Giáo án Đại số & giải tích 11 CB kì 2

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN Đ1. Giới hạn của dóy số (Tiết 51, 52, 53) I. Mục tiờu: 1.Kiến thức: HS nắm được: Định nghĩa giới hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Giới hạn tại vô cực. 2. Kĩ năng: Vận dụng thành thạo tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của dãy số. Vận dụng giới hạn của dãy số để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 3. Thái độ Tự giác, tích cực trong hoac tập. Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. Tư duy các vấn đề của toán học một cách loogic và hệ thống. II. Tiến trỡnh dạy học Đặt vấn đề : Câu hỏi 1 Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau đây: a) ; b) un = n2 + 1. Câu hỏi 2 Xét tính bị chặn của các dãy số sau đây: a) b) Bài mới : Tiết 51 Giới hạn hữu hạn của dóy số: HOẠT ĐỘNG 1 1. Định nghĩa Thực hiện 1 trong 5 ‘. Hãy điền vào ô sau n 1 2 3 4 5 un Sau đó GV đưa ra các câu hỏi sau: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi thê nào khi ntrở nên rất lớn. Câu hỏi 2. n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ unđến 0 bằng 0,01 Câu hỏi 3 n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un đến 0 bằng 0,001 Gợi ý trả lời hỏi 1. Khoảng cách đó bằng 0 Gợi ý trả lời hỏi 2 n= 100. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 n = 1000. GV đặt vấn đề : Ta biết rằng dãy số đã cho là dãy số giảm. Vậy : Bắt đầu từ số hạng un nào cảu dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001. GV cho HS trả lời và từ đó cho HS phát biểu định nghĩa, GV nhận xét rồi đưa ra định nghĩa sau: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu /un/ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Kí hiệu : hay khi Như vậy, (un)có giới hạn là 0 khi n nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đử lớn. GV đưa ra một số câu hỏi củng cố: H1. Nêu một vài ví dụ về dãy số dần tới 0 khi n dần tới vô cực. H2. Dãy số có dần đến 0 khi n dần đến vô cực hay không? GV đưa ra nhận xét : Người ta chứng minh được rằng , nghĩa là có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. H3. Xét dãy số (un) mà Kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì : GV nêu định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi nếu Kí hiệu : hay khi . Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Chứng minh rằng Câu hỏi 2. Cho dãy số (vn) với CMR: Gợi ý trả lời hỏi 1. Vậy Gợi ý trả lời hỏi 2 Làm tương tự trên. HOẠT ĐỘNG 2 2. Một vài giới hạn đặc biệt GV nêu kết quả : a) với k nguyên dương; b) nếu c) nếu un= c (c là hằng số ) thì H3. Tìm các giới hạn sau : a) b) ; c) GV nêu chú ý : Từ nay về sau thay cho , ta viết tắt là lim un = a. Định lý về giới hạn hữu hạn : GV nêu định lí: Nếu lim un = a và lim vn = b thì lim (un + vn) = a + b lim (un . vn) = a.b lim(un-vn)=a - b lim(nếu) b Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Mẫu số và tử số là những đa thức bậc bao nhiêu ? Câu hỏi 2. Chia cả tử và mẫu cho n2 ta được biểu thức nào? Câu hỏi 3 Dựa vào định lí hãy tìm giới hạn cảu dãy số. Gợi ý trả lời hỏi 1. Bậc 2 Gợi ý trả lời hỏi 2 : Gợi ý trả lời hỏi 3 Và Nên HOẠT ĐỘNG 3 Thực hiện ví dụ 4 trong 5 phút Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Chia cả tử và mẫu cho n2 ta được biểu thức nào? Câu hỏi 2. Dựa vào định lí hãy tìm giới hạn cảu dãy số. Gợi ý trả lời hỏi 1. Gợi ý trả lời hỏi 2 Một số câu hỏi củng cố : H4 Tìm giới hạn của dãy số . H5 Tìm giới hạn của dãy số . H6 Tìm giới hạn của dãy số H7 Tìm giới hạn của dãy số H8 Tìm giới hạn của dãy số Tiết 52 : HOẠT ĐỘNG 4 Tổng của cấp số nhõn lựi vụ hạn : GV nêu định nghĩa, khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với /q/ <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. H9. hãy láy một vài ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn. GV nêu tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Khi đó, Vì nên lim qn = 0 . Từ đó ta có Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhaanluif vô hạn (un)và được kí hiệu là: S = u1 + u2 + u3+. . .