Góc và cung lượng giác

10-TRIGONOMETRY LEAD GÓC VÀ CUG LƯỢG GIÁC
Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O thì biểu diễn cho góc(cung) lượng giác 1 k+α π ( 1α một góc lượng giác nào đó xác định một trong hai điểm)
Ba điểm tạo thành tam giác đều thì biểu diễn cho góc(cung) lượng giác 2 2 3 k + π α ( 2α một góc lượng giác nào đó xác định một trong ba điểm).
Ba điểm tạo thành tam giác đều thì biểu diễn cho góc(cung) lượng giác 2 2 3 k + π α ( 2α một góc lượng giác nào đó xác định một trong ba điểm).
Bốn điểm tạo thành hình vuông (tứ giác đều) thì biểu diễn cho góc(cung) lượng giác 3 3 2 4 2 k k + = + π π α α ( 3α một góc lượng giác nào đó xác định một trong bốn điểm).
n điểm tạo thành đa giác đều thì biểu diễn cho góc(cung) lượng giác 4 2k n + π α ( 4α một góc lượng giác nào đó xác định một trong n điểm). Bài 1: 1. Hãy tìm số đoα của góc lượng giác ( ),Ou Ov với 0 2α π≤ < biết góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với góc đó có số là 29 128 2003; ; ;18,5. 4 3 6 π π π − − 2. Hãy tìm số đo 0a của góc lượng giác ( ),Ou Ov với 0 0 00 360a≤ < biết góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với góc đó có số là ( )00 0 0395 ; 1052 ; 972 ; 20 .π− − Bài 2: Tìm góc lượng giác có số đo dương nhỏ nhất, biết một góc lượng giác có số đo: 1. 0 090 ;1000− 2. 30 15; . 7 11 − π π GIÁ TRN LƯỢG GIÁC 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác. 2. Dấu của các giá trị lượng giác. Cung phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sinα + + - - cosα + - - + tanα + - + - cotα + - + - Bài 1: Xác định dấu của sin ,cos , tanα α α biết: 3 3 7 7 ; ; 2 ; 2 2 4 4 10 5 11 2 2,5 ; 3 ; . 3 2 4 π π π π π α α α π π π π π α π π α α < < < < < < < < < < < <
cosOH α=
sinOK α=
tanAT α=
' cotBT α= hận xét:  1 cos 1α− ≤ ≤ ; 1 sin 1;α α− ≤ ≤ ∀  tanα xác định cos 0 , 2 x k k π α π⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ  cotα xác định sin 0 ,x k kα π⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ 10-TRIGONOMETRY LEAD Bài 2: Trên đường tròn lượng giác hãy tìm các điểm xác định bởi các số: ( ); 4 2 3 k k k+ ∈ℤ π π π ( )k∈ℤ ( )2 5 k k∈ℤ π . Bài 3: Xét dấu các số sau 1. ( )0 0 017sin156 ,cos 80 , tan , tan556 8 π − −    2. 3sin ,cos , tan 4 8 2 π π π α α α     + − −            với 0 2 π α< < . Bài 4: 1. Tính giá trị của góc lượng giác: 0 0 0 0 5 11 10 17225 ; 225 ;750 ; 510 ; ; ; ; . 3 6 3 3 π π π π − − − − Bài 5: Tính giá trị lượng giác của các góc với k nguyên: 1. ( )2 1 3 k π π− + + 2. kπ 3. . 4 k π π+ 3. Các hệ thức cơ bản. 2 2sin cos 1α α+ = sin tan cos α α α = cos cot sin α α α = tan cot 1α α = 2 2 1 1 tan cos α α + = 2 2 1 1 cot sin α α + = 4. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt. 00 030 045 060 090 0120 0135 0150 0180 0270 0360 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π π 3 2 π 2π sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 0 1 tan 0 3 3 1 3 || - 3 -1 - 3 3 0 || 0 cot || 3 1 3 3 0 - 3 3 -1 - 3 || 0 || Bài 6: Tính các giá trị lượng giác của gócα biết 1. 1cos ,sin 0 4 α α= < 2. 1 3sin , 3 2 2 π π α α= − < < 3. 1tan , 0 2 α π α= − < < 4. 3cot 3, 2 . 2 π α α π= − < < Bài 7: Cho tan 3cot 6α α− = và 3 2 π π α< < . Tính 1. sin cosA α α= + 2. 2sin .cosB α α= 3. 2sin tan cos cot C α α α α − = + . Bài 8: Cho sin .cos nα α = . Tính sin cosA α α= + và 4 4sin cosB α α= + Bài 9: Cho 2sin 3cos 2α α+ = . Tính tanα . Bài 10: Đơn giản biểu thức 1. 4 2 2sin sin cosA α α α= + 2. 2 1 cos 1 sin 1 cos B α α α − = − + 3. 2 2 2 2 1 sin cos cos cos C α α α α − = − Bài 11: Tìm điểu kiện và tính gọn không còn căn thức 1. 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos A α α α α − + = − + − 2. 2 21 cot .sin 1B α α= − + Bài 12: Chứng minh hệ thức 1. 4 4 2cos sin 2cos 1α α α− = − 2. 4 2 4 2 1 1 cot sin sin α α α − = − 3. 2 2 2 1 sin 1 2 tan 1 sin α α α + = + − 4. ( )( ) ( )22 1 sin 1 cos 1 sin cosα α α α− + = − + 10-TRIGONOMETRY LEAD Bài 13: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vàoα 1. ( ) ( )6 6 4 42 sin cos 3 sin cosA α α α α= + − + 2. 4 2 4 2sin 4cos cos 4sinB α α α α= + + + 3. 2 cot 1 tan 1 cot 1 C α α α + = + − − (điều kiện có nghĩa) Bài 14: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vàoα 1. 4 4 2 2 22cos sin sin cos 3sinM α α α α α= − + + 2. 2 2 2 2 22sin .tan 4sin tan 3cos α α α α α= + − + 3. 2 2 6 2 2 tan sin cot cot cos P α α α α α − = − (điều kiện có nghĩa) GÓC CUG LIÊ QUA ĐẶC BIỆT 5. Góc (cung) liên quan đặc biệt. cos đối, sin bù, phụ chéo, tan và cot hơn kém nhau π . Cung đối Cung bù Cung phụ Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π ( )cos -x = cosx ( )sin - x = sinxπ sin cos 2 x x π − =    ( )tan + x = tanxπ sin cos 2 x x π + =    ( )sin sinx x− = − ( )cos cosx xπ − = − cos sin 2 x x π − =    ( )cot + x = cotxπ cos sin 2 x x π + = −    ( )tan tanx x− = − ( )tan tanx xπ − = − tan cot 2 x x π − =    ( )sin sinx xπ + = − tan cot 2 x x π + = −    ( )cot cotx x− = − ( )cot cotx xπ − = − cot tan 2 x x π − =    ( )cos cosx xπ + = − cot tan 2 x x π + = −    Bài 1: Không dùng bảng và máy tính, tính 1. 0 0 0 0cos315 sin330 sin 250 cos160A = + + − 2. 25 25 25sin cos tan 6 3 4 B π π π = + + −    3. 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0sin 10 sin 20 sin 30 ... sin 80 sin 90A = + + + + + 4. 0 0 0 0cos10 cos20 cos30 ... cos180B = + + + + 5. 0 0 0 0tan1 .tan3 .tan5 ...tan89C = Bài 2: 1. Cho 0tan15 2 3= − . Tính các GTLG của góc 075− . 