng nhị diện  .A’B’C’D’. Tính số đo c B, A 'C, D . B–03. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD 60  . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác hình vuông. D–03. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng d. Trên d lấy hai điểm A, B B’MDN là với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với d và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. A–04. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết rằng A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S 0;0;2  phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. giữa cạnh bên và mặt đáy eo 2 . Gọi M là trung điểm SC. 1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. 2. Giả sử mặt B–04. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc bằng  0 90     . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) th  . Tính thể tích BCD theo a và khối chóp S.A  . D–04. g trụ ABC.A’B’C’ có A(a; 0; 0), B(–a; 0; 0), C(0; 1; 0), B’(–a; 0; b), a 0 , Cho hình lăn b 0 . 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ theo a và b. 2. Cho a và b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a , b để khoảng cách giữa mặt phẳng (BCC’B’). t phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ tại N. Tính độ dài đoạn MN. B’C và AC’ là lớn nhất. B–05. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ với A(0; –3; 0), B(4; 0; 0) C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). 1. Tìm tọa độ các đỉnh A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với 2. Gọi M là trung điểm A’B’. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC’. Mặ A–06. Cho hình trụ các các đáy là 2 hình tròn tâm O, O’; bán kính đáy bằng chiều cao của hình trụ. Trên đường tròn (O), lấy điểm A, trên đường tròn (O’) lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB. B–06. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a,AD a 2,SA a= = = và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trug điểm của AD, SC, I là giao điểm của BM và AC. CMR mp(SAC) vuông góc với mp(SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. D–06. Cho chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. A-07. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. CMR AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. 11.(DB5-02). Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = b, AD = c và    0BAC CAD DAB 60= = = . A–08. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC a 3= và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khốic chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. B–08. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với  BAD ABC 90    , AB = BC = a, S . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a. A (ABCD),SA 2a Bài: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB a 3= và mp(SAB) vuông góc với mp đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. D–08. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA ' a 2= . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. DB1A–06. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a,  0a 3AA ' ;BAD 60 2   . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’D’ và A’B’. CMR AC’ vuông góc với mp(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. DB2A-06. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 060 3 3 aAM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. DB1B-06. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chóp A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi là góc giữa 2 mp(ABC), (A’BC). Tính và thể tích của khối chóp A’.BB’C’C. a tana DB2B–06. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , SA vuông góc với đáy, SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mp(P) chứa AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.  0BAD 60= DB1D–06. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao. Khoảng cách từ trung điểm I của SH tới mặt bên là b. Tính thể tích khối chóp. DB2D–06. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho 2 3 aCK = . Mp đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện ấy. ( )a DB1A–07. Cho hình chóp S.ABC có (SBC);(ABC) 60  . ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). DB2A–07. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA ' 2a 5, BAC 120  .Gọi M là trung điểm của CC’. Chứng minh MB MA ' và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A’BM). DB1B–07. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. Cho AB a,SA a 2= = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. CMR SC vuông góc với mp(AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK. DB2B–07. Trong mp(P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm S sao cho  0(SAB,SBC) 60= . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. CMR tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC. DB1D–07. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB = AC = a, AA'=a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA’ và BC’. CMR MN là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng AA’ và BC’. Tính thể tích khối tú diện MA’BC’. DB1A–08. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của AB và SE = 2a. Gọi I, J là trung điểm của EC, SC, M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo  và a. Tìm để thể tích đó là lớn nhất.  ECM 90      DB2A–08. Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. AD SI DB1B–08. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC. DB2B–08. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau, hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC. DB1D–08. Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N , P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số AQ AD và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).