Giáo án Hình học 11 tiết 45: Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

Tiết chương trình: 45 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA M ẶT CẦU VỚI M ẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG. Giáo viên: LÊ HỒNG SƠN Môn : HÌNH HỌC LỚP 11. Mục tiêu bài dạy, phương pháp: Kiến thức: Học sinh nắm vững vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng các tính chất của tiếp tuyến 2 Kỹ năng: Biết cách xác định thiết diện của mặt phẳng, vận dụng được các tính chất của tiếp tuyến Qua đó rèn luyện kỹ năng vẽ hình trong không gian. Tư duy: Phát triển tư duy trực quan và tư duy logic.Giúp học sinh thấy được ứng dụng của vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng trong việc giải các bài toán liên quan. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận chính xác Biết được ứng dụng của toán học trong thực tiễn Phương pháp: Đàm thoại , gợi mở,vấn đáp thông qua các hoạt động của tư duy,kết hợp với các hình ảnh trực quan (từ sự hỗ trợ của máy vi tính) Chuẩn bị: Giáo viên: Sách giáo khoa và sách bài tập lớp 11. Giáo án điện tử sử dụng phần mềm GEOMETER’S SKETCHPAD Máy vi tính, kèm máy chiếu đa phương tiện (Projector). Học sinh: Đọc,tìm hiểu và soạn bài “ Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng và đường thẳng” NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH BÀI DẠY Ổn định lớp: kiểm tra sĩ số,ổn định lớp học (1’) Kiểm tra bài cũ: kiểm tra các khái niệm ,tính chất của mặt cầu kết hợp trong quá trình xây dựng bài mới Nội dung bài mới: Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng (xuất hiện trên màn hình) 15' 10’ 15’ 4’ 1. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng Hiển thị lên màn hình. mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P) và cho mp(P) chuyển động với các vị trí khác nhau (có thể rà điểm Q trên màn hình để thấy ở nhiều góc độ) Câu hỏi: hãy cho biết mối quan hệ có thể xảy ra giữa khoảng cách d và bán kính R Câu hỏi: ứng với các vị trí đó có thể xảy ra các vị trí tương đối nào của mặt cầu và mặt phẳng Từ các nhận xét trên giáo viên nêu ra các trường hợp có thể xảy ra và đi vào chứng minh cụ thể các trường hợp Trường hợp1: d >R Giáo viên cho mp(P) chuyển đông và dừng lại ở vị trí d >R Câu hỏi: Khi d = OH > R cho biết Với mọi điểm M là điểm bất kỳ trên mp(P) thì vị trí tương đối của nó với mặt cầu như thế nào? Giáo viên nêu kết luận và cho xuất hiện kết quả trên màn hình Trường hợp2: d = R Giáo viên cho mp(P) chuyển đông và dừng lại ở vị trí d =R Câu hỏi: khi d = OH = R cho biết vị trí tương đối của H Và mọi điểm M (không trùng H) là điểm bất kỳ trên mp(P) với mặt cầu như thế nào? Giáo viên nêu kết luận và cho xuất hiện kết quả trên màn hình Trường hợp3: d < R Giáo viên cho mp(P) chuyển đông và dừng lại ở vị trí d < R Câu hỏi: khi d < R ta có nhận xét gì về vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng ? Câu hỏi: hãy phán đoán thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng? Giáo viên bấm máy cho mặt phẳng cắt rời mặt phẳng làm hai phần cho học sinh thấy mặt cắt ở trường hợp “phẳng” Câu hỏi: hãy tính khoảng cách của MH theo R và d Câu hỏi: khi đó hãy cho biết điểm M nằm trên đường gì? Giáo viên nêu kết luận và cho xuất hiện kết quả trên màn hình Ví dụ Giáo viên đọc đề và cho xuất hiên trên màn hình đề và hình vẽ Câu hỏi: hãy cho biết vị trí tương đối của mp(P) và mặt cầu S(O;R) xác định thiết diện ? Giáo viên chính xác hóa lại lời giải và cho xuất hiện lời giải tóm tắt trên màn hình 2. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng Giáo viên cho hiển thị trên màn hình lần lượt một mặt cầu và một đường thẳng đi qua tâm O Câu hỏi: khi đường thẳng đi qua O thì đường thẳng cắt mặt cầu tại mấy điểm và có nhận xét gì về hai điểm đó? Giáo viên cho hiển thị trên màn hình đường thẳng D không đi qua O và cho di động trên màn hình Câu hỏi: mp(D;O) cắt mặt cầu theo thiết diện nào ? Câu hỏi: để xét vị trí tương đối của đường thẳng D và mặt cầu ta dựa trên cơ sở nào? Đường tròn C(O;R) có liên quan gì đến vị trí của D và mặt cầu ? Giáo viên tổng kết các trường hợp xảy ra nêu các khái niệm tiếp điểm,tiếp tuyến và cho hiển thị kết quả trên màn hình 3. Các tính chất của tiếp tuyến: Định lí 1: Giáo viên nêu định lí 1 và cho hiển thị định lí lên màn hình Giáo viên cho hiển thị hình vẽ trên màn hình Câu hỏi: theo định nghĩa tiếp tuyến của một mặt cầu thì để một đường thẳng đi qua điểm A nằm trên mặt cầu phải thỏa mãn điều kiện gì để nó là tiếp tuyến của mặt cầu? Giáo viên cho đường thẳng a quay quanh điểm A Câu hỏi: có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A thỏa mãn tính chất đỏ ? và các đường thẳng đó có chung điều gì ngoài tính chất trên ? Giáo viên tổng kết và cho hiển thị lời giải tóm tắt trên màn hình Câu hỏi: Hãy liên hệ với tiếp tuyến đi qua một điểm nằm trên đường tròn trong mặt phẳng ? Vậy với điểm A nằm ngoài mặt cầu (S) ta có điều gì giống và khác với điểm A nằm trên mặt cầu Định lí 2: Giáo viên nêu định lí2 và cho hiển thị định lí lên màn hình Giáo viên cho hiển thị hình vẽ trên màn hình Câu hỏi: gọi (P) là mặt phẳng qua AO và cắt mặt cầu theo đường tròn lớn C(O;R) khi đó tiếp tuyến của đường tròn lớn có phải là tiếp tuyến của của mặt cầu hay không ? vì sao ? Giáo viên cho mp(P) quay quanh AO Câu hỏi: khi mp(P) quay quanh AO thì tiếp tuyến AM và AM’ có còn là tiếp tuyến của đường tròn không ? Từ đó ta có kết luận gì ? Câu hỏi: hãy tính độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm theo d và R ? Từ đó ta có kết luận gì ? Giáo viên tổng kết chứng minh và cho xuất hiện lời giải tóm tắt trên màn hình Câu hỏi: Hãy liên hệ với tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn trong mặt phẳng ? Ví dụ: Giáo viên đọc đề bài và cho hiển thị lên màn hình Giáo viên cho hiển thị từng bước vẽ hình rên màn hình Câu hỏi: để tính đoạn AB ta phải làm gì ? Giáo viên chính xác hóa lại và cho hiển thị lời giải tóm tắt trên màn hình Giáo viên cho xuất hiên hình chiếu H của O lên đoạn CD trên màn hình Câu hỏi: để tính đoạn OH ta phải làm gì ? 4. CỦNG CỐ: +Củng cố từng phần trong các ví dụ +Nhắc lại các vị trí tương đối của mặt cầu với một mặt phẳng + Nhắc lại các vị trí tương đối của mặt cầu với một d ư ờng th ẳng (Giáo viên cho xuất hiện lại trên màn hình các kết quả của từng trường hợp) Học sinh quan sát bằng trực quan trên màn hình Học sinh phát hiện: d >R d = R d < R Học sinh phát hiện bằng trực quan có thể xảy ra ba trường hợp Học sinh quan sát bằng trực quan trên màn hình và trả lời câu hỏi: OH = d > R Học sinh trả lời M nằm ngoài mặt cầu (S) và nhận biét được mp(P) và mặt cầu không có điểm chung Học sinh nhận biết mp(P) và mặt cầu (S) chỉ có một điểm chung duy nhất là H Học sinh quan sát bằng trực quan trả lời câu hỏi Mặt phẳng cắt mặt cầu Học sinh nêu phán đoán của mình Học sinh tính được MH = r = Học sinh phát hiện M nằm trên đường tròn C(H;r) Học sinh theo dõi Học sinh dựa vào khoảng cách d < R để trả lời Một em nêu cách tinh r cả lớp tính và cho kết quả Học sinh quan sát bằng trực quan trên màn hình và trả lời Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm A và B với AB là đường kính của mặt cầu Học sinh trả lời và cho nhận xét về thiết diện có tính chất gì đặc biệt Từ cơ sở trên học sinh phát hiện số giao điểm của D và đường tròn lớn C(O;R) là số giao điểm của D và mặt cầu S(O;R) Học sinh nắm vững giả thiết ,kết luận Học sinh quan sát Học sinh phát biểu điều kiện để một đường thẳng đi qua điểm A nằm trên mặt cầu trở thành một tiếp tuyến Học sinh quan sát Học sinh nhận ra có vô số đường thẳng đi qua A thỏa mãn điều kiện trên Học sinh có thể phát hiện ra các đường thẳng đều nằm trên tiếp diện cuả mặt cầu tại điểm A Học sinh liên hệ với tiếp tuyến của một điểm nằm trên đường tròn trong mặt phẳng Học sinh nắm vững giả thiết ,kết luận Học sinh quan sát Học chứng minh tiếp tuyến của đườn tròn lớn cũng là tiếp tuyến của mặt cầu Học sinh quan sát trực quan trên màn hình rồi đưa ra nhận xét Có vô số tiếp tuyến Học sinh tính và đưa ra kết luận khoảng cách AM không đổi khi mp(P) thay đỏi Học sinh liên hệ với tiếp tuyến của một điểm nằm ngoài đường tròn trong mặt phẳng Học sinh tính đoạn AB theo công thức Pitago cho tam giác vuông ABO và trả lời kết quả Học sinh phát hiện tính được OH = Học sinh dã làm trong các ví dụ Học sinh nêu lại các vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng 1. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng Có ba khả năng d > R d = R d < R Trường hợp1: d >R M là điểm bất kỳ trên mp(P) OM ³ OH = d > R (S) Ç (P) = Æ Vậy mọi điểm M đều nằm ngoài mặt cầu (S) Trường hợp2: d = R HÎ (S) và "M Î (P),M ¹ H OM > OH vậy (S) Ç (P) = {H} + mp(P)tiếp xúc mặt cấu(O;R) tại H + Điểm H gọi là tiếp điểm + mp(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) Trường hợp3: d < R Mp(P) cắt mặt cầu theo một đường tròn C(H;r) với r = Chú ý: khi d = 0 (S) Ç (P) = C(O;R) C(O;R) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R) Ví dụ: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với mặt cầ S(O;R) biết khoảng cách từ O đến (P) là Hướng dẫn: d < R nên mp(P) cắt mặt cầu S(O;R) theo đường tròn C(H;r) r = Vậy thiết diện là đương tròn tâm H bán kính r = 2. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng Nếu D đi qua O thì D cắt mặt cầu tại hai điểm A,B với AB là đường kính của mặt cầu Nếu D không đi qua O: + d > R , D Ç (S) = Æ + d = R , D Ç (S) = {H}khi đó D tiếp xúc mặt cầu tại H, điểm H gọi là tiếp điểm. Đường thẳng D gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) + d < R , D cắt (S) tại hai điểm 3. Các tính chất của tiếp tuyến: Định lí 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S).Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A Hương dẫn chứng minh: Mọi đường thẳng đi qua A và vuông góc với OA đều là tiếp tuyếncủa mặt cầu S(O;R) tại A Có vô số tiếp tuyến và các tiếp tuyến này nằm trong mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu tại A Định lí 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau Hướng dẫn chứng minh: Đặt OA = d , d > R Gọi (P) là mặt phẳng tùy ý đi qua AO,mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn C(O;R). Vì A nằm ngoài (S) nên cũng nằm ngoài (C).Do đó có hai tiếp tuyến AM và AM’tới đường tròn (C). Đó cũng là tiếp tuyến của mặt cầu (S).Cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng vẫn đi qua O ta có vô số tiếp tuyến của mặt cầu. Tam giác AOM vuông tại M nên AM2 = AO2 – OM2 = d2 – R2 AM = Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau Ví dụ: Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A,biết OA = 2a,qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với S tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D,biết CD = a a)Tính AB b)Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD Hướng dẫn: a) Tao có AB ^ OB b) Goih H là hình chiếu của O lên CD ta có OC = OD = a IV Dặn dò: học kỹ bài và làm bài tập trang 108 và 109 SGK