2. ( ) 1sin 3 π α+ = − . Tính ( ) ( ) 3cos 2 , tan 7 ,sin 2 π π α α π α − − −    . Bài 3: 1. Tính cosα biết sin sin sin 2 2 2 π π π α α   − + = +        2. Tính sinα biết ( ) ( )0 0 2 0 2 0cos 540 tan 90 sin 725 cos 365α α+ − − = + . Bài 4: Rút gọn biểu thức sau: 1. ( ) ( ) ( )cos cos 2 sin cos 2 P x x x x π π π π = + + − + − + +    2. ( ) 32cos 3cos 5sin cot 2 2 Q x x x x π π π    = − + − − + −        3. ( ) ( )3 3cos 2sin tan cot 2 2 2 R x x x x π π π π   = − − + + − + −        Bài 5: Cho A, B, C là ba góc trong một tam giác. Chứng minh rằng 1. ( )sin sinA B C+ = 2. ( )cos cosA B C+ = − 3. sin cos 2 2 A B C+ = 4. tan cot 2 2 A B C+ = 5. ( )3 3sin cos 2 2 A B C+ = − 6. ( )3 3cot tan 2 2 A B C+ = 7. sin .cos cos .sin tan .tan 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C+ + + + + = Bài 6: Rút gọn biểu thức sau 1. ( ) 3 3cos sin tan .cot 2 2 2 A x x x x π π π π      = − + − − + −            2. ( ) 11 11cos 5 2sin sin 2 2 C x x x π π π    = + − − − +        3. ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0cos 270 2sin 450 cos 900 2sin 720B x x x x= − − − + + + − 4. ( ) ( ) 3 cos cos cos cos 2 2 2 D x x x x π π π π   = − + − + − + −        10-TRIGONOMETRY LEAD CÔG THỨC LƯỢG GIÁC 1. Công thức cộng. ( )sin sin cos sin cosa b a b b a+ = + ( )sin sin cos sin cosa b a b b a− = − ( )cos cos cos sin sina b a b a b+ = − ( )cos cos cos sin sina b a b a b− = + ( ) tan tantan 1 tan .tan a b a b a b + + = − ( ) tan tantan 1 tan .tan a b a b a b − − = + ( ) cot .cot 1cot cot cot a b a b a b − + = + ( ) cot .cot 1cot cot cot a b a b a b + − = − 1 tan tan 4 1 tan x x x π + + =  −  1 tan tan 4 1 tan x x x π − − =  +  2. Công thức nhân. hân đôi Hạ bậc hân ba Theo tan 2 a t = sin 2 2sin cosa a a= 2 1 cos2 sin 2 a a − = 3sin 3 3sin 4sina a a= − 2 2 sin 1 t a t = + 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin a a a a a = − = − = − 2 1 cos 2 cos 2 a a + = 3cos3 4cos 3cosa a a= − 2 2 1 cos 1 t a t − = + 2 2 tan tan2 1 tan a a a = − 2 1 cos2 tan 1 cos 2 a a a − = + 3 2 3tan 4 tan tan3 1 3tan a a a a − = − 2 2 tan 1 t a t = − 2cot 1 cot2 2cot a a a − = Tổng thành tích Tích thành tổng cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + − − = ( )sin tan tan cos cos a b a b a b + + = ( )sin tan tan cos cos a b a b a b − − = ( )sin cot cot sin sin a b a b a b + + = ( )sin cot cot sin sin b a a b a b − − = sin cos 2 sin 4 2 cos 4 a a a a π π  + = +     = −    sin cos 2 sin 4 2 cos 4 a a a a π π  − = −     = − +    ( ) ( )1cos .cos cos cos 2 a b a b a b= − + +   ( ) ( )1sin .sin cos cos 2 a b a b a b= − − +   ( ) ( )1sin .cos sin sin 2 a b a b a b= − + +   Bài 1: Chứng minh rằng: a) 3 3sin3 3sin 4sin ,cos3 4cos 3cosα α α α α α= − = − . b) 1sin .sin sin sin3 3 3 4 π π α α α α   − + =        c) 1cos .cos cos cos3 3 3 4 π π α α α α   − + =        d) tan .tan tan tan3 3 3 π π α α α α   − + =        Áp dụng tính: 0 0 0 0 0 0sin 20 .sin 40 sin80 ; tan 20 .tan 40 tan80 . 0 0 0tan10 .tan50 tan110 . Bài 2: CMR 1. 2 2 2sin sin sin 2 8 8 2 π π α α α   + − − =        2. 2 2 2 2 3cos cos cos 3 3 2 π π α α α   + − + − =        . Bài 3: CM trong điều kiện có nghĩa thì 1. 2sin .sin cos2 4 4 π π α α α   + − =        2. ( )2sin 1 cos2 sin 2 cosα α α α+ = 3. 1 sin 2 cos 2 tan 1 sin 2 cos 2 α α α α α + − = + + 4. 1 2tan tan tan 2 α α α − = − 10-TRIGONOMETRY LEAD Bài 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vàoα 1. sin 4 .sin10 sin11 .sin 3 sin 7 .sinA α α α α α α= − − 2. ( ) ( )2 2cos cos 2cos cos cosB x x xα α α α= + + − + 3. sin 6 cot 3 cos 6C α α α= − . Bài 5: Rút gọn các biểu thức 1. sin 2 sin 1 cos2 cos A α α α α + = + + 2. 2 2 4sin 1 cos 2 B α α = − Bài 6: Biến đổi thành tổng 1. ( ) ( )2sin cosA a b a b= + + 2. ( ) ( )2cos cosB a b a b= + − 3. 4sin 3 sin 2 sinC x x x= 4. 4sin 3 sin 2 cosD x x x= Bài 7: Biến đổi thành tích 1. ( )2sin sin sinA a b a b= + + + 2. ( )cos cos cos 1B a b a b= + + + + 3. 1 sin cosC a a= + + 4. sin sin 3 sin 5 sin 7D x x x x= + + + Bài 8: CMR trong mọi ABC∆ , ta luôn có: 1. sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 A B C A B C+ + = . 2. cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C A B C+ + = + 3. sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C+ + = 4. 2 2 2cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C+ + = − Bài 9: ABC∆ thỏa sin 2cos sin C A B = . CMR ABC∆ cân. Bài 10: ABC∆ thỏa cos cos cos sin sin sin 2 2 2 A B C A B C+ + = + + . CMR ABC∆ đều. Bài 11: CMR ABC∆ vuông hoặc cân khi và chỉ khi cos cos sin sina A b B a A b B− = − . Bài 12: Tính các GTLG của góc 075 và 015 Bài 13: Cho 1sin , 3 2 π α α π= < < . Tính của GTLG của 2α và 2 α . Bài 14: Không dùng máy tính và bảng, tính 1. 11 5sin cos 12 12 A π π = 2. 3 5cos .cos .cos 7 7 7 B π π π = Bài 15: Không dùng máy và bảng, tính 1. 0 0cos75 cos15 và 0 0sin 75 sin15 2. 0 0cos75 sin15 và 0 0sin 75 cos15 Bài16: Không dùng máy và bảng, tính 1. 0 0 0cos20 cos 40 cos80A = 2. 0 0 0cos10 cos50 cos70B = Bài 17: Không dùng máy và bảng, tính 1. 3 5 7sin .sin .sin sin 16 16 16 16 A π π π π = 2. 0 0 0 0sin 6 sin 42 sin 66 sin 78B = Bài 18: Không dùng máy và bảng, tính 1. 0 0 0cos14 cos134 cos106A = + + 2. 3cos cos 5 5 B π π = + Bài 19: Không dùng máy và bảng, tính 1. 0 0 1 4sin 70 sin10 A = − 2. 3 5 17cos cos cos ... cos 19 19 19 19 B π π π π = + + + + Bài 20: Không dùng máy và bảng, tính 1. 4 4 4 43 5 7sin sin sin sin 16 16 16 16 A π π π π = + + + 2. 0 0 0 0cot 7,5 tan 67,5 tan 7,5 cot 67,5B = + − −