+ un+ . . . Như vậy Thực hiện ví dụ 5 trong 5 phút, Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy xác điịnh q trong cấp số nhân ở câu a) Câu hỏi 2. Hãy tính tổng của cấp số nhân đó. Câu hỏi 3 ở câu b) mỗi một số hạng của tổng có thể lập thành cấp số nhân lùi vô hạn được hay không ? Câu hỏi 4 Hãy tính tổng của cấp số nhân đó. Gợi ý trả lời hỏi 1. Gợi ý trả lời hỏi 2 Gợi ý trả lời hỏi 3 Là cấp số nhân cộng bội Gợi ý trả lời hỏi 4 Giới hạn vụ cực: HOẠT ĐỘNG 5 1. Định nghĩa: Thực hiện 2 trong 5’. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn. Câu hỏi 2. Hãy giải câu b. Gợi ý trả lời hỏi 1. Dãy un dần tới vô cực Gợi ý trả lời hỏi 2 n = 384.108 GV nêu định nghĩa : Ta nói dãy số (un)có giới hạn cộng khi nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: Dãy số (un) được gọi là giới hạn -nếu lim(- un) = +. kí hiệu : lim un = - lim(-un) = - Thực hiện ví dụ 6 trong 5 phút. Hoạt động của gi GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Nhận xét về un khi n tăng lên vô hạn. Câu hỏi 2 Un>1000 thì n >? Câu hỏi 3 Un > 10000 thì n > ? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Un rất lớn. Với n=1, ta có A1= 0 3. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 n > 31. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 n > 101. GV nêu chú ý trong SGK Người ta chứng minh được rằng limun = +, nghĩa là uncó thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào trở đi Tiết 53 : HOẠT ĐỘNG 6 2.Một vài giới hạn đặc biệt GV nêu một số kết quả thừa nhận: limnk = +với k nguyên dương; limqn = + nếu q>1. H10. Tìm giới hạn của dãy số lim12n. H11. Tìm giới hạn của dãy số lim. HOẠT ĐỘNG 7 3. Định lí GV nêu định lí thừa nhận sau đây: Nếu limun = a và lim vn= thì lim=0 .Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn >0 với mọi n thì Nếu lim un = + và lim vn = a > 0 thì lim unvn = +. Thực hiện ví dụ 7 trong 5 phút. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Chia cả tử và mẫu cho n ta được biểu thức nào? Câu hỏi 2. Dựa vào định lí 2 hãy tìm giới hạn của dãy số. Gợi ý trả lời hỏi 1. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 và lim 3n= nên Thực hiện ví dụ 8 trong 5 phút Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Đặt n2 làm thừa số chung ta được biểu thức nào? Câu hỏi 2. Dựa vào định lí 2 hãy tìm giới hạn của dãy số. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Gợi ý trả lời câu hỏi 2: Ta cú: và nên Vậy lim(n2- 2n - 1) = + HOẠT ĐỘNG 8 Túm tắt bài học 1. Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: haykhi Như vậy, (un)có giới hạn là 0 khi n nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn . Người ta chứng minh rằng , nghĩa là có thể nhỏ hơn một số dương bát kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 2. Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hãy vn dần tới a) khi n, nếu Kí hiệu: hay vn = a hay vnkhi a) với k nguyên dương. b) nếu c) Nếu un = c (c là hằng số) thì 4. a) Nếu lim un = a và limvn = b thì lim (un + vn) = a + b lim (un - vn) = a - b lim (un . vn) = a .b (nếu b). c) Nếu với mọi n và limun = a thì và 5. cấp số nhân vô hạn (un)có công bội q, với /q/ <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn(un) và được kí hiệu là S = u1 + u2 + u3 +un+. . . Như vậy S= 6. Ta nói dãy số (un)có giới hạn khi , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu : hay khi n Dãy số (un) được gọi là có giới hạn khi nếu Kí hiệu : hay khi a) với k nguyên dương; b) nếu q > 1. 8. a) Nếu lim un  = a và lim vn = thì b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì c) Nếu lim un = và lim vn = a > 0 thì lim unvn = . HOẠT ĐỘNG 9 Một số bài tập trắc bghiệm ụn tập bài 1: Câu 1. bằng : (a) 3 (b) 2; (c) - (d) Trả lời (d) Câu 2. bằng : (a) -3 (b) 2; (c) (d) Trả lời (d) Câu 3. bằng : (a) 3 (b) 2; (c) (d) Trả lời (c) Câu 4. bằng: (a) 3 (b) 2; (c) (d) Trả lời (c) Câu 5.3 là giới hạn cảu dãy số nào sau đây; (a) (b) (c) (d) Trả lời (c). Câu 6.-3 là giới hạn của dãy số nào sau đây: a) (b) (c) (d) Trả lời (c). Câu 7. bằng : (a) (b) . (c) 0 ; (d) Trả lời (c). Câu 8.limbằng: (a) + (b) - (c) ; (d) . Trả lời .