Giáo án Phần I: Hệ thống các vấn đề cơ bản của toán 9

PHẦN I: HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9 ---***--- VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ: Kiến thức cơ bản Căn bậc hai Căn bậc hai số học Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 Một cách tổng quát: So sánh các căn bậc hai số học - Với hai số a và b không âm ta có: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn xác định (hay có nghĩa) A 0 Hằng đẳng thức Với mọi A ta có Như vậy: + nếu A 0 + nếu A < 0 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: + Đặc biệt với A 0 ta có Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có: Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm và b dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Đưa thừa số ra ngoài dấu căn Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có , tức là + Nếu A 0 và B 0 thì + Nếu A < 0 và B 0 thì Đưa thừa số vào trong dấu căn + Nếu A 0 và B 0 thì + Nếu A < 0 và B 0 thì Khử mẫu của biểu thức lấy căn - Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có Trục căn thức ở mẫu - Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có - Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có - Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có Căn bậc ba Khái niệm căn bậc ba: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a Với mọi a thì Tính chất Với a < b thì Với mọi a, b thì Với mọi a và thì Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên Căn bậc n Căn bậc n () của số a là một số mà lũy thừa n bằng a Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ Căn bậc lẻ của số dương là số dương Căn bậc lẻ của số âm là số âm Căn bậc lẻ của số 0 là số 0 Căn bậc chẵn (n = 2k ) Số âm không có căn bậc chẵn Căn bậc chẵn của số 0 là số 0 Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là và Các phép biến đổi căn thức. xác định với xác định với với A với A với A, B với A, B mà với A, B với A, B mà với A, B mà B 0 với A, B mà B 0, với A, mà với A, mà B. MỘT SỐ BÀI TẬP Cể LỜI GIẢI. Bài 1: Tớnh: a. b. B = + c. C = 5. + . + HƯỚNG DẪN GIẢI: a. . b. B = + = = = = 3 c. C = 5. + . + = 5. + . + = + + = 3 Bài 2: Cho biểu thức A = Nờu điều kiện xỏc định và rỳt biểu thức A Tim giỏ trị của x để A = . Tỡm giỏ trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện Với điều kiện đú, ta cú: b). Để A = thỡ (thỏa món điều kiện) Vậy thỡ A = c). Ta cú P = A - 9 = Áp dụng bất đẳng thức Cụ –si cho hai số dương ta cú: Suy ra: . Đẳng thức xảy ra khi Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức khi Bài 3: 1) Cho biểu thức . Tớnh giỏ trị của A khi x = 36 2) Rỳt gọn biểu thức (với ) 3) Với cỏc của biểu thức A và B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ trị của x nguyờn để giỏ trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyờn HƯỚNG DẪN GIẢI: 1) Với x = 36 (Thỏa món x >= 0), Ta cú : A = 2) Với x 0, x ạ 16 ta cú : B = = 3) Ta cú: . Để nguyờn, x nguyờn thỡ là ước của 2, mà Ư(2) = Ta cú bảng giỏ trị tương ứng: 1 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK , để nguyờn thỡ Bài 4: Cho biểu thức: a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện để P xác định là :; . Vậy P = b) ĐKXĐ: P = 2 = 2 Ta có: 1 + ị ị x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn). Bài 5:Cho biểu thức M = Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M Tìm x để M = 5 Tìm x Z để M Z. HƯỚNG DẪN GIẢI: M = a.ĐK 0,5đ Rút gọn M = Biến đổi ta có kết quả: M = M = Đối chiếu ĐK: Vậy x = 16 thì M = 5 c. M = Do M nên là ước của 4 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 Lập bảng giá trị ta được: vì Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 Rỳt gọn biểu thức P Tỡm a để P < 0 HƯỚNG DẪN GIẢI: P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 Vọ̃y P = Với a > 0 và a ≠ 1 Tỡm a để P < 0 Với a > 0 và a ≠ 1 nờn > 0 P = 1 ( TMĐK) Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) : Rỳt gọn Q Xỏc định giỏ trị của Q khi a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: Rỳt gọn: Q = - ( 1 + ) : = - . = - = = = Khi cú a = 3b ta cú: Q = = = Bài 8: Cho biểu thức a ) Rút gọn A; b) Biờ́t xy = 16. Tìm các giá trị của x, y đờ̉ A có giá trị nhỏ nhṍt, tìm giá trị đó. HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > 0 , y > 0 a) b) Ta có Do đó ( vì xy = 16 ) Vọ̃y min A = 1 khi Bài 9: Cho biểu thức: a) Tìm điờ̀u kiợ̀n đờ̉ P có nghĩa. b) Rút gọn biờ̉u thức P. c) Tính giá trị của P với . HƯỚNG DẪN GIẢI: a. Biờ̉u thức P có nghĩa khi và chỉ khi : b) Đkxđ : c) Thay vào biờ̉u thức , ta có: Bài 10: Cho biờ̉u thức: P = a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x đờ̉ P = -1 c) Tìm m đờ̉ với mọi giá trị x > 9 ta có: HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có: ĐKXĐ: Với x > 0 và ta có: P = ( Đk: x9) Với x > 0 , x thì P = P = - 1 ( ĐK: x > 0, ) Đặt đk y > 0 Ta có phương trình: Các hợ̀ sụ́: a + b + c = 4- 1-3 =0 ( khụng thoả mãn ĐKXĐ y > 0), ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0) Với thì x = ( thoả mãn đkxđ) Vọ̃y với x = thì P = - 1 c) (đk: x > 0; ) ( Do 4x > 0) Xét Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ) ( Hai phõn sụ́ dương cùng tử sụ́, phõn sụ́ nào có mõ̃u sụ́ lớn hơn thì nhỏ hơn) Theo kờ́t quả phõ̀n trờn ta có : Kờ́t luọ̃n: Với thì C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Câu 1 Cho biểu thức : Tim điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . Rút gọn biểu thức A . Giải phương trình theo x khi A = -2 . Câu2 Cho biểu thức : Rỳt gọn biểu thức . Tớnh giỏ trị của khi Câu3 Cho biểu thức : Rỳt gọn biểu thức A . Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . Câu4 Cho biểu thức : a) Rỳt gọn biểu thức A . b) Tớnh giỏ trị của A khi x = c) Với giỏ trị nào của x thỡ A đạt giỏ trị nhỏ nhất . Câu 5 Cho biểu thức : A = a. Tìm ĐKXĐ b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên. Câu 6 Cho biểu thức a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn P b) Tỡm giỏ trịn nguyờn của x để nhậ giỏ trị nguyờn. Câu 7 Cho a) Rút gọn P. b) Tìm a biết P > . c) Tìm a biết P = . Câu 8 Cho a) Chứng minh b) Tớnh P khi 2.Tớnh Câu 9 Cho biểu thức a) Rỳt gọn B. b) Tớnh giỏ trị của B khi . c) Chứng minh rằng với mọi gớa trị của x thỏa món . Câu 10 Cho a) Tỡm TXĐ b) Rỳt gọn biểu thức M. c) Tớnh giỏ trị của M tại . Câu 11 Cho biểu thức: . 1. Rỳt gọn biểu thức A. 2. Tỡm a ≥0 và a≠1 thoả món đẳng thức: A= -a2 Câu 12 Cho biểu thức: . 1. Rỳt gọn biểu thức trờn. 2. Tỡm giỏ trị của x và y để S=1. Câu 13 Cho biểu thức: . a. Chứng minh b. Tỡm số nguyờn x lớn nhất để Q cú giỏ trị là số nguyờn. Câu 14 Cho biểu thức: . 1. Rỳt gọn A. 2. Tỡm x để A = 0. Câu 15 Rỳt gọn biểu thức: . Câu 16 Cho biểu thức: . 1. Rỳt gọn biểu thức T. 2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luụn cú T<1/3. Câu 17 Cho biểu thức: 1. Rỳt gọn biểu thức M. 2. Tỡm x để M ≥ 2. Bài 18: Cho biểu thức : với m ≥ 0 ; n ≥ 1 a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm giỏ trị của A với . c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A. Bài 19: Cho biểu thức a) Rỳt gọn P. b) Tỡm a để Bài 20: Cho biểu thức a) Tỡm ĐKXĐ và Rỳt gọn P b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để nhận giỏ trị nguyờn. VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai : Phương trình bậc hai *) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt : *) Nếu phương trình có nghiệm kép : *) Nếu phương trình vô nghiệm. III. Công thức nghiệm thu gọn : Phương trình bậc hai và *) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt : *) Nếu phương trình có nghiệm kép : *) Nếu phương trình vô nghiệm. IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng : 1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì : 2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : (Điều kiện để có u và v là ) 3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : IV: Cỏc bộ điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm thỏa món đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) Û D ³ 0 2. Vô nghiệm Û D < 0 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) Û D > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu Û D³ 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c 0 B. MỘT SỐ BÀI TẬP Cể LỜI GIẢI: Bài 1. Giải các phương trình sau : Giải Vậy phương trình có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm Nhẩm nghiệm : Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm : Đặt . Ta có phương trình : a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 => phương trình có nghiệm : (thỏa mãn); (loại) Với: Vậy phương trình có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm (ĐKXĐ : ) Phương trình : => phương trình có hai nghiệm : (thỏa mãn ĐKXĐ) (thỏa mãn ĐKXĐ) Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : (1) a/ Giải phương trình với m = - 2. b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính theo m. c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : . d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5. e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại. f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m. HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình : Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b/ Phương trình : (1) Ta cú: Phương trình có nghiệm Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : *) *) c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm Khi đó Do đó => phương trình có hai nghiệm : Thử lại : +) Với => loại. +) Với => thỏa mãn. Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : . d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c) Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình : Thay vào (b) ta có phương trình : => phương trình có hai nghiệm phân biệt : Thử lại : +) Với => thỏa mãn. +) Với => thỏa mãn. Vậy với phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5. e/ Phương trình (1) có nghiệm Khi đó : Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3. f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có : Vậy hệ thức liờn hệ giữa x1; x2 khụng phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0 Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? HƯỚNG DẪN GIẢI: a) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ³ thì phương trình có nghiệm b) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm duy nhất Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (thoả mãn m ≠ 1) Khi đó x = +Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = với m = thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6 Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có: D’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = Do với mọi m; ị D > 0 với mọi m ị Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu Û a.c -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm Û S 0 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2= 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A ³ 10 Û 4m2 – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0 Vậy m ³ hoặc m Ê 0 e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: ị x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 Û x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) Û Vậy () Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có D’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau Vậy m = 2 b) Ta có D’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có nghiệm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m Ê 2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3) Từ (1) và (3) ta có: Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 Û m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 là giá trị cần tìm d) Với m Ê 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) Khi đó: (m≠1) (m≠1) ị y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 - .y + = 0 (m≠1) Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0 C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 * m : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ; Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . Xác định m và n để phương trình có 2 nghiệm là 3 và -2. HDẫn : Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là : mx2 + (mn + 1)x + n = 0 HDẫn : Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2) CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm . HDẫn : 26 > 0 có 1 biệt số không âm . Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x += 0 (1) và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2) CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm . HDẫn : ; có 1 biệt số không âm . Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung. x2 + 2x + m = 0 x2 + mx + 2 = 0 HDẫn : (m -2)x= m - 2 : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( vô nghiệm) + m 2 : x= 1 ; m = -3 Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung. x2 + (m - 2)x + 3 = 0 2x2 + mx + (m + 2) = 0 HDẫn : (m - 4)x= m - 4 : + m = 4 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = 0 ( vô nghiệm) + m 4 : x= 1 ; m = -2 Bài 8 : Gọi và là những nghiệm của phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1) Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn : HDẫn : * * (t/m) Bài 9 : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm ta có hệ thức : HDẫn : * * loại m = Bài 10: Cho phương trình . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để HDẫn : *= * Bài 11: Cho phương trình (1) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2 . hãy tìm m để HDẫn : *= * Bài 11: Cho phương trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x1<x2<4 HDẫn : *= 1>0 * x1= m , x2= m + 1 x1 < x2Do đó: Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện HDẫn : *= a2 - 4 0 * ( vì nên 4a2 - 8 > 0 ) Bài 13: Cho phương trình bậc hai 1-Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau. ( m =) 2-Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau. Bài 14: Tìm giá trị m để phương trình: a) 2x2 + mx + m - 3 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. ( 0<m <3) b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. (m = 1) Bài 15: Xác định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5. Bài 16: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai : . Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứngvới cạnh huyền là . HD GIẢI* * khi đó x1 = 1; x2 = 2 Bài 17: Cho hai phương trình (1) và (2) Tìm m và n để các phương trình (1) và (2) tương đương. H.DẪN *Phương trình (2) có ac = - 6<0 (2) có 2 nghiệm phân biệt. * * Thử lại, rút kết luận. Bài 18: Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương : (1) và (2) H.DẪN *Phương trình (1) có ac = - 9<0 (1) có 2 nghiệm phân biệt. * * Thử lại, rút kết luận. Bài 19: Cho phương trình . Tìm m sao cho A = đạt giá trị nhỏ nhất. * * Bài 20: Cho phương trình (1). Gọi là các nghiệm của phương trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của . * * = Bài 21: Cho phương trình có hai nghiệm . Chứng minh rằng biểu thức H = không phụ thuộc vào m. HƯỚNG DẪN: * * Bài 22: Cho phương trình có hai nghiệm . Chứng minh rằng biểu thức Q = không phụ thuộc vào giá trị của m. HƯỚNG DẪN: * * VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT) A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Hàm số bậc nhất Khái niệm hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0 Tính chất Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: Đồng biến trên R khi a > 0 Nghịch biến trên R khi a < 0 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó + + + + Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b -Hệ số a trong y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b II. Hàm số bậc hai Định nghĩa - Hàm số có dạng y = ax2 (a 0) Tính chất - Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và: + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 + Nếu a 0 Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị Kiến thức bổ xung Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*) Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*) + Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Đồ thị (C1): y = f(x) + b được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b đơn vị Đồ thị (C2): y = f(x + a) được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dưới Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên trờn Ox qua Oy. III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai. Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó: Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*) Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*) + Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. B. MỘT SỐ BÀI TẬP Cể LỜI GIẢI: Baứi taọp 1: Treõn cuứng maởt phaỳng toaù ủoọ cho Parabol (P) vaứ ủửụứng thaỳng (d) y=(m-2)x+1 vaứ (d’)y=-x+3 (m laứ tham soỏ ) . Xaực ủũnh m ủeồ (P) ,(d) vaứ (d’) coự ủieồm chung . Giaỷi: Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ (d’): 2x2=-x+32x2+x-3=0 (a+b+c=0) +Khi x=1 thỡ y=2 +Khi thỡ Vaọy (d’) caột (P) taùi 2 ủieồm phaõn bieọt ẹeồ (P) ,(d) vaứ (d’) coự ủieồm chung thỡ Vaọy vụựi m=3 hay m=thỡ (P) ,(d) vaứ (d’) coự 1 ủieồm chung Baứi taọp 2: Trong cuứng maởt phaỳng toaù ủoọ , cho (P) : vaứ ủửụứng thaỳng (d) : y=mx+1 (m laứ tham soỏ ).Xaực ủũnh m ủeồ : a) (d) tieỏp xuực (P) b)(d) caột (P) taùi 2 ủieồm phaõn bieọt . c) (d) vaứ (P) khoõng coự ủieồm chung . Giaỷi : Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ (d) laứ : x2+mx+1=0 (*) a) (d) tieỏp xuực (P)khi phửụng trỡnh (*) coự nghieọm keựp b) (d) caột (P) taùi 2 ủieồm phaõn bieọt khi (*) coự 2 nghieọm phaõn bieọt c) (d) vaứ (P) khoõng coự ủieồm chung khi (*) voõ nghieọm Baứi taọp 3: Cho (P) : vaứ (d) : Xaực ủũnh m ủeồ (d) caột (P)taùi 2 ủieồm A(xA; yA) ; B(xB; yB) sao cho : Giaỷi: Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ (d)laứ : Vaọy phửụng trỡnh (*) coự 2 nghieọm phaõn bieọt laứ xA ; xB Theo Vieựt ta coự : Vaọy vụựi thỡ (P) caột (d) taùi 2 ủieồm phaõn bieọt A;B Baứi taọp 4: Trong cuứng maởt phaỳng toaù ủoọ , cho (P) : , ủieồm M(0;2). ẹửụứng thaỳng (D) ủi qua M vaứ khoõng truứng vụựi Oy . Chửựng minh raống (d) caột (P)taùi 2 ủieồm phaõn bieọt sao cho Giaỷi: - Vỡ (D) ủi qua M(0;2) vaứ khoõng truứng vụựi Oy neõn coự daùng y=ax+b - neõn: 2=a.0+b b=2 vaứ (D): y=ax+2 Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ (D) laứ : Vỡ phửụng trỡnh (*) coự heọ soỏ a=1 ; c—4 (a.c<0) neõn (*) coự 2 nghieọm phaõn bieọt A(xA; yA) ; B(xB; yB) Theo heọ thửực Vieựt ta coự: C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng: y = x và y = 3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và .