Giáo án Hình học 11 nâng cao - Véc tơ trong không gian - Quan hệ vuông góc - Chương III

§1 Véc tơ trong không gian – Sự đồng phẳng của các véc tơ. Công thức hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì G là trọng tâm của tứ diện ABCD Û một trong hai điều kiện sau xảy ra: a) ; b) . Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Định lý 1: không cùng phương. Khi đó đồng phẳng Û $! cặp số (m, n)| . Định lý 2: không đồng phẳng Þ",$! Bộ ba số (m, n, p)| Bài tập áp dụng: 1. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định các điểm E và F sao cho: 2. Cho hai véc tơ . Chứng minh rằng 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: a) Có điểm O sao cho b) Với một điểm M bất kỳ, ta luôn có: Từ đó suy ra điểm O nói trong câu a) là duy nhất. 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và một điểm P nào đó. Cho biết: . Hãy biểu diễn qua các véc tơ các véc tơ . 5. Cho hình tứ diện OABC. Đặt Hãy biểu diễn qua các véc tơ các véc tơ sau: trong đó D, E là trung điểm của OA, BC, F là trọng tâm của tam giác OBC. trong đó M là trọng tâm của tam giác ABC. 6. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB’. Chứng minh rằng 8. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng: 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4PQ2. 10. Chứng minh công thức tính diện tích DABC: 11. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Đặt . Chứng minh rằng ba véc tơ không đồng phẳng và hãy biểu diễn véc tơ theo ba véc tơ đó. 12. Cho hai điểm A B và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm trên đường thẳng AB là là trong đó k + l = 1, k và l không phụ thuộc vị trí điểm O. Với điều kiện nào của k, l thì M thuộc đoạn AB? 13. Trong không gian cho DABC và điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm trên mặt phẳng (ABC) là , trong đó k + l + m = 1, k, l, m không phụ thuộc vào vị trí của điểm O. Với điều kiện nào của k, l, m thì M nằm trong DABC. 14. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Đặt . Hãy biểu thị các véc tơ sau đây qua các véc tơ : 15. Cho lục giác đều ABCDEF. a) Biểu thị véc tơ và theo các véc tơ và . b) Biểu thị véc tơ và theo các véc tơ và . 16. Cho tứ diện OABC, M là trung điểm của BC. Hãy biểu thị véc tơ theo các véc tơ §2 Hai đường thẳng vuông góc. Định nghĩa 1: (a, b) = (D1, D2) trong đó D1 Ç D2 = O, D1 // a, D2 // b. Định nghĩa 2: a ^ b Û (a, b) = 900. §3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Định nghĩa 1: a ^ (a) Û a ^ "D Ì (a). Định lý 1: . Các tính chất: 1. $! mp(a)ïO Î (a), a ^ (a) với điểm O và đường thẳng a cho trước. 2. $! Đường thẳng D ï O Î D, D ^ (a) với điểm O và mp(a) cho trước. 3. + (a) ^ a, a // b Þ (a) ^ b. + a ≠ b, a ^ (a), b ^ (a) Þ a // b. 4. + a ^ (a), (a) // (b) Þ a ^ (b). + (a) ≠ (b), (a)^ a, (b)^ a Þ (a) // (b). 5. + a // (a), D ^ (a) Þ D ^ a. + a ^ D, (a) ^ D, a Ë (a) Þ a // (a). Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mp(P) theo phương l ^ mp(P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mp(P). Định lý ba đường vuông góc: Định nghĩa 3: + a ^ (a) Û (a, (a)) = 900. + a ^ (a) thì (a, (a)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (a). Bài tập áp dụng: 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng: AC ^ B’D’, AB’ ^ CD’, AD’ ^ CB’. 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai đường thảng AB và DM. 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) CMR: đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD. 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm nằm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng (a) đi qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) CMR: MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt x = AM, Tính diện tích của MNPQ theo a và x. 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. a) CMR: BC ^ AD. b) I là trung điểm BC, AH là đường cao DADI. CMR: AH ^ mp(BCD). 