Giáo án Đại số 11 tiết 38: Phương pháp quy nạp toán học(tt)

Tiết PPCT: 38 Ngày dạy: ___/__/_____ §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC(tt) I. Mục tiêu: (như tiết 37) II. Tiến trình tổ chức giờ học : Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung bài học Hoạt động: Giải bài tập Mục tiêu : Tg : ĐDDH : PP : * Cách thức tiến hành : GV: Giới thiệu chú ý GV: Yêu cầu HS giải 3 HS: Giải GV: HD dựa vào kết quả câu a) ta sẽ chứng minh kết quả dự đoán, nêu lại pp chứng minh quy nạp. GV: Yêu cầu HS giải 1a/82 HS: Giải GV: Yêu cầu HS nêu lại pp cm quy nạp GV: Yêu cầu HS giải 2/82 HS: Giải GV: Yêu cầu HS nêu lại pp cm quy nạp; tính chất chia hết; tích 2 số liên tiếp chia hết cho 2 (do một trong hai số phải là số chẵn) CHÚ Ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n³p (p là số tự nhiên) thì: - Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p - Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n=k³p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1 3 Giải a) n 3n ? 8n 1 3 < 8 2 9 < 16 3 27 > 24 4 81 > 32 5 243 > 40 Lập bảng tính và so sánh để đưa ra được kết luận 3n > 8n với n Ỵ N* và n ³ 3. b) Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh nhận định trên. - Thử với n = 3, thấy đúng. - Giả sử mệnh đề đúng với n = k ³ 3, tức là: 3k > 8k Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là 3k + 1 > 8(k + 1 ). Thật vậy: Ta có 3k + 1 = 3.3k > 3.8k = 8( k + 1 ) + 16k - 8 = 8( k + 1 ) + 8( 2k - 1 ) > 8( k + 1 ) do 8 (2k + 1 ) > 0 với mọi k ³ 3. Bài 1a/82 Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n Ỵ N*: a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = Giải a) Với n = 1, ta có đẳng thức đúng Giả sử đẳng thức đúng với n = k ³ 1, tức là: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) = là một đẳng thức đúng. Ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + [ 3( k + 1 ) - 1 ] = Thật vậy: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + ( 3k + 2 ) = + ( 3k + 2 ) = = (đpcm) Bài 2/82 Chứng minh rằng với n Ỵ N* ta có: a) n3 + 11n chia hết cho 6 b) n3 + 3n2 + 5n 3 c) 4n + 15n - 1 9 Giải a) Với n =1 ta có n3 + 3n2 + 5n = 9 3 Giả sử với n = k ³ 1, ta có k3 + 3k2 + 5k 3 Ta chứng minh với n = k + 1, tức là: ( k + 1 )3 + 3( k + 1 )2 + 5( k + 1 ) 3. Thật vậy: ( k + 1 )3 + 3( k + 1 )2 + 5( k + 1 ) = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9 = ( k3 + 3k2 + 5k ) + 3( k2 + 3k + 3) chia hết cho 3 [ vì k3 + 3k2 + 5k 3 và 3( k2 + 3k + 3) 3] b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1 với n = 1, S1 = 18 9 Giả sử với n = k ³ 1, ta có Sk = 4k + 15k - 1 9. Ta phải chứng minh Sk + 1 = 4k + 1 + 15( k + 1) - 19. Thật vậy Sk + 1 = 4(4k + 15k - 1) - 45k + 18 = 4Sk - 9( 5k - 2 ) 9 (đpcm) c) - Bước 1: Thử với n = 1 ta có 12 chia hết cho 6 là một mệnh đề đúng - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ³ 1 tức là ta có k3 + 11k chia hết cho 6 ta phải chứng minh: mệnh đề đúng với n = k + 1 nghĩa là: ( k + 1 )3 + 11( k + 1 ) 6. Thật vậy: ( k + 1 )3 + 11( k + 1 ) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = ( k3 + 11k ) + 3( k2 + k + 4 ) = ( k3 + 11k ) + 3[ k( k + 1 ) + 4 ] 6 do giả thiết quy nạp k3 + 11k 6, k( k + 1 ) + 4 2 1. Củng cố và luyện tập: - Cho học sinh nhắc lại các bước chứng minh qui nạp và chủ yếu là chú ý bước nào? ( bước 2 ). Để thực hiện bước này cần lưu ý: + Phải sử dụng giả thiết mệnh đề đúng đến n= k. + Ngoài sử dụng mệnh đề đúng đến n=k có thể sử dụng tất cả các định lý, các tính chất có liên quan để chứng minh. 2. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà: - Xem l¹i bµi. - Chuẩn bị tiết sau học tiếp. IV. Rút kinh nghiệm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .