Giáo trình Toán cao cấp A1

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 1 Giới hạn và liên tục I. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ 1.Các số thực và ðýờng thẳng thực Các số thực là những số có thể biểu diễn dýới dạng thập phân nhý : trong ðó dấu ba chấm ( ) chỉ dãy các ký số sau dấu chấm thập phân kéo dài ðến vô hạn . Các số thực có thể ðýợc biểu diễn về mặt hình học bởi các ðiểm trên 1 ðýờng thẳng, ðýợc gọi là ðýờng thẳng thực nhý minh họa dýới ðây: Tập hợp tất cả các số thực (hay ðừng thẳng thực ) sẽ ðýợc ký hiệu là R. Trên tập hợp các số thực ta có hai phép toán cõ bản + và * với một số tính chất ðại số quen thuộc ðã biết . Từ ðó ta cũng có phép toán trừ (-) và phép chia (/) cho số khác 0. Ngoài ra trên R ta cũng có một thứ tự thông thýờng và với thứ tự này ta có một số tính chất ðýợc viết dýới dạng các bất ðẳng thức nhý sau: Nếu a,b, và c là các số thực thì ta có a < b Þ a+c <b+c a < b Þ a-c <b-c a 0 Þ ac <bc Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 a 0 Þ > 0 Nếu (a và b cùng là số dýõng ) hay (a và b cùng là số âm ) Thì ta có : R có một số tập hợp con quen thuộc là tập hợp các số tự nhiên N ,tập hợp các số nguyên Z, và tập hợp các số hữu tỉ Q . Theo thứ tự "bao hàm trong " thì N Ì Z Ì Q Ì R Các số thực không thuộc Q ðýợc gọi là các số vô tỉ . Ký hiệu các khoảng ðoạn và nửa khoảng : Với a và b là các số thực , ta ký hiệu : (a ,b ) là { x Î R / a< x <b} [ a,b ] là {x Î R / a a} [a, ¥ ) là { x Î R /x >= a} ( -¥ ,b) là {x Î R /x < b } ( -¥ b] là {x Î R /x <= b} ( - ¥ , ¥ ) là R Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ghi chú : Ngýời ta còn chứng minh ðýợc rằng R có tính chất ðầy ðủ . Theo tính chất này thì mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên ðều có cặn trên ðúng (tức là chặn trên nhỏ nhất). Týõng tự , mọi tập số thực khác rỗng bị có chặn dýới ðúng. Ký hiệu "giá trị tuyệt ðối” Giá trị tuyệt ðối của một số thực x ,ký hiệu bởi |x|, ðýợc ðịnh nghĩa nhý sau : Từ ðó ta có một số tính chất dýới ðây: (1) Với mọi (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Lýu ý rằng về mặt hình học , ½ x½ biểu diễn khoảng cách từ ðiểm x ðến ðiểm 0 trên ðýờng thẳng thực . Tổng quát hõn là : ½ x-y½ = khoảng cách giữa x và y Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2. Hàm số ịnh nghĩa: Một hàm số f từ một tập D vào IR là một quy tắc cho ứng với mỗi x Î D là một phần tử duy nhất f (x) Î R. Một hàm số thýờng ðýợc cho dýới dạng công thức nhý các ví dụ sau: Khi hàm số ðýợc cho bởi một công thức nhý hàm số g(x) ở trên thì tập hợp tất cả các x mà g(x) xác ðịnh ðýợc gọi là miền xác ðịnh của hàm số. Ví dụ: Miền xác ðịnh của hàm số là tập hợp các số thực x sao cho : x2 –4 ³ 0 Û x £ -2 hay x ³ 2 Vậy miền xác ðịnh là : ( - ¥ , -2 ] È [ 2 , ¥ ) ồ thị của hàm số: ồ thị của hàm số f là ðýờng biểu diễn trong mặt phẳng Oxy có phýng trình y=f(x). Nó bao gồm tất cả các ðiểm (x , f(x)) với x chạy trong miền xác ðịnh của hàm số. Ví dụ : 1) ồ thị hàm số y = x2 2) ồ thị hàm số y = x3/2 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Tổng, hiệu, tích, thýõng của các hàm số: Cho f và g là 2 hàm số, và c là một hằng số. Ta ðịnh nghĩa các hàm f+g, f– , f.g, f/g và c.f bởi các công thức sau: (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f - g) (x) = f(x) - g(x) (f . g) (x) = f(x) . g(x) (c.f) (x) =c.f(x) Hợp nối của các hàm số: Hợp nối của f(x) và g(x) là 1 hàm số ðýợc ký hiệu là gof và ðýợc ðịnh nghĩa bởi : (go f) (x) = g(f(x) ) Miền xác ðịnh của go f là tập hợp các giá trị x sao cho f(x) Î miền xác ðịnh của g. Ví dụ: Hàm số y = có miền xác ðịnh là tập hợp tất cả các số thực x sao cho hay x Ï (1, 2). Vậy miền xác ðịnh là D = (-¥ , 1] È [2, +¥ ). Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 III. CÁC DẠNG VÔ ỊNH 1 . Hàm týõng ðýõng ,VCB ,VCL ịnh nghĩa 1: Cho hai hàm số f(x)và g(x) không triệt tiêu trong một khoảng quanh xo ( có thể loại trừ xo). Ta nói f(x) týõng ðýõng với g(x) khi x -> xo nếu: Khi ấy , ta viết : f(x) ~ g(x) khi x -> xo Hoặc là : khi x -> xo , f(x) ~ g(x) Tính chất : Khi x -> xo (i) f(x) ~ g(x) (ii) f(x) ~ g(x) Þ g(x) ~ f(x) (iii) f(x) ~ g(x) và g(x) ~ h(x) Þ f(x) ~ h(x) Ví dụ : Khi x -> 0, ta có : sin x ~ x ln(1+x) ~ x tg x ~ x ex -1 ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x ịnh nghĩa 2: Cho f (x) xác ðịnh quanh xo (có thể loại trừ xo). Ta nói f (x) là một ðại lýợng vô cùng bé khi x -> xo viết tắt là VCB , khi Trong trýờng hợp ta có (hoặc + ¥ , hoặc - ¥ ) ta nói f (x) là vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x -> xo Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khi x -> 0 , ta có x, ln(1+x), 1 –cos x là các VCB. Khi x -> 0+, ta có ln(x), là các VCL Khi x -> +¥ , ta có x, ln(x), ex là các VCL Ghi chú : Các khái niệm về hàm týõng ðýõng, VCB và VCL cũng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự nhý hai ðịnh nghĩa trên khi xét giới hạn ở vô tận, tức là khi xét x - > ¥ , hoặc x -> +¥ , hoặc x -> -¥ . 2. Bảy dạng vô ðịnh. Giả sử ta xét giới hạn của f(x) và g(x)trong cùng một qúa trình biến ðổi của x.Khi ðó 1) Ta nói f (x) –g (x) có dạng vô ðịnh ¥ - ¥ nếu f (x) và g (x) cùng tiến về + ¥ (hoặc là -¥ ). 2) Ta nói f(x).g (x) có dạng vô ðịnh o .¥ nếu: f (x) là VCB và g (x) là VCL , hoặc là: f (x) là VCL và g (x) là VCB 3) Ta nói có dạng vô ðịnh nếu f(x) và g (x) ðều là các VCB 4) Ta nói có dạng vô ðịnh nếu f(x) và g(x) ðều là các VCL 5) Ta nói f(x) g(x) có dạng vô ðịnh 00 khi f (x) và g (x) ðều là các VCB. 6) Ta nói f(x) g(x) có dạng vô ðịnh ¥ 0 nếu f(x) -> + ¥ và g (x) là VCB. 7) Ta nói f (x) g(x) có dạng vô ðịnh 1¥ nếu f(x) -> 1 và g (x) là VCL . 3. Quy tắc thay thế týõng ðýõng khi tính giới hạn. ịnh lý : Giả sử ta xét giới hạn trong một quá trình biến ðổi của x. khi ấy : f (x) ~ g (x) và g (x) có giới hạn L Þ f(x) có giới hạn L. (L hữu hạn hoặc vô hạn) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 và Ví dụ: Tính Khi x -> 0, ta có : x . ln(1+x) ~ x . x = x2 => Vậy: 4. So sánh các VCB , và các VCL ịnh nghĩa: Xét x -> a (a Î R , hoặc a là vô tận ) Giả sử u = f (x)và v = g (x) là các VCB . Khi ðó: (i) Ta nói u và v có cùng cấp nếu (ii) Ta nói u có cấp cao hõn v nếu (iii) Ta nói u có cấp thấp hõn v nếu Ví dụ : Khi xét x -> 0, ta có 1 –cos x và x2 là 2 VCB cùng cấp , 1 –cos x là VCB cấp cao hõn ln(1+x) ịnh nghĩa: (So sánh VCL) Giả sử f(x) và g (x) là 2 VCL khi x -> a . Ta nói Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (i) f (x) có cùng cấp với g (x) nếu (ii) f(x) có cấp cao hõn g (x) nếu (iii) f(x) có cấp thấp hõn g(x) nếu Ví dụ: Khi x -> + ¥ , ta có x và cùng cấp , x3/2 có cấp cao hõn ịnh lý: Giả sử f (x) và g(x) là các VCB khi x -> a .Ta có: (i) Nếu f(x) có cấp nhỏ hõn g(x) thì f(x) ± g(x) ~ f(x) khi x->a (ii) Nếu f(x) cùng cấp g(x) và f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì : f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) với ðiều kiện f(x) và g(x) không týõng ðýõng. ịnh lý: Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x -> a. Ta có: (i) Nếu f(x) có cấp lớn hõn g(x) thì: f(x) ± g(x) ~ f(x) khi x->a (ii) Nếu f và g cùng cấp nhýng không týõng ðýõng, và: f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì : f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) Ví dụ: Khi x - > + ¥ , ta có: 3x4 + x + 1 ~ 3x2 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 IV. KHỬ DẠNG VÔ ỊNH Nhý ðã biết , ta có thể dùng các quy tắc tính giới hạn trong trýờng hợp không phải dạng vô ðịnh và các quy tắc thay thế týõng ðýõng ðể tính giới hạn . Trong trýờng hợp gặp các dạng vô ðịnh : ¥ - ¥ , 0. ¥ , , và ta có thể phân tích biểu thức ðể ðõn giản hay thực hiện các quy tắc thay thế týõng ðýõng , ðặc biệt là áp dụng việc thế týõng ðýõng cho VCB và VCL ðýợc trình bày trong các ðịnh lý ở mục II ở trên . ối với các dạng vô ðịnh 00 , 1¥ và ¥ 0 ta thýờng dùng công thức biến ðổi sau ðây : (u > 0) rồi xét giới hạn của v. lnu Ngoài ra , ðối với các dạng vô ðịnh và ta còn có thể áp dụng quy tắc L’ Hospitale. Quy tắc này sẽ ðýợc trình bày trong phần áp dụng của ðạo hàm trong chýõng sau . Dýới ðây chúng ta sẽ xét một số ví dụ minh họa cho các phýõng pháp khử dạng vô ðịnh nêu trên. Ví dụ 1: Tìm và Khi x -> +¥ , ta có : => Khi x -> +¥ , ta có : ~ Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 => Ví dụ 2: Tìm Khi x-> 0 , ta có : 2x + sin 3x ~ 5x sin2 x ~ x2 Þ 2x + sin 3x + sin2 x ~ 5x sin 4x + ln(1+x) ~ 4x + x =5x Þ sin 4x + ln(1+x) - x2 ~ 5x suy ra : Vậy: Ví dụ 3: Tìm Khi x -> 0, ta có: => Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy: Ví dụ 4: Tính giới hạn Ta có dạng vô ðịnh . Biến ðổi: Khi x ® ¥ ,ta có: Vì Þ Suy ra Và Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 V. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1 . ịnh nghĩa (i) Cho hàm số f(x) xác ðịnh trên một khoảng chứa xo. Ta nói f(x) liên tục tại xo nếu (ii) Cho f (x) xác ðịnh trên với [ xo, xo + d ] với s > 0. Ta nói f (x) liên tục bên phải tại xo nếu: (iii) Cho f(x) xác ðịnh tên ( xo - d , xo ] với s > 0 Ta nói f(x) liên tục bên trái tại xo nếu: Mệnh ðề: f liên tục tại xo f liên tục bên trái và liên tục bên phải tại xo ịnh lý: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại xo. Khi ðó ta có : (i) f(x) + g(x) và f(x) . g (x) cũng liên tục tại xo (ii) liên tục tại xo với ðiều kiện (iii) ½ f (x) ½ liên tục tại xo. ịnh lý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại xo và hàm số g(u) liên tục tại uo = f(xo) thì hàm số hợp h (x) =gof(x) liên tục tại xo. 2.Tính chất của hàm hàm số liên tục trên một ðoạn ịnh nghĩa: Hàm số f(x) ðýợc gọi là liên tục trên ðoạn [a,b] nếu: (i) f(x) liên tục trên khỏang (a,b) ,tức là f (x) liên tục tại mọi xoÎ (a,b) (ii) f(x) liên tục bên phải tại a. (iii) f(x) liên tục bên trái tại b. Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Liên quan ðến hàm số liên tục trên một ðoạn , ngýời ta ðã chứng minh ðýợc ðịnh lý sau ðây: ịnh lý: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. Khi ðó ta có: (i) f có gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất trên [a,b] (ii) ặt m = min {f(x)/ x Î [a,b]} M = max {f(x) / x Î [a,b]} Ta có f ([a,b] ) =[m,M] (iii) Cho một số thực yo tùy ý thuộc [m,M], ta có xoÎ [a,b] sao cho yo=f(xo) Hệ quả: Nếu f liên tục trên [a,b] và: f(a) .f(b) <0 Thì phýõng trình f(x) =0 có nghiệm trong khoảng (a,b). BÀI TẬP CHÝ'NG I 1. Tính các giới hạn sau: (a > b) 2.Tính giới hạn : Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3.Tính giới hạn : 4.Xác ðịnh a và b sao cho các hàm số sau ðây là liên tục trên IR. Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 5.Chứng minh rằng phýõng trình 2x3 – x+1=0 Có 3 nghiệm trên ðoạn [-2,2] 6.Chứng minh rằng các phýõng trình sau ðây có nghiệm : 2x2 – x3-2x-1=0 2x +3x = 6x Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 2 ạo hàm và vi phân của một số biến I. KHÁI NIỆM VỀ ẠO HÀM 1. ịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác ðịnh trong một khoảng chứa xo. Nếu tỉ số có giới hạn Î R khi x ® xo thì ta nói f có ðạo hàm tại xo và giá trị của giới hạn trên ðýợc gọi là ðạo hàm của hàm số f tại xo . ạo hàm của f tại xo thýờng ðýợc ký hiệu là: f’xo) Các ký hiệu khác của ðạo hàm : Cho hàm số y = f(x). Ngoài cách ký hiệu ðạo hàm là f’x) ta còn có một số cách ký hiệu khác nhý sau: y’Hay y’ Ý nghĩa hình học của ðạo hàm : x= xo+h Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 PT là tiếp tuyến tại Þ Hệ số góc của tiếp tuyến với ðýờng cong là Vậy phýõng trình tiếp tuyến với ðồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo f(x) là: y-yo = f’xo) . (x- xo) trong ðó yo =f(xo) 2. Liên hệ giữa ðạo hàm và tính liên tục ịnh lý: nếu f(x) liên tục tại xo thì f(x) liên tục tại xo 3. Bảng ðạo hàm thông dụng (1) C’ 0 (C là hằng số) (2) ðặc biệt: (3) (sin x)’ cos x (4) (cos x) = -sin x (5) (6) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) II. CÁC QUY TẮC TÍNH ẠO HÀM 1. ạo hàm của tổng, hiệu, tích , thýõng ịnh lý: Nếu u(x) và v(x) ðều có ðạo hàm theo biến x thì ta có: (u + v)’ u’ v’ (u.v)’= u’v’u.v’ Hệ quả : (u1+u2 un )’=u’+u’+ +u’ 2. ạo hàm của hàm số hợp ịnh lý: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Xét hàm số hợp y = f(u(x)). Giả sử u(x) có ðạo hàm tại xo và f(u) có ðạo hàm tại uo=u(xo). Khi ấy, hàm số y = f(u(x)) có ðạo hàm tại xo và y’xo) = f’uo). u’xo). Ví dụ: 3. ạo hàm của hàm ngýợc ịnh lý: Nếu hàm số y = y(x) có ðạo hàm y’xo) ¹ 0 và nếu có hàm ngýợc x = x(y) liên tục tại yo=y(xo), thì hàm ngýợc có ðạo hàm tại yo và: 4. ạo hàm của hàm số có dạng y = u(x)v(x) với u(x)>0 Ta có: Þ Ví dụ: y = xx (x > 0) Ta có: y = Þ = xx . (lnx+1) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 III. ẠO HÀM CẤP CAO Giả sử f(x) có ðạo hàm tại mọi x thuộc một khoảng nào ðó. Khi ấy f’x) là một hàm số xác ðịnh trên khoảng ðó. Nếu hàm số f’x) có ðạo hàm thì ðạo hàm này gọi là ðạo hàm cấp 2 của f(x), ký hiệu là f’(x). Vậy : f’(x)= (f’x))’ Ta còn ký hiệu ðạo hàm cấp 2 là : Tổng quát, ðạo hàm của ðạo hàm cấp n-1 ðýợc gọi là ðạo hàm cấp n. ạo hàm cấp n của f(x) ðýợc ký hiệu là vậy: ạo hàm cấp n của f(x) còn ðýợc ký hiệu là: Ví dụ : Tính y(n) với y=sinx (*) Công thức (*) ở trên có thể ðýợc chứng minh bằng phýõng pháp qui nạp. IV .VI PHÂN 1.Vi phân cấp 1 ịnh nghĩa: Xét hàm số f(x) xác ðịnh trên 1 khoảng quanh xo. Ta nói f khả vi tại xo . Khi ta có một hằng số D sao cho ứng với mọi số gia D x ðủ nhỏ của biến x, số gia của hàm là Df ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) có thể viết dýới dạng : Df = A.Dx + 0(Dx) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Trong ðó 0(Dx) là VCB cấp cao hõn D x khi D x ® 0 Biểu thức A.D x ðýợc gọi là vi phân của f(x) tại xo ứng với số gia D x và ðýợc ký hiệu là df Vậy: df = A.D x ịnh lý: Hàm số f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi f(x) có ðạo hàm tại xo. Khi ðó ta có: df = f’xo) . D x Từ ðịnh lý trên với f(x) = x ta có dx = D x Do ðó biểu thức vi phân của một hàm số y=y(x) sẽ ðýợc viết dýới dạng : dy = y’dx Ghi chú: Từ ðịnh nghĩa của vi phân ở trên và công thức : dy = y’x Ta có: nếu y’x) ¹ 0 thì dy và D y là 2 VCB týõng ðýõng khi D x ® 0 Giả sử y = f(x) và x = j (t). Xét hàm hợp y = f(j (t)), ta có: Do ðó dy = y’. x’.dt = y’ .dx Vậy dạng vi phân dy của hàm y = f(x) không thay ðổi dù x là biến ðộc lập hay là hàm khả vi theo biến ðộc lập khác. Tính chất này ðýợc gọi là tính bất biến của biểu thức vi phân. Từ các qui tắc tính ðạo hàm, ta có các qui tắc tính vi phân nhý sau : d(u+v)=du + dv d(u.v)=v.du + u.dv 2. Vi phân cấp cao Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Giả sử hàm số y=f(x) khả vi trên một khoảng nào ðó. Nhý thế vi phân dy=y’dx là một hàm theo x trên khoảng ðó và nếu hàm này khả vi thì vi phân của nó ðýợc gọi là vi phân cấp 2 cuả y và ðýợc ký hiệu là d2y.Vậy: Tổng quát, vi phân cấp n của hàm số y ðýợc ký hiệu là dny và ðýợc ðịnh nghĩa bởi: Ta có thể kiểm chứng dễ dàng công thức sau: Ví dụ : Với y= sin x, ta có: dy= cosx dx Nhận xét: Công thức vi phân cấp cao: ( n ³ 2 ) không còn ðúng nữa nếu x không phải là biến ðộc lập V. CÁC ỊNH LÝ C' BẢN 1. Cực trị ðịa phýõng và ðịnh lý Fermat ịnh nghĩa: Hàm số f(x) ðýợc gọi là ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo nếu có một lân cận quanh ðiểm xo sao cho với mọi x thuộc lân cận này ta có : f(x) £ f(xo) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khái niệm cực tiểu ðịa phýõng cũng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự. Cực ðại ðịa phýõng và cực tiểu ðịa phýõng ðýợc gọi chung là cực trị ðịa phýõng. ịnh lý (Fermat): Nếu hàm số f(x) ðạt cực trị ðịa phýõng tại xo và có ðạo hàm tại xo thì f’xo )=0 Chứng minh: Giả sử f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại x0 và có ðạo hàm tại xo. Khi ðó f(x) xác ðịnh trên 1 khoảng ( xo -d , xo + d )với một d > 0 và trên khoảng này ta có: Với mọi ê D xï < d Do ðó: Suy ra f’x0) = 0 2. ịnh lý Rolle Nếu f(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trong khoảng (a,b) và f(a)=f(b) thì tồn tại c Î (a,b) sao cho f’c)=0 Chứng minh: Nếu f(x) là hàm hằng trên [a,b], thì f’x) = 0." x Î (a,b). Vậy ta có thể giả sử f(x) không hằng trên [a,b]. Vì f(x) liên tục trên ðoạn [a,b] nên f([a,b]) = [m,M] với m ¹ M. Ta có f(a) ¹ m hay f(a) ¹ M. Ta xét trýờng hợp m ¹ f(a). (trýờng hợp M ¹ f(a) thì týõng tự). Do m ¹ f(a) = f(b) và m Î f([a,b]) nên $ c Î (a,b) sao cho f(c) = m. Ta sẽ chứng minh f’c)=0 Với h ðủ nhỏ ðể c+h Î (a,b) ta có: Vì f(c+h) –f(c) ³ 0 Suy ra f’c) = 0 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3. ịnh lý Lagrange Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có ðạo hàm trên (a,b) thì tồn tại c Î (a,b) sao cho: f(b) - f(a) = f’c) . (b-a). Chứng minh ặt k = , và xét hàm g(x) = f(x) - f(a) - k.(x-a). Ta thấy g(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) và g(a) =g(b)=0. Do ðó,theo ðịnh lý Rolle ta có cÎ (a,b) sao cho cÎ (a, b) sao cho: g’c) =0 Vì : g’x)=f’x)-k, nên: g’c) = 0 Û f’c ) -k =0 Û f’c) =k f (b)-f(a)=f’c).(b-a) Minh họa hình học: Giả sử cung AB là ðồ thị của hàm số f(x) thoả ðiều kiện của ðịnh lý Lagrange trên [a,b] nhý hình vẽ. Khi ðó trên cung AB phải có ít nhất một ðiểm C có hoành ðộ cÎ (a,b) sao cho tiếp tuyến với ðồ thị tại C là song song với ðýờng thẳng AB. Chú ý: Nếu ðặt h = b-a thì ðẳng thức trong ðịnh lý Lagrange có thể ðýợc viết lại nhý sau: f(a + b) - f(a)= h . f’a+q h) với 0 < q < 1 4. ịnh lý Cauchy Nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) và g’x) ¹ 0 tại mọi x Î (a,b), thì tồn tại c Î (a,b) sao cho: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Chứng minh: ặt k = . Do g’x) ¹ 0 " x Î (a,b) Nên theo ðịnh lý Rolle ta phải có g(a) ¹ g(b) . Vậy giá trị k là xác ðịnh . Xét hàm số h(x) = f(x) - k.g(x) Ta thấy h(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) cho bởi : h’x)=f’x) - k.g’x). Hõn nữa h(a) = h(b) nên theo ðịnh lý Rolle ta có c Î (a,b) sao cho h’c) = 0. Suy ra: Hay VI. CÔNG THỨC TAYLOR 1. ịnh lý Taylor Nếu hàm số f(x) có ðạo hàm ðến cấp n+1 trong một khoảng chứa xo và x thì ta có công thức Taylor sau ðây : trong ðó c là một số nằm giữa xo và x Trong công thức trên ta gọi: là phần dý Lagrange trong công thức Taylor Chú ý: 1) Số c trong công thức Taylor còn ðýợc viết dýới dạng: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 c = xo + q (x- xo) với 0 < q < 1 2) Phần dý Rn(x) cũng còn ðýợc viết dýới dạng: tức là VCB cấp cao hõn (x - xo)n. Dạng này ðýợc gọi là phần dý dạng Peano Công thức Taylor của hàm số f(x) thýờng ðýợc gọi là khai triển Taylor của hàm số f. Trong trýờng hợp xo = 0, công thức Taylor có dạng : Với Và công thức này ðýợc gọi là công thức Maclaurin của hàm số f 2.Khai triển Maclaurin của một số hàm sõ cấp Khai triển hàm số : y = ex Với mọi k ta có y(k)(x) = ex và y(k)(0)=1 Vậy : Trong ðó 0( xn ) là VCB bậc cao hõn xn khi x -> 0. Khai triển hàm y=sin x Ta có , nên: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy: Với 0 < q < 1 Týõng tự , ta có các khai triển Maclausin sau ðây: Khai triển cos x. với 0 < q < 1 Khai triển Khai triển ln(1+x), x > -1 với 0 < q < 1 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khai triển và với 0<q <1 Khai triển arctg x Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 BÀI TẬP CHÝ'NG 2 1. Tính ðạo hàm của 2. Tính gần ðúng chính xác ðến 0,0001 3.Dùng công thức gần ðúng: ðể tính ln (1,5) và ðánh giá sai số. 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau ðây khi x ® 0: 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau ðây khi x ® ¥ : Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 6. Áp dụng ðịnh lý Lagrange ðể chứng minh. Với xÎ (0,1) Với x>0 7. Khảo sát và vẽ ðồ thị các hàm số : 8. Viết công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại xo ðến cấp n 9. Tìm hiện của các ðýờng cong theo hàm số : Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 10. Phân tích 8 thành tổng của 2 số dýõng sao cho tổng lập phýõng của 2 số ðó lớn nhất . Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 3 Ứng dụng của ðạo hàm VII .ỨNG DỤNG:TÍNH XẤP XỈ VÀ TÍNH GIỚI HẠN 1.Tính gần ðúng (hay tính xấp xỉ ) và tính giới hạn Ta thýờng dùng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin ðể tính xấp xỉ giá trị của hàm f(x) sau khi chọn n ðủ lớn ðể phần dý Rn(x) có giá trị tuyệt ðối không výợt quá sai số cho phép. Ví dụ: Tính số e chính xác ðến 0,00001. Trong công thức khai triển Maclaurin của hàm số ex : Với 0 < q < 1 ta lấy x=1 và n=8 thì phần dý R8 thỏa: Vậy ta có thể tính e chính xác ðến 0,00001 bằng công thức xấp xỉ sau Ta còn có thể dùng khai triển Maclaurin ðể tính giới hạn có dạng vô ðịnh nhý trong ví dụ sau ðây : Ví dụ: 1) Tìm Ta có: Sử dụng khai triển Maclaurin của sinx ðến cấp 4, ta có thể viết sinx dýới dạng: Với Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Suy ra Khi x ® 0 Vậy: 2) Tìm Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm sinx và cosx ta có : trong ðó Þ Khi x ® 0 Vậy 2. Quy tắc L’ ospitale Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nhờ ðịnh lý Cauchy, ngýời ta ðã chứng minh ðýợc các ðịnh lý dýới ðây mà ta gọi là quy tắc L’ ospitale. Quy tắc này rất thuận lợi ðể tìm giới hạn của các dạng vô ðịnh và ịnh lý: (Quy tắc L’ ospitale 1) Giả sử f(x) và g(x) có ðạo hàm trong khoảng (a,b) và g’¹ 0 trong khoảng ðó. Khi ấy, nếu: thì ịnh lý vẫn ðúng khi thay cho quá trình x ® a+, ta xét quá trình x® b- hoặc x ® c với cÎ (a,b). Trýờng hợp a= -¥ , b= + ¥ ðịnh lý vẫn ðúng. ịnh lý: (Quy tắc L’ ospitale 2) Giả sử f(x) và g(x) có ðạo hàm trong (a,b) và g’x) ¹ 0 trong khoảng ðó. Khi ấy nếu : (i) f(x) và g (x) là các VLC khi x -> a+ ,và (hữu hạn hoặc vô tận) thì ịnh lý cũng ðúng cho các quá trình x ® b-, x ® c Î (a,b) và cho các trýờng hợp a = - ¥ và b = + ¥ Chú ý: 1) Khi xét trong quy tắc l’ ospitale, nếu thấy vẫn có dạng vô ðịnh hoặc thì ta lại có thể áp dụng tiếp quy tắc l’ ospitale Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2) Quy rắc l’ ospitale chỉ là ðiều kiện ðủ ðể có giới hạn của không phải là ðiều kiện cần. Do ðó, nếu không tồn tại giới hạn của thì ta chýa có kết luận gì về giới hạn của Ví dụ: 1) Tìm ặt và g(x) = x - sin x Xét qúa trình x ® 0 ta có: có dạng vô ðịnh cũng có dạng vô ðịnh cũng có dạng vô ðịnh Vậy sau 3 lần áp dụng quy tắc l’ ospitale ta suy ra: 2) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3) Tìm Giới hạn này có dạng vô ðịnh ¥ - ¥ . Ta có thể biến ðổi giới hạn về dạng vô ðịnh ðể áp dụng quy tắc l’ ospitale nhý sau: 4) Tìm Giới hạn này có dạng vô ðịnh . Ta biến ðổi nhý sau: Ta có: Suy ra VIII. ỨNG DỤNG :KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Chiều biến thiên và cực trị ðịa phýõng ịnh lý: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 iều kiện cần và ðủ ðể f(x) hằng trên khoảng (a,b) là f’x) = 0 với mọi x Î (a,b) ịnh lý: Giả sử f có ðạo hàm trên khoảng (a,b) . Khi ðó ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số tãng trên (a,b) là f(x) ³ 0 với mọi xÎ (a,b). Týõng tự , ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số f(x) giảm trên (a,b) là f'(x) £ 0. Từ ðịnh lý này, ðể xét sự biến thiên của hàm số f(x) ta tính ðạo hàm f'(x)và xét dấu ðạo hàm. Việc xét dấu ðạo hàm cũng cho ta biết cực trị ðịa phýõng của hàm số theo ðịnh lý sau ðây: ịnh lý: ( ðiều kiện ðủ ðể có cực trị ðịa phýõng) Giả sử f(x) liên tục tại xo và có ðạo hàm trong một khoảng quanh xo (có thể trừ ðiểm xo). Khi ðó ta có: (i) Nếu khi x výợt qua xo mà f’x) ðổi dấu từ –sang + thì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng tại xo (ii) Nếu khi x výợt qua xo mà f'(x) ðổi dấu từ + sang –thì f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo (iii) Nếu khi x výợt qua xo mà f'(x) không ðổi dấu thì không có cực trị ðịa phýõng tại xo Ngoài cách khảo sát cực trị ðiạ phýõng bằng việc xét dấu ðạo hàm cấp 1 f'(x), ta còn có thể xét dấu của ðạo hàm cấp 2 f''(x) tại ðiểm xo, nhờ vào ðịnh lý sau : ịnh lý : Giả sử f(x) có ðạo hàm cấp 2 liên tục f''(xo) và f'(xo)=0. Khi ðó: (i) Nếu f''(xo) > 0 thì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng tại xo (ii) Nếu f''(xo) < 0 thì f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo Chú ý: ịnh lý trên có thể ðýợc mở rộng và ðýợc phát biểu nhý sau: Giả sử f(x) có ðạo hàm cấp n liên tục trên một khoảng chứa xo và giả sử : Khi ðó : (i) Nếu n chẵn thì f(x) ðạt cực trị (ðiạ phýõng) tại xo Hõn nữa nếu f(n)(xo) >0 thì f(x) ðạt cực tiểu tại xo nếu f(n)(xo) < 0 thì f(x) ðạt cực ðại tại xo (ii) Nếu n lẻ thì f(x) không ðạt cực trị tại xo Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Một vấn ðề có liên quan ðến cực trị là tìm gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất của một hàm số f(x) liên tục trên ðoạn [a,b]. ể tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của f(x) trên ðoạn [a,b] ta chỉ cần so sánh các gía trị của f tại 3 loại ðiểm : (1) Các ðiểm dừng ( tức là f' tại ðó bằng 0) (2) Các ðiểm kỳ dị ( tức là f' không tồn tại ở ðó) (3) Hai ðầu nút a và b. Ví dụ: 1) Tìm các khoảng tãng giảm của hàm số và tìm cực trị ðịa phýõng: Ta có: y’= 0 tại tại x = 1 và y’không xác ðịnh tại x = 0 Þ Bảng xét dấu của ý nhý sau: Vậy hàm số giảm trong khoảng(-¥ ,1) và tãng trong