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SB = SC = SD. CMR: a) SO ^ mp(ABCD). b) AC ^ SD. 7. Cho (C) là đường tròn tâm O nằm trên mp(a). Đường thẳng D đi qua O và D ^ mp(a) được gọi là trục của đường tròn (C). CMR: quỹ tích những điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 8. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ^ (ABCD). CMR: CD ^ (SAD) và CB ^ (SAB). 9. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy có góc nhọn bằng 600, hính chiếu A’’ của đỉnh A’ trùng với giao điểm của hai đường chéo đáy. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. 10. Lăng trụ ABC.A’B’C’, H là trực tâm DABC, A’H ^ (ABC). a) CMR: AA’ ^ BC b) Gọi MM’ = (AHA’) (BCC’B’). CMR: BC. 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. CMR: BD ^ mp(SAC) và tìm x đê diện tích DSAC lớn nhất. 12. Dựng một mp(P) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d cho trước. 13. Dựng một đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mp(P) cho trước. 14. Cho mp(P); hai đường thẳng d1, d2. Dựng đường thẳng d cắt cả d1 và d2 và ^ (P). 15. Cho bốn đường thẳng d1, d2, d3, d4. Dựng một đường thẳng d vuông góc với d1, d2 và cắt các đường thẳng d3, d4. §4 Hai mặt phẳng vuông góc. Định nghĩa 1: ((P), (Q)) = (a, b) trong đó a ^ (P), b ^ (Q). Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: + ((P), (Q)) = 00 Û (P) // (Q) hoặc (P) º (Q). + (P) Ç (Q) = D, (R) ^ D, (R) Ç (P) = p, (R) Ç (Q) = q thì ((P), (Q)) = (p, q). Định lý 1: Đa giác (H) Ì mp(P), đa giác (H’) là hình chiếu của (H) trên mp(P’), j = ((P), (P’)) thì S(H’) = S(H).cosj. Định nghĩa 2: (P) ^ (Q) Û ((P), (Q)) = 900. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Định lý 2: a Ì (P) và a ^ (Q) thì (P) ^ (Q). Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc: + Định lý 3: (P) Ç (Q) = c, (P) ^ (Q), a Ì (P), a ^ c thì a ^ (Q). Hệ quả 1: (P) ^ (Q), A Î a, a ^ (Q) thì a Ì (P). Hệ quả 2: (P) Ç (Q) = a, (P) ^ (R), (Q) ^ (R) thì a ^ (R). Hệ quả 3:Qua đường thẳng a không vuông góc với mp(P), tồn tại duy nhất mp(Q) vuông góc với mp(P). Học sinh nắm chắc các khái niệm và tính cất của một số hình sau: + Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng đều là những hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy. + Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau. + Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Bốn mặt bên của hình hộp đứng là bốn hình chữ nhật. + Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật. Ngược lại, nếu cả sáu mặt của một hình hộp đều là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật. + Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình hộp chữ nhật mà diện tích các mặt đều bằng nhau là hình lập phương. + Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy. Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau. + Hình chóp cụt đều: Cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy ta được một hình chóp cụt đều. Trong hình chóp cụt đều, các mặt bên đều là những hình thang cân bằng nhau. Bài tập áp dụng: 1. Cho hai mặt phẳng (P) Ç (Q) = a và điểm M. Chứng minh rằng qua M có một và chỉ một mp(R) vuông góc với cả (P) và (Q). Nếu (P) // (Q) thì kết quả trên thay đổi như thế nào? 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. CMR: DSBD vuông và mp(ABCD) ^ mp(SBD). 3. Cho I là trung điểm của cạnhBC của tam giác đều ABC cạnha, D là điểm đối xứng của A qua I. Dựng đoạn vuông góc với mp(ABC). CMR: a) mp(SAB) ^ (SAC); b) mp(SBC) ^ mp(SAD). 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: AB’ và BC’, AC’ và CD’. b) Gọi M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, C’D’. Hãy tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: MN và C’D’, BD và AD’, MN và AP, A’P và DN. 5. Từ một điểm M nằm ngoài mp(P), hạ đường vuông góc MA và hai đường xiên MB, MC tới mp(P). Biết MA = a, MB, MC đều tạo với mp(P) một góc 300 và MB ^ MC. Tính đoạn BC và tính góc ((MBC), (ABC)). 