Giáo án Đại số lớp 11 tiết 41: Cấp số cộng

Ngày soạn : Ngày dạy: ___/__/_____ Tiết 41. CẤP SỐ CỘNG I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: Giúp học sinh nắm: - Biết khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. 2. Kĩ năng: - Biết sử dụng các công thức và tính chất của cấp số cộng để giải các bài toán: Tìm các yếu tố còn lại khi biết bá trong 5 yếu tố u1, un, n, d, Sn. 3. Thái độ: - Tự tin và có lập trường khi thế giới quan về môi trường sống được nâng cao thêm một bước . II. Tiến trình tổ chức giờ học : Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung bài học Hoạt động 1: Định nghĩa Mục tiêu : Tg : ĐDDH : PP : * Cách thức tiến hành : GV: Yêu cầu Hs giải 1 HS: Giải GV: Lưu ý có thể có nhiều quy luật. Nên có thể hỏi gợi ý: Xét hiệu hai số hạng liên tiếp từ trái sang phải? GV: Từ đó giới thiệu định nghĩa GV: Yêu cầu HS giải ví dụ 1 HS: Giải GV: HD xem lại định nghĩa Hoạt động 2: Số hạng tổng quát Mục tiêu : Tg : ĐDDH : PP : * Cách thức tiến hành : GV: Yêu cầu HS giải ví dụ 1’ HS: Giải GV: Gợi ý Aùp dụng dụng nghĩa (có thể viết tiếp đến u100) nhưng chúng ta có thể tìm quy luật (thứ của số hạng với bội số của bốn). GV: Từ đó dự đoán công thức tổng quát GV: Gợïi ý cho học sinh chứng minh các tính chất bằng phương pháp qui nạp GV: Có thể giới thiệu cách chứng minh khác GV: Yêu cầu HS giải VD2 HS: Giải GV: HD (nếu cần) Vận dụng định lý GV: Đây là tính chất đặc trưng của cấp số cộng mà ta sẽ xét dưới đây Hoạt động 3: Tính chất các số hạng của cấp số cộng Mục tiêu : Tg : ĐDDH : PP : * Cách thức tiến hành : GV: Giới thiệu định lý Yêu cầu HS chứng minh HS: Chứng minh GV: HD (nếu cần) Dựa vào định lý về số hạng tổng quát của một cấp số cộng, hãy chỉ ra : uk-1 = ? uk+1 = ? Từ đó suy ra : uk-1 + uk+1 = ? Hoạt động 4: Tổng N số hạng đầu của một cấp số cộng Mục tiêu : Tg : ĐDDH : PP : * Cách thức tiến hành : GV: Giới thiệu định lý GV: Yêu cầu HS giải Ví dụ HS: Giải GV: HD Trong dãy số lẻ nguyên dương u1 = ? d = ? (u1 = 1; d = 2) Từ đó suy ra Sn = ? I. ĐỊNH NGHĨA 1 Giải - Quy luật: + u1= -1 + Kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi 4. - 15, 19, 23, 27, 31. Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo định nghĩa, ta có : un+1=un+d (n=1, 2, ) (2) Ví dụ 1: a) Dãy số sau có là cấp số cộng không? Vì sao? -5, -2, 1, 4, 7, 10. b) Cho (un) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u1=9, d= -5. Viết dạng khai triển của nó. Giải a) Vì -2= -5+3; 1= -2+3; 4=1+3; 7=4+3; 10=7+3. Nên theo định nghĩa, dãy số -5, -2, 1, 4, 7, 10 là một cấp số cộng với công sai d=3. b) 9, 4, -1, -6, -11, -16. II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT : Ví dụ 1’: Cho (un) là một cấp số cộng với u1=3, d= 4. Tìm u100? Giải Aùp dụng định nghĩa ta có: u2=u1+4 u3=u2+4= u1+2.4 u4=u3+4= u1+3.4 u5=u4+4= u1+4.4 Suy ra u100=u1+(100-1).4=3+396=399 Định lý 1: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được cho bởi công thức : un = u1 + (n-1)d với n³2 (2) Chứng minh : Bằng phương pháp qui nạp * Khi n = 2 thì u2 = u1+d, vậy công thức (2) đúng * Giả thiết công thức của (2) đúng với n = k (k2), tức là uk=u1+(k-1)d. Ta sẽ chứng minh rằng (2) cũng đúng với n=k+1, tức là chứng minh : uk+1=u1+kd. Thật vậy, theo định nghĩa cấp số cộng và giả thuyết quy nạp ta có: uk+1=uk+d = [u1+(k-1)d]+d = u1+kd Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) biết d = 2 và u1 = -7 a) Tìm u16 b) Số 53 là số hạng thứ bao nhiêu ?(Hay biết um=53. Tìm m) c) Biểu diễn 5 số hạng đầu trên trục số. Nhận xét vị trí mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề Giải : a) Theo công thức (2) ta có un = u1+(n-1)d u16 = -7 + (16-1).2 = 23 b) Theo công thức (2) ta có um = -7+(m-1)2. Vì um=53 nên -7+(m-1)2=53, từ đó m=31 c) Năm số hạng đầu của cấp số cộng là -7, -5, -3, -1, 1 được biểu diễn bởi các điểm u1, u2, u3, u4, u5 tương ứng trên hình (tự vẽ) Điểm u2 là trung điểm của đoạn u1u3, hay . Ta cũng có kết quả tương tự đối với u3, u4. III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG : Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối), đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là : Chứng minh : Giả sử (un) là cấp số cộng với công sai d. Sử dụng công thức (1) với k³2, ta có: IV. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG : Định lý 3: Cho cấp số cộng (un) với công sai d tính tổng Sn của n số hạng đầu của nó (Sn = u1 + u2 + + un). Khi đó: * Sn tính theo u1 và un (4) * Sn tính theo u1 và d (4’) Ví dụ : Tính tổng n số lẻ nguyên dương đầu tiên Giải : u1 = 1 ; d = 2 ; un = 2n – 1 nên Sn = n2 1. Củng cố và luyện tập: - Trình bày lại các công thức đã học? 2. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà: - Xem l¹i bµi. - Giải các bài tập trong SGK /97,98 - Chuẩn bị luyện tập. - Soạn bài “Cấp số nhân”. - Chuẩn bị thi HKI. IV. Rút kinh nghiệm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .