Ðề cương ôn tập học kì II -Môn Toán – lớp 11

ðỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II-MÔN TOÁN – LỚP 11 A. PHẦN ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương III : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương pháp quy nạp toán học: ðể c/m mệnh ñề A(n) ñúng∀ n∈N* ta thực hiện: B1: C/m A(n) ñúng khi n=1. B2: ∀ n∈N* giả sử A(n) ñúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng ñúng với n=k+1. 2. Dãy số tăng, dãy số giảm: Dãy số ( )nu ñược gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có 1+< nn uu . Dãy số ( )nu ñược gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có 1+> nn uu . Phương pháp ñể chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm Cách 1: (un) là dãy số tăng ⇔ un < un+1 ∀ n ∈N* Cách 2: (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 - un > 0∀ n ∈N* (xét dấu un+1 - un) Cách 3: un >0 ∀ n, (un) là dãy số tăng ⇔ 1+n n u u < 1 3. Dãy số bị chặn: a) Dãy số )( nu ñược gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho MuNn n ≤∈∀ ,* . b) Dãy số )( nu ñược gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho muNn n ≥∈∀ ,* . c) Dãy số )( nu ñược gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho MumNn n ≤≤∈∀ ,* . 4. Cấp số cộng Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (un) là cấp số cộng ⇔ un=un-1 + d, ∀ n ≥ 2. + d không ñổi gọi là công sai. + Kí hiệu cấp số cộng : ÷ u1, u2, u3, , un, *. Tính chất (un) là cấp số cộng ⇔ 2 11 +− + = kk k uu u , (k ≥ 2) * . Số hạng tổng quát: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng ñầu u1 và công sai d ñược cho bởi công thức : un=u1+(n-1)d * Tổng n số hạng ñầu tiên của một cấp số cộng: Cho cấp số cộng (un), gọi Sn=u1+u2++un 2 )( 1 nuuS nn + = , ∀ n ≥ 1. Chú ý: [ ] 2 )1(2 1 ndnuSn −+ = , ∀ n ≥ 1 5. Cấp số nhân(un) là CSN ⇔ . 21u u q nn n= ∀ ≥− Số q ñược gọi là công bội của CSN. * Tính chất: Cho cấp số nhân (un). Ta có: 2 . 1 1u u uk k k= − + ∀ k ≥ 2, k ∈ N * * Số hạng tổng quát: Cho cấp số nhân (un). n-1 1. qnu u= với q 0≠ *Tổng n số hạng ñầu tiên của CSN Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng ñầu tiên của nó: Sn = u1 + u2 + ... + un Nếu q=1 thì un = u1 với mọi n 1≥ . Khi ñó: Sn = nu1. Nếu q 1≠ , ta có kết quả: 1 (1 ) 1 n n u qS q − = − với q 1≠ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Dãy số nào sau ñây không bị chặn trên: A) 1sin n u n n = B) 1 sin n u n n = C) 1( 1) sinn n u n = − D) 1 sin( 1)n n u n = − Câu 2. Cho dãy số ( n u ) với ( 5)n n u = − . Khi ñó số hạng 2nu bằng: A) 25n B) 10n C) -25n D) 2( 5)n− Câu 3. Cho cấp số cộng ( n u ).ðẳng thức nào sau ñây là ñúng: A) 10 20 152u u u+ = B) 10 20 15. 2u u u= C) 210 20 15.u u u= D) 10 20 30u u u+ = Câu 4. Cho cấp số nhân ( n u ).ðẳng thức nào sau ñây là ñúng: A) 1 11 62u u u+ = B) 21 11 6u u u+ = C) 21 11 6.u u u= D) 1 11 12.u u u= Câu 5. Cho cấp số cộng x; 1; y; 9. Khi ñ ó: A) x = -3, y = 5 B) x = -5, y = 3 C) x = -1, y = 7 D) x = -2, y = 6 Câu 6. Cho cấp số nhân 3 số hạng: 2,5 ; x; 40. Hãy chọn kết quả ñúng: A) x = 10 B) x = 5 C) x = 20 D) x = 25 Câu 7.Cho dãy số ( n u ) với 1 12; 2 , 2n nu u u n−= = ≥ . Khi ñó: 7.1. Số hạng thứ 100 bằng: A) 299 B) 2100 C) 2101 D)200 7.2. Tổng của 100 số hạng ñầu tiên bằng: A) 299 - 1 B) 2100 - 1 C) 2101 - 1 D) 1 - 2101 Câu 8. Cho cấp số cộng -2; -5; -8; -11;... Khi ñó công sai d và tổng 20 số hạng ñầu tiên là: A) d = 3; S20 = 510; B) d = -3; S20 = -610 C) d = -3; S20 = 610 D) d = 3; S20 = -510 Câu 9. Dãy số nào sau ñây không phải là cấp số cộng: A) 1 2n n u − = B) 1 2 n nu   =     C) 2nu = − D) 2 1nu n= + Câu 10. Ba số xen giữa các số 2 và 22 ñể ñược một cấp số cộng là: A) 7; 12; 17 B) 6; 10; 14 C)8; 13; 18 D) 5; 10; 17 Câu 11. Cho cấp số cộng có 1 1 1 ; 4 4 u d= = − . Tổng của 5 số hạng ñầu tiên là: A) 5 4 B) 4 5 C) 5 4 − D) 4 5 − Câu 12. Cho cấp số cộng có 50,1; 0,5d s= = − . Số hạng ñầu tiên là: A) 0,3 B) 10 3 C) 10 3 − D) -0,3 Câu 13. Cho cấp số cộng có 5 2015; 60u u= − = . Tổng của 20 số hạng ñầu tiên là: A) 200 B)-200 C)250 D)-250 Câu 14. Cho tam giác có số ño 3 góc lập thành một cấp số cộng. Biết số ño một góc là 250, số ño 2 góc còn lại là: A) 650; 900 B)750; 800 C) 600; 950 D)700; 850 Câu 15. Cho cấp số nhân với u1 = -1; q = - 0,1. Số 10-103 : A) là số hạng thứ 103 của cấp số nhân ñã cho. B) là số hạng thứ 104 của cấp số nhân ñã cho. C) là số hạng thứ 102 của cấp số nhân ñã cho. D) không phải là một số hạng của cấp số nhân ñã cho. Câu 16.Cho dãy số 1 ; ; 2 2 b− . Chọn b ñể dãy số trên là một cấp số nhân: A) b = -1 B) b = 1 C) b = 2 D) b = -2 Câu 17. Cho cấp số nhân 1; 1 1 1 ; ; ;... 2 4 8 Số hạng thứ 10 bằng: A) 29 B) 210 C) 2-9 D) 2-10 Câu 18. Các giá trị của x ñể 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân là: A) 1 3 x = ± B) 1 3 x = ± C) 3x = ± D) 1 9 x = ± . Câu 19. Dãy số nào là cấp số nhân? A) 1; 0,2; 0,04; 0,008; ... B) 2; 22; 222; 2222; ... C) x, 2x, 3x, 4x, 5x,... D) 1 1 1 1; ; ; ;... 2 3 4 5 Câu 20. Cho cấp số nhân có u1 = -3; q = 2 3 . Số 96 243 − A) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân ñã cho. B) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân ñã cho. C) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân ñã cho. D) không phải là một số hạng của cấp số nhân ñã cho. Câu 21. Cho cấp số nhân có 2 5 1 ; 16. 4 u u= = Khi ñó: A) 1 1 1 ; 2 2 u q= = B) 1 1 1 ; 2 2 u q= − = − C) 1 1 ; 4 16 u q= = D) 1 1 ; 4 16 u q= − = − Câu 22.Cho dãy số 1 1 12; 2 , * n n u u n u += − = − − ∈
. Công thức số hạng tổng quát của dãy này là: A) 1 n n u n − + = B) 1 n n u n + = C) 1 n n u n + = − D) 1 n n u n − = Câu 23. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 2n + 3. Khẳng ñịnh nào sau ñây là ñúng? A) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 3 B) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 2 C) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 3 D) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 2 Câu 24. Một cấp số nhân có 3 số hạng a, b, c khác 0 và công bội q ≠ 0. ðẳng thức nào dưới ñây là ñúng? A) 2 1 1 a bc = B) 2 1 1 b ac = C) 2 1 1 c ba = D) 1 1 2 a b c + = Câu 25. ðặt Sn = 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 . . . 1 2 3 4 n         − − − −                , , 2n n∈ ≥
. Khi ñó : A) 1 n nS n − = B) 1 2n nS n − = C) 1 n nS n + = D) 1 2n nS n + = Bài tập tự luận Bài 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp: *n N∀ ∈ , 3n ≥ ta có 2n > 2n + 1 Bài 2: Xác ñịnh số hạng ñầu và công sai của cấp số cộng, biết 7 3 2 7 8 . 75 u u u u − =  = Bài 3: Cho dãy số (un), biết: 1 1 1 3 í i 1 n n u u u v n + ìï = -ïíï = + ³ïïî a) Viết sáu số hạng ñầu của dãy số b) Dự ñoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức ñó bằng phương pháp qui nạp Bài 4: Xác ñịnh cấp số nhân (un), biết : 3 5 6 15 135 0 u u u ìï =ïïï =íïïï <ïî Bài 5: Người ta xếp 3655 học sinh theo ñội hình ñồng diễn là một tam giác: hàng thứ nhất có 1 học sinh, hàng thứ hai có 2 học sinh, hàng thứ ba có 3 học sinh, ...Hỏi có bao nhiêu hàng? Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1≥ , biểu thức 13 1nnS = − chia hết cho 6. Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn luôn có ( ) 22 3 3 3 11 2 4 ... n n n + + + + = Bài 8: Số hạng thứ hai, số hạng ñầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự ñó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân ñó? Bài 9: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Biết rằng tổng của chúng bằng 22 và tích của chúng bằng 166. Tìm 4 số ñó. ------- ( Hết) ------- Chương 4 : GIỚI HẠN I. Vấn ñề 1: Dãy số có giới han 0 * Phương pháp a) 1lim 0 n = b) *2 1lim 0( )k N n = ∈ c) 1lim 0 n = d) 3 1lim 0 n = e) Nếu |q| < 1 thì lim 0nq = f) Nếu | |n nu V< thì Vn = 0 thì lim un = 0 4.1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau ñây có giới hạn 0. a) ( 1) 5 n n − + b) sin 5 n n + c) os2n n 1 c + 4.2. Chứng minh hai dãy số (un) và (vn) với: 1 ( 1)nu n n= + : 2 ( 1) osn n 1 n n cV −= + có giới hạn 0 4.3. Chứng minh rằng các dãy số (un) sau ñây có giới hạn 0 a) (0,99)nnu = b) ( 1) 2 1 n n n u − = + c) sin 5 (1,01)n n n u pi = − 4.4. Cho dãy số (un) với 3n n n u = a) Chứng minh rằng 1 2 3 n n u u + ≤ với mọi n. b) Bằng phương pháp qui nạp chứng minh rằng 20 3 n nu   < <     với mọi n. c) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0. II. Vấn ñề 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn * Phương pháp 1) lim lim( ) 0n nu L u L= ⇔ − = 2) Sử dụng ñịnh lí 1 và ñịnh lí 2 . 3) Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q. Ta có: 1lim 1n uS q = − 4.5. Cho dãy số (un) với 15 1n n u n + = . Chứng minh lim un = 15 4.6. Tìm các giới hạn sau: a) ( 1)lim 2 2 n n  − +  +  b) sin 3lim 1 4 n n   −    c) 1lim n n − d) 2lim 1 n n + + 4.7. Tìm các giới hạn: a) 6 1lim 3 2 n n − + b) 2 2 3 5lim 2 1 n n n + − + 4.8. Tìm giới hạn: a) 2 2 4 5lim 3 n n n + − b) 3 2 3 2 17 3 4lim 2 n n n n + + + 4.9. Tìm giới hạn 2 3 1 3 2lim 2 n n n n −   +   −   4.10. Tìm các giới hạn: a) 2 22 3 1lim 3 n n n n − + + + b) 3 2 2lim 1 n n n + − 4.11. Tìm các giới hạn sau: a) 1lim 1 n n + + b) 3 3 lim 2 n n n + + c) 2lim( )n n n+ − 4.12. Tìm các giới hạn: a) 2lim( 1 )n n n+ + − b) 3 3 2lim( 2 )n n n− + c) 2 3 3lim( 1 1)n n+ − + 4.13. Tìm các giới hạn a) 4lim 2.3 4 n n n+ b) 3 5.4lim 4 2 n n n n + + 4.14. Tìm các giới hạn: a) 3 5.7lim 2 3.7 n n n n + − b) 1 1 5 11lim 3 11 n n n n + + + + 4.15. Tìm giới hạn 1 1 1 1lim .... 1.2 2.3 3.4 ( 1)n n   + + + +  −  4.16. Tìm giới hạn 2 1 2 3 ...lim n n + + + + 4.17. Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) 2 3 1 1 1 1 , , ,..., ,... 2 2 2 2n b) 11 1 1 11, , , ,..., .... 2 4 8 2 n−   − − −    4.18. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777 dưới dạng phân số. III. Vấn ñề 3: Dãy số có giới hạn vô cực * Phương pháp 1) lim n = +∞ 2) lim n = +∞ 3) 3lim n = +∞ 4) *lim ( )kn k= +∞ ∈
5) lim nq = +∞ nếu q > 1 6) Nếu lim (–un) = +∞ thì lim un = –∞ 7) lim lim( )n nu u= +∞ ⇔ − = −∞ 8) Nếu lim | |nu = +∞ thì 1lim 0 nu = 9) Các qui tắc tìm giới hạn vô cực. 4.20. Tìm các giới hạn: a) 2 1lim 2 4 1n n+ + b) 3 3lim 6 3n n − − + − 4.21. Tìm các giới hạn: a) 3 2 3 5 4lim n n n n + + − b) 32lim 3 2 n n n − + − 4.22. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với: a) 4 33 5 7nu n n n= + − b) 3 6 37 5 8 12n n n n u n − − + = + 4.23. Tìm các giới hạn sau: a) lim(2 osn)n c+ b) 21lim 3sin 2 5 2 n n   − +    4.24. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với: a) 3 1 2 1 n n n u + = − b) 2 3n nnu = − 4.25. Tìm các giới hạn: a) 2 5lim .3" n n + b) 2 2 5 1lim .2 n n n n − §GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. Vấn ñề 1: ðịnh nghĩa và một số ñịnh lí về giới hạn 4.26. Áp dụng ñịnh nghĩa giới hạn của hàm số. Tìm các giới hạn sau: a) 2 1 3 4lim 1x x x x→− − − + b) 1 1lim 5x x→ − 4.27. Tìm các giới hạn: a) 3 lim x x → b) 2 lim( 7) x x → − c) 5 lim(4 3) x x → + d) 4 lim( 7)( 1) x x x → + − e) 4 4lim 3x x x→ + − f) 1 lim 15 x x → + 4.28. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 lim(3 7 11) x x x → + + b) 3 41 lim (2 1)( 3)x x x x x→ − − − c) 0 1lim 1 x x x→   −    d) 29 3lim 9x x x x→ − − e) 2 3 lim | 4 | x x → − f) 4 22 3 1lim 2 1x x x x→ + − − 4.29. Tìm các giới hạn: a) 2 2 5 2lim 1x x x x→+∞ + + b) 2 2 5 2lim 1x x x x→−∞ + + 4.30. Tìm các giới hạn: a) 2 3 1lim 2x x x x→+∞ − + + b) 4 2 2lim 1x x x x→−∞ − + − 4.31. Tìm các giới hạn a) 4 2 4 2 1lim 2 3x x x x x→+∞ − + + + b) 3 5 2 2lim 2 1x x x x x→−∞ + − + 4.32. Tìm các giới hạn: a) 2 3 2 2lim 8 3x x x x x→−∞ + − + b) 2lim 2x x x x x→+∞ − + II. Vấn ñề 2: • Giới hạn một bên • Giới hạn vô cực • Phương pháp LxfxfLxf ooo xxxxxx ==⇔= +− →→→ )(lim)(lim)(lim 1. Cho hàm số f(x) =    ≥− −< 132 1x 2 3 xkhix xkhi . Tìm 1 lim ( ) x f x →− 2. Tìm các giới hạn: a) 1 lim 1 x x +→ − b) 5 lim( 5 2 ) x x x −→ − + c) 3 1lim 3x x+→ − d) 3 1lim 3x x−→ − 3. Tìm các giới hạn: a) 2 | 2 |lim 2x x x+→ − − b) 2 | 2 |lim 2x x x−→ − − c) 2 | 2 |lim 2x x x→ − − 4. Tìm các giới hạn: a) 2 5 1lim 2x x x−→ + − b) 2 5 1lim 2x x x+→ + − 5. Tìm các giới hạn: a) 2 3 3lim 3x x x x−→ + − − b) 2 3 3lim 3x x x x+→ + − − 6. Tìm các giới hạn: a) 3lim ( 2 ) x x x →+∞ − b) 3lim ( 2 ) x x x →−∞ − c) 4 2lim (2 1) x x x →+∞ + − d) 4 2lim (2 1) x x x →−∞ + − 7. Tìm các giới hạn: a) 3lim ( 2 1) x x x →+∞ − + + b) 3lim ( 2 1) x x x →−∞ − + + c) 4 2lim ( 5 2) x x x →+∞ − + + d) 4 2lim ( 5 2) x x x →−∞ − + + 8. Tìm giới hạn: 2lim 3 5 x x x →−∞ − III. Vấn ñề 3: Các dạng vô ñịnh 0 , ,0, 0 ∞ ∞ ∞ và ∞ - ∞ * Phương pháp Khi tìm giới hạn các dạng này, ta phải thực hiện một vài phép biến ñổi ñể có thể sử dụng các ñịnh lí và qui tắc ñã biết. Làm như vậy ta gọi là khử dạng vô ñịnh. 1. Xác ñịnh dạng vô ñịnh và tìm các giới hạn sau: a) 2 3 4 3lim 3x x x x→ − + − b) 2 21 2 3 1lim 1x x x x→− + + − 2. Xác ñịnh dạng vô ñịnh và tìm các giới hạn sau: a) 3 2 1 1lim 1x x x x x→ − + − − b) 4 4 lim x a x a x a→ − − 3. Xác ñịnh dạng vô ñịnh và tìm các giới hạn sau: a) 2 21 2 3lim 2 1x x x x x→ + − − − b) 2 2 4lim 7 3x x x→ − + − 4. Xác ñịnh dạng vô ñịnh và tìm các giới hạn sau: a) 2 0 1 1lim x x x x x→ + − + + b) 2 2lim 4 1 3x x x x→ − − + − 5. Xác ñịnh dạng vô ñịnh và tìm các giới hạn sau: a) 3 2 3 4 3 1lim 3x x x x x→+∞ − + + − b) 21 2lim 2 3x x x x→−∞ + − − 6. Xác ñịnh dạng vô ñịnh và tìm các giới hạn sau: a) 22 3 1lim 2 4x x x+→   −  − −  b) 4lim ( 4 2 ) x x x x →−∞ − + 7. Xác ñịnh dạng vô ñịnh và tìm các giới hạn sau: a) 0 1 1lim 1 1x x x→   − +  b) 2 0 1 1lim (1 ... ) 1 n nx x x x x x→   − + + + +  −  § HÀM SỐ LIÊN TỤC I. Vấn ñề 1: Hàm số liên tục tại một ñiểm * Phương pháp ðể chứng minh f(x) liên tục tại xo, ta qua 3 bước • B1: Tính f(xo) • B2: Tìm lim ( ) ox x f x → • B3: So sánh f(x) và lim ( ) ox x f x → Nếu lim ( ) ( ) o o x x f x f x → = thì kết luận f(x) liên tục tại ñiểm x = xo. 1. Xét tính liên tục của hàm số: 2 4 ( ) 2 4 x f x x  −  = −   . Tại ñiểm xo = 2. 2. Cho hàm số: 3 1( ) 3 2 x xf x x  − + =  + Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại ñiểm xo = 1. 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại ñiểm xo = 3. a) 2 2 3( ) 3 x xf x x − − = − b) 2 2 3 ( ) 3 4 x x f x x  − −  = −   4. Cho hàm số 3 1 ( ) 1 x f x x a  −  = −   Xác ñịnh a ñể hàm số f(x) liên tục tại ñiểm xo = 1. II. Vấn ñề 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, một ñoạn * Phương pháp 1. Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) ⇔ f(x) liên tục tại mọi ñiểm thuộc khoảng (a, b). 2) Hàm số f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và: Nếu x ≠ 2 Nếu x = 2 Nếu x >1 Nếu x ≤1 Nếu x ≠ 3 Nếu x =3 Nếu x ≠ 1 Nếu x = 1 lim ( ) ( ); x a f x f a −→ = lim ( ) ( ); x b f x f b → = 1. Xét tính liên tục của hàm số: 3 1( ) 2 4 x xf x x  + + =  + Trên tập xác ñịnh của nó. 2. Xét tính liên tục của hàm số: 2 2 3 ( ) 3 4 x x f x x  − −  = −   Trên tập xác ñịnh của nó. 3. Cho hàm số: 2 2 1( ) x xf x x a  + + =  + ðịnh a ñể hàm số f(x) liên tục trên
4. Cho hàm số 2 3 1 ( ) 3 7 4 x x f x x  + −  =   − Xét tính liên tục của hàm số tại ñiểm: a) xo = 0 b) xo = 1 III. Vấn ñề III: Chứng minh phương trình có nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số *Phương pháp Nếu hàm số f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b). 1. Chứng minh phương trình: 4 24 2 3 0x x x+ − − = , có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (–1, 1). 2. Chứng minh phöông trình : 3 3 1 0x x− + = coù 3 nghieäm phaân bieät 3.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (m2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng (– 1; 2 ). 4.Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:cosx + mcos2x = 0 5.Chứng minh rằng phương trình 3 2 41 4 3 0( ) ( )m x x x− − + − = luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m. Chương V : ðẠO HÀM Một số câu hỏi trắc nghiệm 1.Cho hàm số y= f(x) = 2 -3 x . Trong các mệnh ñề sau, mệnh ñề nào ñúng ? A. f(-1)=-3 B. f(1)=3 C. f’(1)=-3 D. f(0)=0 2. Tiếp tuyến với parabol y= x2 +3x tại ñiểm M0(1;4) có hệ số góc k bằng bao nhiêu ? A. 5 B. 4 C. 0 D. tan5 3. Lập phương trình tiếp tuyến với parabol (P): y= x2 tại ñiểm M(2;4) A. y= 4x-4 B. y=4x+4 C. y= -4x-4 D. y=4x 4. Cho ñường cong (C): y=x3 .Lập phương trình tiếp tuyên với (C) tại M (-1; -1) ,ta ñược : A. y=3x+2 B. y= 3x C. y= 3x-2 D. y= -3x+2 5. Một vật rơi tự do theo phương trình s= 1 2 gt2 với g=9,8 m/s2. Vận tốc tức thời của vật tại thời ñiểm t= 5s là bao nhiêu ? A. 122,5 m/s B. 29,5 m/s C. 10m/s D. 49m/s 6. Cho hàm số y= f(x) = x5 - 1 +1 x . Tính f’(1) A. 1 B. 7 C. 4 d. 6 Nếu x ≥ 1 Nếu x< 1 Nếu x ≠ 3 Nếu x = 3 Nếu x < 0 Nếu x ≥ 0 Nếu x < 1 Nếu x = 1 Nếu x > 1 7. Cho hàm số f(x)= x.(x+1)10 . Tính f’(0) . A. 0 B. 1 C. 11 D. Một kết quả khác 8. Cho hàm số y= ax + b a + b ( a+b khác 0 ) . Tính f’(0) A. b a + b B. 0 C. 1 D. a a + b 9. Trong các mệnh ñề sau ,hàm số nào là ñạo hàm của hàm số y= ( )( )( )x -1 x - 2 x -3 A. 3x2 -12x +11 B. 3x2 +12x-11 C. 3x2 -12x-11 D. ( ) ( ) ( )( )x - 2 x -3 x -1 x - 2+ 10. Cho hàm số y= 3 3 x +2x2-5x+6.Tìm x ñể f’(x) ≤ 0 A.x=1 và x=-5 B. x=1 hay x=-5 C. x5 1− ≤ ≤ D. x 1 11. Cho f(x)= 1- x 1+ x .Tìm mệnh ñề ñúng A. f’(x) =0 , với mọi x B. f’(x)= ( )2 2 1+ x , với mọi x khác -1 C. f’(x)= ( )2 -2 1+ x , với mọi x khác -1 . D. Hàm liên tục trên R . 12. Hệ số góc của cát tuyên MN với ñường cong (C): y= x2 –x+1 với M , N lần lượt có hoành ñộ là 1 và 2 A.1 B. 2 C. 3 D. 7 2 13.Cho hàm số y= 3 2x - mx + 4x - m 3 . Mệnh ñề nào sau ñây ñúng A. y’= (x-m)2 B. y’>0 với mọi x thuộc R. C. y’>0 với mọi x thuộc R khi 2 2m− ≤ ≤ D. y’>0 với mọi x thuộc R khi 2 2m− < < 14. Cho hàm số y= x - 2 x +1 .Mệnh ñề nào sau ñây ñúng A. y’ 0, 1≥ ∀ ≠ −x B. y' > 0, x R∀ ∈ C. y’ 0, 1> ∀ ≠ −x D. y’ 0, 1< ∀ ≠ −x 15.ðạo hàm của hàm số y= 2 2 x - x +1 x + x +1 là kết quả nào sau ñây : A. ( ) 2 2 2x - 2 x + x +1 B. ( ) 2 2 2x - 2x +1 x + x +1 C. 2x -1 2x +1 D. ( ) 2x -1 2x +1 2 16. Hàm số y= 2 2 x - 6x + 9 có ñạo hàm là A. y’=0 ,với mọi x B. y’= 2 , 2 6x − với mọi x khác 3 C. y’= - 1 , 3x − với mọi x khác 3 . D. y’= - ( )3 4 3x − , với mọi x khác 3 . 17. Cho y= 2x + x - 6− .Tìm mệnh ñề ñúng : A. y’= 2 -2x +1 2 -x + x - 6 , với mọi x ( ) ( ); 2 3;∈ −∞ − ∪ +∞ B. y’= 2 -2x +1 2 -x + x - 6 , với mọi x R∈ C. y’= 2 -x +1 -x + x - 6 , với mọi x ( ] [ ); 2 3;∈ −∞ − ∪ +∞ D. y’= 2 1 2 -x + x - 6 , với mọi x R∈ 18.Tìm mệnh ñề ñúng : A. dsin 4x=cos4xdx B. dsin4x=-cos4xdx C. dsin4x=- 4cos4xdx D.dsin4x= 4 cos4xdx Một số câu hỏi tự luận Bài 1: Tính ñạo hàm các hàm số sau a) y= x+1+ 1 2x + f) y= 2 1 1x x+ + − b) y= ( )2 1 2x − g) y= cos3x .cos2x c) y= tan(sinx) h) y= sin 1 cos x x− d) y= cot 2x − i) y= sinx - cosx sinx + cosx e) y= sin 32x –cos2 3x k) y= 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 2 2 x+ + + Bài 2: ðịnh a sao cho f(x) = cos2x-a sin2 x +2cos2x không phụ thuộc x Bài 3: a) Giải phương trình y’=0 với y= 3 cos5 2sin 5 sin3 5 5 3 x x x− + b) Cho f(t) = cost - tsint sint - tcost . Tính f’(pi ) Bài 4:a) Cho y= x cos2x . Tính ñạo hàm cấp hai cuả hàm số b) Cho y= 1 1 x− . Chứng minh ( ) ( ) n n+1 n!y = 1- x c) Chứng minh : ( ) ( )n2n 2ny = -1 2 .y với y=sin2x d) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y=0 Bài 5*: Cho hàm f(x)= 2-x + 3x - 2 . Tìm m ñể ( )( ) ( ) 2 22f x = m - x 3- 2x f' x có nghiệm . Bài 6*: Tìm m ñể ñồ thị hàm số y= 4x3 -3x tiếp xúc với ñường thẳng y=mx-1 Bài 7: Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm bất kỳ của ñồ thị hàm số y= 2x - 4x1 2 cắt trục tung tại một ñiểm cách ñều tiếp ñiểm và gốc tọa ñộ . Bài 8: Cho hàm số f(x)= x3 -2x2 +mx-3 Tìm m ñể : a) f’(x) bằng bình phương một nhị thức ; b) '( ) 0f x ≥ với mọi x ; c) f’(x) <0 với mọi x∈(0; 2); d) f’(x) >0 với mọi x > 0 . Bài 9: Cho hàm số y= x3 -3x+1 a) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số taị ñiểm x=2; b) Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến song song vói ñường thẳng 45x-y+54=0 ; c) Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng y= - 1 9 x+1 d) Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến ñi qua ñiểm M( 2 ; 1 3 − ) Bài 10*: Gọi (P) và (P’) lần lượt là ñồ thị hai hàm số y= f(x) = -x2 -2x+1 (P) và y= g(x) = x2 -2x-3 (P’) a) Vẽ các ñồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ ñộ . b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (P’). PHẦN HÌNH HỌC Chương 2: QUAN HỆ SONG SONG 1. Cho hai ñường thẳng d1 và d2. ñiều hiện nào sau ñây ñủ ñể kết luận d1 và d2 chéo nhau? a. d1 và d2 không có ñiểm chung b. d1 và d2 là hai cạnh của một hình tứ diện c. d1 và d2 nằm trên hai mặt phẳng phân biệt d. d1 và d2 không cùng nằm trên một mặt phẳng bất kì. 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có bao nhiêu ñường chéo của hình lập phương chéo nhau với cạnh AB? a. 1 b. c. 3 d. 4 3. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung ñiểm của SA. Mệnh ñề nào sau ñây ñúng? a. CM và AB cắt nhau b. CM và BD cắt nhau c. CM và SB cắt nhau d. CM và AO cắt nhau 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt trung ñiểm của BÖÔÙC và CD. Khi ñó giao ñiểm của BJ và mặt phẳng (ADI) là: a. Giao ñiểm của BJ và AD b. Giao ñiểm của BJ và DI c. Giao ñiểm của BJ và AC d. Giao ñiểm của BJ và AI 5. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thanh ñáy lớn AB. Gọi M là trung ñiểm của SC. Khi ñó giao ñiểm của BC với mặt (ADM) là: a. Giao ñiểm của BC và SD b. Giao ñiểm của BC và MD c. Giao ñiểm của BC và MA c. Giao ñiểm của BC và AD 6. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của SB và SD. Thiết diện của mặt phẳng (AIJ) với hình chóp là: a. Tam giác b. Tứ giác c. Ngũ giác d. Lục giác 7. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, K lần lượt là trung ñiểm của BC, DC và SB. Thiết diện của mặt phẳng (MNK) với hình chóp là: a. Tam giác b. Tứ giác c. Ngũ giác d. Lục giác 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD) là: a. IJ b. AB c. IB d. JD 9. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai ñường thắng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ: a. Song song với hai ñường thẳng ñó b. Song song với hai ñường thẳng ñó hoặc trùng với một trong hai ñường thẳng ñó. c. Trùng với một trong hai ñường thẳng ñó d. Cắt một trong hai ñường thẳng ñó 10. Các mệnh ñề sau ñây, mệnh ñề nào ñúng? a. Hai ñường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau b. Hai ñường thẳng không có ñiểm chung thì chéo nhau c. Hai ñường thẳng chéo nhau thì không có ñiểm chung d. Hai ñường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau 11. Cho hai ñường thẳng d1 và d2 chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa d1 và song song d2 ? a. Vô số b. 2 c. 1 d. Không có mặt phẳng nào 12. Cho tứ diện ABCD. ðiểm M ∈AC. Mặt phẳng α qua M và song song với AB. Thiết diện của α với tứ diện ABCD là: a. Hình thang b. Hình bình hành c. Hình chữ nhật d. Hình vuông 13. Trong các giả thiết sau ñây. Giả thiết nào kết luận ñường thẳng d1 song song với mặt phẳng α? a. d1 // d2 và d2 // α b. d1 ∩ α = ∅ c. d1 // d2 và d2 ⊂ α d. d1 // d2 và d2 ∩ α= ∅ 14. Cho ñường thẳng d song song với mặt phẳng α. Nếu mặt phẳng β chứa d và cắt α theo giao tuyến d’ thì: a. d’//d hoặc d’ ≡ d b. d’//d c. d’ ≡ d d. d’ và d chéo nhau 15. Cho hai ñường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng. Giả sử a // b và b//α. Có thể kết luận gì về giá trị tương ñối của a và α? a. a // α b. a ⊂ α c. a // α hoặc a ⊂ α d. a cắt α 16. Cho hai mặt phẳng song song α và β. d là một ñường thẳng nằm trong α. Kết luận nào sau ñây sai? a. d // β b. d song song với một ñường thẳng d’ nào ñó nằm trong β c. d song song với mọi ñường thẳng nằm trong β d. Có hai ñường thằng phân biệt nằm trong β cùng song song với d 17. Khẳng ñịnh nào sau ñâ