Giúp học sinh làm nhanh những bài toán "phân tích đa thức thành nhân tử"

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 1 MỤC LỤC Trang A. MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ:.........................................................................................................2 1/Thực trạng của vấn đề: .............................................................................................2 2/Ý nghĩa và tác dụng : .............................................................................................2 3/Phạm vi nghiên cứu: .................................................................................................2 II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:.................................................................................2 1/Cơ sở lý luận và thực tiển: .......................................................................................2 2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian: ...........................................................................2 B. NỘI DUNG .............................................................................................................2 I. MỤC TIÊU: ........................................................................................................3 II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:.........................................................................3 1/ Thuyết minh : ..........................................................................................................3 2/Khả năng áp dụng:........................................................................................................3 -Các phương pháp :.....................................................................................................4 C.KẾT LUẬN............................................................................................................18 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................20 Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 2 GIÚP HỌC SINH LÀM NHANH NHỮNG BÀI TOÁN “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” A. MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ: Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng. 1/Thực trạng của vấn đề: Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, ... Cho nên chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà giáo viên hết sức quan tâm. 2/Ý nghĩa và tác dụng : Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm. Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn . Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó. Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này. 3/Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại Trường THCS Trần Quang Diệu và dành cho đối tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán các lớp 8; 9 II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1/Cơ sở lý luận và thực tiển: - Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử. - Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài . - Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy. - Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu. 2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian: a.Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận. Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 3 b) Phương pháp khảo sát thực tiễn. c) Phương pháp quan sát. d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. b.Thời gian nghiên cứu Từ ngày 5 / 9 / 2013 đến hết ngày 30 /12 / 2012 B. NỘI DUNG I. MỤC TIÊU: Học sinh nắm kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, biết biến đổi những bài toán thực tế để áp dụng phương pháp phù hợp,biết phối hợp các phương pháp để giải cho kết quả nhanh nhất có thể,biết giải bài toán bằng nhiều cách nếu được . Học sinh làm được bài và có hiệu quả khi kiểm tra hoặc dự thi các cấp. II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1/ Thuyết minh : * Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1 + Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử. + Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( c an xn + c an 1 xn – 1 + …..+ c a0 ) ( với c 0, c 1 ). b) Định nghĩa 2 Giả sử P(x)P  x là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P. *Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.” b) Định lý 2 Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức  < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0. c)Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an  0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q. 2/Khả năng áp dụng: Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử một cách có hệ thống từ dễ dến khó cho từng phương pháp. -Các phương pháp : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1. Phương pháp đặt nhân tử chung 2 . Phương pháp nhóm các hạng tử 3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 4 4. Phương pháp thực hiện phép chia 5. Phương pháp đặt ẩn phụ 6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) 7. Phương pháp hệ số bất định 8. Phương pháp xét giá trị riêng 1. Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược). *Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) b/ B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)    2 22a – 3ax – 6a – 4ax   = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a c/ C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z Do đó : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)  (x – 5 y – 2z   =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) d/ D = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: D = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy    2 2 2x – 2x 1 – y 2yz z     = 3xy    2 2x – 1 – y z   = 3xy    x – 1 – y z       x – 1 y z    = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) e/ E = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : E = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = 2(y – 2z)(8x2 – 5y) f/ F = x3 + 3x2 + 2x + 6 Giải: Ta có : F = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) g/ G = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : G = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 2 . Phương pháp nhóm các hạng tử Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. * Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 5 a/ A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) - yz(y – z) - x2(y – z) = (y – z)   2x y z yz x )     = (y – z)    2xy – x xz – yz   = (y – z)    x y – x z x – y   = (y – z)(x – y)(z – x) b/ B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có: B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) c/ C = x6 + x4 + x2 + 1 Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + 1 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) d/ D = x2 + 2x + 1 – y2 Giải: Ta có: D = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + 1 + y ) e/ E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) f/ F = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : F = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) g/ G = xm + 4 + xm + 3 – x - 1 Giải: Ta có : G= xm + 4 + xm + 3 – x – 1 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1) h/ H = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z Ta có : H = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)  2x yz – x y z    = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)    x x – y – z x – y   = (y – z)(x – y)(x – z) Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 6 -Cách khác : Nhận xét : dễ thấy z – x = -    y – z x – y   nên : H = x2(y – z) - y2    y – z x – y   + z 2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) + (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) + (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)    x y – z y    = (y – z) (x – y)(x – z) i/ I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)    c b c a b c     = ( a + b)(b + c)(c + a) k/ K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) l/ L = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : L = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)    a 2b – c – c 2b – c   = (a + 2b)(2b – c)(a – c) m/ M = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Giải: Ta có : M = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2    2 2y z – y – 4x 2x z   = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2    2 2 3 3z y – 4x – y 8x   = 4x2y2(2x + y) + z2      2 2z y – 2x y 2x – y 2x y – 2xy 4x     = (2x + y)( 4x2y2 + z3y_- 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)      2 2 2 2 24x y – z – z y y – z 2xz y – z   = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)    2 2y 4x – z 2xz 2x z    = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác. Các hằng đẳng thức thường dùng là : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 7 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) * Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) b/ B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )   a – b a b 1)    = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) c/ C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) d/ D = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Giải: Ta có: D = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) =  22x – y z      22x – y z    = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) e/ E = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau : Cách 1: E= (x + y)3 +(x - y)3 =     3x y x y      – 3(x + y)(x - y)    x y x y      = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x  2 2 24x – 3 x – y   = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3 =    x y x y             2 2x y – x y x – y x – y     = 2x    2 2 2 22 x y x – y    Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 8 = 2x(x2 + 3y2) f/ F = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 g/ G = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)    x – z z – y   = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) Vậy G = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 = 3(z – x)(y – z)(x – y) h/ H = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: H = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c +3bc2 +c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)    a a b c a b     = 3(b + c)(a + b)(a + c) i/ I = x8 – 28 Giải: Ta có : I = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)    2 22 2x – 2     = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) k/ K = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Giải: Ta có: K = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)( x + 3)2 4. Phương pháp thực hiện phép chia: Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x). *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + x + 2. Ta có: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 9 Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để thực hiện phép chia được nhanh hơn. Ví dụ :chia f(x) cho (x + 2) như sau : 1 6 13 14 12 8 -2 1 4 5 4 4 0 Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau : 1 4 5 4 4 -2 1 2 1 2 0 Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) Chia x3 + 2x2 + x + 2 cho (x + 2) như sau : 1 2 1 2 -2 1 0 1 0 Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) b/ P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 :  1;  2;  3;  4;  6 ;  9;  12;  18;  36. Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0 Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta được : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 5. Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ. *Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta được : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x – 2)(x+3) Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 10 b/B= (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Giải: B = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : B = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được : B = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) c/ C = x12 – 3x6 + 1 Giải: C= x12 – 3x6 + 1 Đặt y = x6 (y 0 ) Đa thức đã cho trở thành : C = y2 – 3y + 1 = y2 – 2y + 1 – y = (y – 1)2 – y = (y – 1 - y )(y - 1 + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) được : C= (x6 – 1 - 6 6 6)( 1 )x x x  = (x6 – 1 – x3)(x6 - 1 + x3) d/ D = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2 Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2 D = (y + 2 )3 - 3 2 (y + 2 )2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y3 - 3y – 2 = y3 - y – 2y – 2 = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)  y y – 1 – 2   = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - 2 vào (*), được : D = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2) e/ E = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Giải: Ta có: E = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 =   x 1 x 7       x 3 x 5    + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành : E = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 11 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được : E = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)    x x 2 6 x 2     = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành : A =   x a x d      x b x c     + m (1) Bằng cách biến đổi tương tự như bài e/, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử. f/ F= x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Giải: Giả sử x 0 , ta viết đa thức dưới dạng : F = x2 2 2 1 1( ) 6( ) 7x x x x        Đặt y = x - x 1 thì x2 + 2x 1 = y2 + 2 Do đó : F = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) 2 Thay y = x - x 1 , ta được F = 2 3)1(      x x xx = (x2 + 3x – 1)2 g/ G = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: G = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành : G = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + 4 - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta được : G= (x + y – 4)( x + y + 3) h/ H = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: H = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b  ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức H trở thành : H = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 12 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta được : H = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 i/ I = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta có : A + B + C = 0. Nên A + B = - C Lập phương hai vế : (A + B)3 = - C3  A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3  A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B)  A3 + B3 + C3 = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được : Vậy I = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ. *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = x2 – 6x + 5 Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau: Cách 1: A = x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách 2 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách 3 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách 4 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 1) – 6x + 6 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + 1 – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách 5 : A = x2 – 6x + 5 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = (x – 1)    3 x – 1 – 2 x 1   = (x – 1)(x – 5) Cách 6 : A = x2 – 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 = 5(x – 1)2 – 4x(x – 1) Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 13 = (x – 1)  5 x – 1 – 4x   = (x – 1)(x – 5) Cách 7 : A = x2 – 6x + 5 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)  6x – 5 x 1   = (x – 1)(x – 5) Cách 8 : A =