(b). Câu9. lim bằng: (a) + (b) -. (c) ; (d) . Trả lời (a). Câu10. lim bằng; (a) + (b) -. (c) ; (d) . Trả lời (b). Tiết 54: Bài tập Bài 1. hướng dẫn. Sử dụng định nghĩa dãy số, phương pháp quy nạp toán học. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy tìm 3 số hạng đầu tiên của dãy số Câu hỏi 2. Hãy dự đoán công thức của dãy số và chứng minh bằng quy nạp. Câu3 Chứng minh rằng () có giới hạn là 0 Câu hỏi 4 Hãy giải câu c). Gợi ý trả lời câu hỏi 1. ; ; ; Gợi ý trả lời câu hỏi 2 dự đoán . Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp. GV gọi HS chứng minh. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Vì =nên hội tụ về 0 (theo tính chất lim=0 nếu <1). Gợi ý trả lời câu hỏi 4. , ta cần chọn =36, thì . Nói cách khác, sau chu ký thứ 36 (nghĩa là sau 36.24 000=864 000 (năm)), chúng ta không cần no nắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại. = Bài 2. hướng dẫn. Sử dụng các thuộc tính của giới hạn dãy số. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hayw tìm lim. Câu hỏi 2. Chứng minh rằng lim. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. lim=0. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Học sinh tự chứng minh Bài 3. hướng dẫn. Sử dụng cỏc tính chất của giới hạn dãy số. a) 2; b). c) 5; c). Bài 4. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. tính và . Câu hỏi 2. Hãy tính tổng . Gợi ý trả lời hỏi 1. =0 Với n=1, ta có . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Các số hạng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn q=. Vậy . Bài 5. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Nhận xét về các số hạng của dãy tổng. Câu hỏi 2. Hãy tính tổng . Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 . Bài 6. hướng dẫn . dựa vào cấp số nhân lùi vô hạn. HS tự giải. Bài 7. Hướng dẫn: dựa vào tính chất của giới hạn vô cực. Đáp số : (a) + (b) -. (c) -; (d) 0. Bài 8. hướng dẫn. dựa vào tính chất của giới hạn vô cực. Đáp số : a) 2; b) 0 Đ2 Giới hạn của hàm số (Tiết55, 56, 57) I. Mục tiờu: 1. Kiến thức: HS năm được : Định nghĩa giới hạn cảu hàm số. Định lí về giới hạn hữu hạn. Giới hạn một bên : Giới hạn trái và giới hạn phải Giới hạn vô cực của hàm số : Định nghĩa và một số giới hạn đặc biệt ; một số quy tắc tìm giới hạn vô cực. 2. Kĩ năng: Sau khi học xong bài này HS cần giải thành thạo các dạng toán về giới hạn của hàm số. Tìm được giới hạn một bên và giới hạn vô cực của hàm số. Vận dụng tốt các quy tắc tìm giới hạn của hàm số. 3. Thái độ Tự giác, tích cực trong hoc tập Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. Tư duy các vân đề của toán học một cách loogic và hệ thống. II. Tiến trỡnh bài dạy: A. Đặt vấn đề: Câu hỏi 1 : Tìm giới hạn của các dãy số sau đây a) b) Câu hỏi 2: Tính các tổng sau: a) b) . B. Bài mới: Tiết 55 I. Giới hạn của hàm số tại một điểm: HOẠT ĐỘNG 1 1. Định nghĩa: Thực hiện 1 trong 5’. GV treo bảng x x1 = 2 → 1 f(x) f(x1) f(x2) f(x3) fx4) f(xn) → ? Sau đó GV đưa ra các câu hỏi sau : Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy giải thích tại sao (f(xn)) lập thành dãysố. Câu hỏi 2. Chứng minh rằng Câu hỏi 3. Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn), và ta luôn có f(xn) Gợi ý trả lời câu hỏi 1. GV cho HS trả lời và bổ sung. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 vì Gợi ý trả lời câu hỏi 3 HS tự chứng minh. GVnêu định nghĩa: Cho khoảng k chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng k hoặc trên k \ {x0}. ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (x0) bất kì , và ta có Kí hiệu : hay khi Thực hiện ví dụ 1 trong 3 phút . Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy tìm miền xác định của hàm số . Câu hỏi 2. Chứng minh rằng Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Hàm số đã cho xác định trên R \{-2}. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Ta có Do đó GV đưa ra một số câu hỏi củng cố : H1. Nêu một ví dụ khác về ví dụ hàm số. H2. Hàm số kgoong xác định tại a nhưng có giới hạn tại a. Đúng hay sai? GV đưa ra nhận xét : với c là hằng số . H3. Tìm giới hạn hàm số sau bằng định nghĩa : khi x dần đến 1. Tiết 56 : HOẠT ĐỘNG 2 2. Định lí về giới hạn hữu hạn GV nêu định lí 1. Giả sử và . khi đó : (nếu M ). b) Nếu và , thì và (Dấu của f(x)được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với ) Thực hiện ví dụ 2 trong 5 phút Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy tìm miền xác định của hàm số . Câu hỏi 2. Tìm . Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Hàm số đã cho xác định với mọi x > 0 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Thực hiện ví dụ 3 trong 5 phút Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Đã áp dụng ngay định lí 1 được chưa Câu hỏi 2. Chứng minh rằng Tính. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Vì (x - 1) khi nên ta chưa thể áp dụng định lí 1. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Ta có Do đó, HOẠT ĐỘNG 3 GV nêu định nghĩa 2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và, ta có Kí hiệu : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi cuauar với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và, ta có Kí hiệu : GV nêu định lí 2: khi và chỉ khi Thực hiện vì dụ 4 trong 5 phút Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Tìm . Câu hỏi 2. Tìm . Câu hỏi 3. Kết luận. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 3 HS tự kết luận. Thực hiện 2 trong 5 phút. GV viết lại ví dụ 4 : = 5x + 2 nếu x =x2 – 3 nếu x < 1. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Để có giá trị cần tìm ta phải giải phương trình nào? Câu hỏi 2. Thay số 2 bằng số nào? Gợi ý trả lời câu hỏi 1. 5 + x = - 2. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 - 7 Một số câu hỏi củng cố: H4. Tìm giới hạn của hàm số sau khi 2x + 1 nếu x x2 + 1 nếu x < 1. H5. Tìm giới hạn của hàm số sau khi nếu x x2 + 2 nếu x < 1. H6. Tìm giới hạn của hàm số sau khi nếu x x2 + 1 nếu x < - 1. H7. Tìm giới hạn của hàm số sau khi nếu x x2 + 14 nếu x < - 3. H8. Tìm giới hạn của hàm số sau khi Tiết 57 : HOẠT ĐỘNG 4 II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vụ cực: GV treo hình 52 và đưa ra các câu hỏi: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Tìm miền xác định của hàm số Câu hỏi 2. Khi biết x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào . Câu hỏi 3. Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Hàm số xác định với Gợi ý trả lời câu hỏi 2 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 3 2. GV nêu định nghĩa 3: Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a,) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi nếu với dãy số (xn)bất kì, xn > a và , ta có f(x). Kí hiệu: hay khi . Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là L khi nếu với dãy số (xn)bất kì, xn < a và , ta có f(x). Kí hiệu: hay khi . Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Tìm Câu hỏi 2. Tìm . Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Vậy Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Vậy . GV nêu chú ý Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có : . Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi vẫn còn đúng khi hoặc . Thực hiện ví dụ 6 trong 5 phút. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Tử số và mẫu số là những đa thức bậc bao nhiêu? Câu hỏi 2. Tìm . Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Bậc 2. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 III. Giới hạn vụ cực của hàm số: HOẠT ĐỘNG 5 1. Giới hạn vô cực GV nêu định nghĩa 3: Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a,) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là khi nếu với dãy số (xn)bất kì, xn > a và , ta có f(x). Kí hiệu: hay khi . GV nêu nhân xét sau: . HOẠT ĐỘNG 6 2. Một vài giới hạn đặc biệt GV nêu các giới hạn đặc biệt : a) với k nguyên dương. b) nếu k là số lẻ. c) nếu k là số chẵn. H9. Hãy lấy một vài ví dụ mô tả các giới hạn đặc biệt trên. HOẠT ĐỘNG 7 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực : a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) GV nêu quy tắc : Nếu và (hoặc ) thì được tính theo quy tắc cho trong bảng sau: L > 0 L < 0 b) Quy tắc tìm giới hạn của thương Dấu của g(x) L Tuỳ ý 0 L > 0 0 + - L < 0 + - GV nêu chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp và . Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Đặt x3 làm thừa số chung, ta được biểu thức nào? Câu hỏi 2. Tìm . Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 và nên . Vậy Thực hiện ví vụ 8 trong năm phút. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Tìm giới hạn sau: . Câu hỏi 2. Tìm . Gợi ý trả lời câu hỏi 1. (x - 1)= 0,x -1 <0 với mọi x<1 và (2x -3)=2.1 -3 = -1 <0. Do đó , = Gợi ý trả lời câu hỏi 2 (x-1)=0 , x-1 >0 với mọi x>1 và (2x-3) = 2.1 -3 = -1 <0. Do đó , = . HOẠT ĐỘNG 8 Túm tắt bài học : 1. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. Ta nói hàm số y= có giới hạn là L khi x dần tới nếu dãy số bất kì, và ta có . Kí hiệu: hay khi . 2. a) giả sử Và . khi đó ; ; ; (nếu M # 0). b) Nếu và , thì và. 3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi nếu với dẫy số (x0) bất kì, x0< xn< b và , ta có f(x0) . Kí hiệu : . Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái cảu hàm số y = f(x) khi nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và , ta có . Kí hiệu : . 4. khi và chi khi . 5. a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; ). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi nếu dãy số (xn) bất kì xn > a và , ta có . Kí hiệu : hay khi . b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi nếu với dãy số (xn) bất kì xn< a và , ta có . Kí hiệu hay khi . 6. a) Với c,k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có : . b) Định lí về giới hạn hữu hạn cảu hàm số khi vẫn còn đúng khi hoặc . 7. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; ). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là khi x nếu với dãy số (xn) bất lì ,xn >a và xn , ta có f(xn) . Kí hiệu : f(x) = - hay f(x) khi . 8. a) xk với k nguyên dương. b) xk = nếu k là số lẻ. c) xk = nếu k là số chẵn. 9. Nếu f (x)= L 0 và g(x) = (hoặc ) thì f(x) g(x) được tính theo bảng sau: f(x) g(x) f(x)g(x) L> 0 L< 0 f(x) g(x) Dấu của g(x) f(x)g(x) L Tuỳ ý 0 L> 0 0 + - L< 0 + - HOẠT ĐỘNG 9 Một số bài tập trắc bghiệm ụn tập bài 2: Câu 1. bằng : (a) 1; (b) -2; (c) ; (d) ; Trả lời .(b). Câu 2 . bằng : (a) -2 (b) 2; (c) 1; (d) -1; Trả lời (c). Câu 3 . bằng : (a) 1; (b) 2; (c) -; (d) ; Trả lời (c). Câu 4 . bằng : (a) 3; (b) 2; (c) ; (d) ; Trả lời (d). Câu 5.3 là giới hạn của dãy số nào sau đây: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; Trả lời (b). Câu 6. -3 là giới hạn của dãy số nào sau đây: (a) b) ; c) ; d) . Trả lời (c) Câu 7 . bằng : a) b) c) 0; d) . Trả lời a) Câu 8. bằng : a) b) c) ; d) . Trả lời b) Câu 9. bằng : a) b) c) ; d) . Trả lời c ) Câu 10. bằng : a) b) c) ; d) . Trả lời b) Tiết 58: Bài tập Bài 1. hướng dẫn. Sử dụng định nghiã giới hạn của hàm số. a) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy tìm tập xác định của hàm số . Câu hỏi 2. 4 thuộc khoảng nào? Câu hỏi 3. Hãy tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Hàm số xác định trên Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Giả sử (xn) là dãy số bất kì, và khi . Ta có lim f(xn)=. Vậy b) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy tìm tập xác định của hàm số . Câu hỏi 2. Hãy tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Hàm số xác định trên R Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Giả sử (xn) là dãy số bất kì, . Ta có lim f(xn)=. Bài 2. hướng dẫn. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số. a) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy tìm lim un. Câu hỏi 2. Hãy tìm limvn . Câu hỏi 3. Hãy tìm lim f(un). Câu hỏi 4. Hãy tìm lim f(vn). Câu hỏi 5. Kết luận Gợi ý trả lời câu hỏi 1. . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 . Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Do và , nên , . Gợi ý trả lời câu hỏi 4 ; lim f(vn) = . Gợi ý trả lời câu hỏi 5. Vì và , nhưng lim(un) nên hàm số f(x) không có giới hạn khi . Bài 3. hướng dẫn. Sử dụng các tính chất của giới hạn hàm số. Đáp số: a) -4; b) 4. c) ; d)-2. e) 0; f). Bài 5. . hướng dẫn. Sử dụng các tính chất của giới hạn hàm số. HS tự giải. Bài 6. hướng dẫn. Sử dụng các tính chất của giới hạn hàm số, áp dụnh các quy tắc tìm giới hạn vô cực cảu hàm số. a) ; b) ; c) ; d) -1. Bài 7. hướng dẫn . Dựa vào tính chất cảu giới hạn vô cực. HS tự giải. Đ3 Hàm số liờn tục (Tiết 59, 60) I. Mục tiờu: 1. Kiến thức HS nắm được : Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm . Hàm số liên tục trên một khoảng . Một số định lí cơ bản về hàm số liên tục . Kĩ năng Sau khi học xong bài này HS chứng minh được hàm số liên tục hoặc không liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Chứng minh phương trình có nghiệm trên (a;b). Thái độ Tự giác, tích cực trong học tập. Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống. II. Tiến trỡnh dạy học: A. Đặt vấn đề : Câu hỏi 1 Tìm giới hạn trái và giới hạn phải của các hàm số sau đây tại các điểm đã chỉ ra. a) f(x) = nếu tại x= 0. b) f(x) = nếu tại x= 0 . Câu hỏi 2 Hãy nêu một vài ví dụ về hàm số có giới hạn trái và giới hạn phải băng nhau tại một điểm nào đó. B. Bài mới Tiết 59 HOẠT ĐỘNG 1 I. Hàm số liờn tục tại một điểm: Thực hiện H 1 trong 4’, Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Tính f (1) Câu hỏi 2. Tính f(x). Câu hỏi 3. Tính g(1) Câu hỏi 4. Tính g(x). Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Ta có f(1) =1. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Ta có f(x)=1. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Ta có g(1)=1. Gợi ý trả lời câu hỏi 4 Ta có g(x) không tồn tại GV nêu định nghĩa 1 : Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x0 K. Hàm số y= f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu f(x)=f(x0) Hàm số y=f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. H1. Hàm số sau có liên tục tại x=2 không? f(x) = . H2. Hàm số sau có liên tục tại x=2 không? f(x) = . GV hướng dẫn HS thực hiện ví dụ 1. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Hãy tìm tập xác định của hàm số. Câu hỏi 2. Hãy giải bài toán. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Hàm số y = f(x) xác định trên R \ . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x0 = 3. HOẠT ĐỘNG 2 II. Hàm số liờn tục trờn một khoảng: GV nêu định nghĩa 2: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục trên một khoảng đó. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và . GV cho HS lấy một số ví dụ về hàm liên tục và không liên tục tại một điểm, trên một khoảng . H3. Đồ thị hình 56 là đò thị của hàm số liên tục trên (a;b) hay không? H4. Đồ thị hình 57 là đồ thị của hàm số liên tục trên (a;b) hay không? Tiết 60 : HOẠT ĐỘNG 3 III. Một số định lý cơ bản: GV nêu định lí 1: Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ số thực R. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. H5. Hãy cho một vài ví dụ thoả mãn định lí trên. GV nêu định lí 2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0; Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0). H6. Hãy cho một vài ví dụ thoả mãn định lí 2. Nêu và thực hiện ví dụ 2. GV có thể thay bởi ví dụ khác tuỳ thuộc vào đối tượng HS. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Tìm tập xác định của hàm số. Câu hỏi 2. Hàm số có liên tục với mọi x, xk 1 hay không, vì sao? Câu hỏi 3. Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1. Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Tập xác định của hàm số R . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Nếu,thì h(x) = Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là . Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Nếu x = 1, ta có h(1) = 5 và Vậy , nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 1. Thực hiện 2 trong 4’. GV viết lại ví dụ 2 : h(x) nếu Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Để hàm số liên tục tại x = 1 Thì f(1)? Câu hỏi 2. Hãy giải bài toán Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Ta có f(1) = 2 . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Thay số 5 bởi số 2. Thực hiện 3 trong 4’. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1. Bạn Hưng trả lời đúng hay sai? Câu hỏi 2. Bạn Lan trả lời đúng hay sai? Câu hỏi 3. Bạn Tuấn trả lời đúng hay sai? Gợi ý trả lời câu hỏi 1. Sai vì hình 56 thể hiện điều đó Gợi ý