6. Cho hình chóp tam guác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. b) Tính góc giữa mặt bên và đáy. 7. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cá tất cả các cạnh đáy đều bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mp(A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. Tính độ dài đoạn AH và các góc j = (BC, AC’), Y = ((ABB’A’), (ABC)). 8. Cho DABC có cạnh huyền BC Ì mp(P). Gọi b = (AB, (P)), g = (AC, (P)), a = ((ABC), (P)). CMR: sin2a = sin2b + sin2g. 9. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại O. OA = a, OB = b, OC = c. Gọi a, b, g lần lượt là góc hợp bởi các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) với mp(ABC). CMR: cos2a + cosb + cos2g = 1. 10. a) CMR: Nếu đường chéo của một hình hộp chữ nhật tạo với hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh một góc 600 và 450 thì nó làm với cạnh thứ ba một góc 600. b) Trong hình hộp chữ nhật đường chéo tạo với ba cạnh xuất phát từ một đỉnh ba góc a, b, g. CMR: cos2a + cosb + cos2g = 1. §5 Khoảng cách d(M, (a)) = MH (H là hình chiếu của M trên mp(a)). d(a, (a)) = AH trong đó a // (a), A là điểm bất kỳ thuộc a còn H là hình chiếu của A trên (a) d((a), (b)) = d(A, (b)) trong đó (a) // (b), A là điểm bất kỳ thuộc (a). d(a, b) = IJ trong đó a và b chéo nhau, IJ là đoạn vuông góc chung của a và b. Bài tập áp dụng: 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. CMR: khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ tới đường chéo AC’ bằng nhau. Tính khoảng cách đó. 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Tính các khoảng cách sau: a) d(B, (ACC’A’)); b) d(BB’, AC’). 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) CMR: B’D ^ mp(BA’C’) và B’D ^ mp(ACD’). b) Tính các khoảng cách d((BA’C’), (ACD’)) và d(BC’, CD’). 4. Cho tứ diện ABCD với AC = BD, AD = BC. CMR: đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh AB và CD là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. 5. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh AB và CD là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD thì AC = BD và AD = BC. 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = a. Xác định và tính khoảng cách của các cặp đường thẳng sau: a) SB và AD; b) SC và BD; c) SB và CD. 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và Gọi I, J là trung điểm của AD, BC. a) CMR: mp(SIJ) ^ mp(SBC). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. 8. Cho đường thẳng d, ứng vơia mỗi điểm M trong không gian hạ MH ^ d. Trên tia MH lấy điểm M’ sao cho H là trung điểm của MM’, ta nói M’ = Đd(M). a) CMR: trong phép đối xứng trục, ảnh của mp(P) là mp(P’). b) Xác định vị trí tương đối của d và (P’) khi Ì d (P), d ^ (P) và d xiên góc với (P). Bài tập ôn tập chương III: 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA ^ (ABCD). a) CMR: các mặt bên là những hình vuông. b) Mp(a) đi qua A và (a) ^ SC, mp(a) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. CMR: B’D’ // BD và AB’ ^ SB. c) M là một điểm trên đoạn BC, K là hình chiếu của S trên DM. Tìm quỹ tích những điểm K khi M di động trrên đoạn BC. d) Đặt BM = x. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất của SK. 2. Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a. Góc BAD bằng 600. SO ^ (ABCD) và SO = 3a/4.Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE. a) CMR: (SBC) ^ (SOF). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mp(SBC). c) Gọi (a) là mặt phẳng đi qua AD và (a) ^ (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(a) và tính diện tích của thiết diện này. d) Tính góc giữa hai mp(a) và mp(ABCD). 3. Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a thuộc hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi H, K, E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA, SB. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) và tan((SAB), (SCD)). b) Gọi G = CE Ç DF. CMR: CE ^ SA và DF ^ SB. Tính tan((GEF), (SAB)). c) CMR: G là trọng tâm của tam giác SHK. Tính d(G, (SCD)). d) Gọi M là điểm di động trên SA. Tìm quỹ tích hình chiếu của S trên (CDM). 4. Trong mp(a) cho đường tròn (O; R), đường kính CD cố định, EF là một dây song song hoặc trùng với CD. Trên đường thẳng d ^ (a) tại O lấy điểm SïSO = . Gọi H là trung điểm của EF. a) Giả sử EF // CD. CMR: (SEF) ^ (SOH). b) Tính SE, SF và góc (SE, SF). c) Gọi I, M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp DSCD và DSEF. Giả sử 0 < OH < R. CMR: IM (SEF). d) Giả sử . Tìm tập hợp những điểm M. 5. Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng . a) Tính d(S, (ABCD)). b) (a) là mặt phẳng đi qua A và (a) ^ SC. Xác định thiết diện của hình chóp. c) Tính diện tích của thiết diện nói trên. d) Tính sin(AB, (a)). 6. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AD = 2a, AB = BC = a. S là điểm trên tia Ax vuông góc với mp(ABCD). Gọi C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SC, SD. a) CMR: b) CMR: AD’, AC’ và AB cùng nằm trong một mặt phẳng. Từ đó chứng minh rằng C’D’ đi qua một điểm cố định khi S di động trên Ax. c) Cho . Tính diện tích tứ giác ABC’D’. d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳngAB và SC khi . 7. Cho ình lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) CMR: BC’ ^ mp(A’B’CD). b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’ 8. Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, các cạnh bên đều bằng a. a) Tính d(S, (ABCD)). b) Tính d(O, (SCD)). c) Gọi (a) là mặt phẳng đi qua AB và (a) ^ (SCD), (a) cắt SC, SD tại M, N. Hãy xác định các điểm M, N và tính diện tích tứ giác ABMN. 9. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên đều bằng Gọi (a) là mặt phẳng đi qua A, song song với BC và vuông góc với mp(SBC). Gọi I là trung điểm của BC. a) Hãy xác định mp(a). Mp(a) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? b) Tính d(I, (a)). c) Tính sin(AB, (a)). 10. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Trên hai tia Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho Đặt a) CMR: tana.tanb = 1. Kết luận được gì về hai góc a và b? b) CMR: mp(ACM) ^ mp(CAN). c) Gọi H là hình chiếu của O trên MN. Tính OH. Từ đó CMR: AH ^ HC và mp(AMN) ^ mp(CMN). 11. DABC có đỉnh A Î (a). B’, C’ là hình chiếu của B, C trên a sao cho DAB’C’ là tam giác đều cạnh a. Giả sử BB’ = , CC’ = a. a) Gọi I = BC Ç B’C’. CMR: IA ^ AC. b) Tính diện tích của DABC, từ đó suy ra góc j = ((a), (ABC)). 12. Cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt cùng phía và vuông góc với mp(ABCD), mp(a) cắt Ax, By, Cz, Dt tại A’, B’, C’, D’. a) A’B’C’D’ là hình gì? CMR: AA’ + CC’ = BB’ + DD’. b) CMR: điều kiện để A’B’C’D’ là hình thoi là A’B’C’D’ có hai đỉnh đối cách đều mp(ABCD). c) CMR: điều kiện để A’B’C’D’ là hình chữ nhật là A’B’C’D’ có hai đỉnh kề cách đều mp(ABCD). 13. Tam giác đều ABC cạnh a có hai đỉnh B, C nằm trên mp(a) còn d(A, (a)) = a/2. a) Tính sinj với j = ((a), (ABC)). b) Gọi E, F là các điểm xác định bởi Tính diện tích hình chiếu của DAEF trên mp(a). 14. DABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a. Trên hai tia Ax, Cy cùng phía và vuông góc với mp(ABC) lấy lần lượt hai điểm A’, C’ sao cho AA’ = 2a, CC’ = x. a) Xác định x sao cho . b) Xác định x sao cho . c) Cho x = 4ª, tính cosj với j = ((ABC), (A’BC’)). 15. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của AD, AB, CC’. a) Dựng và tính diện tích thiết diện của hình lập phương với mp(EFM). b) Tính cosj với j = ((ABCD), (EFM)). 16. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, a) Tính SC và d(S, (ABCD)). b) CMR: (SAC) ^ (ABCD) và SB ^ BC. c) Tính tanj với j = ((SBD), (ABCD)). 17. Tứ diện SABC có a) Tính ((SBC), (ABC)). b) Tính đường cao AK của tam giác AMC. c) Tính tanj với j = ((SMC), (ABC)). d) Tính d(A, (SMC)).