Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn toán Trường THPT Nguyễn Gia Thiều ngày thi 17 – 03 – 2012

CỤM TRƯỜNG THPT GIA LÂM – LONG BIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU Ngày thi 17 – 03 – 2012 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn  cosA cosB cosC 2 cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA   Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Câu 2 (4,0 điểm). Cho số tự nhiên k thoả mãn 2000k  . Chứng minh rằng 1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 k kC C C C   . Câu 3 (4,0 điểm). Cho dãy số  nu được xác định bởi 1 1 1 2011 2011 . n n k k u u u n          với 1 2011n  Hãy tính giá trị của tổng 1 2 3 2011...u u u u    . Câu 4 (4,0 điểm). Chứng minh phương trình 3 1 3x x  luôn có ba nghiệm thực phân biệt là 1 2 3, ,x x x . Giả sử 1 2 3x x x  , chứng minh 2 2 32x x  . Câu 5 (4,0 điểm). Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm nằm trong miền tam giác BCD. Đường thẳng qua M và song song với AG cắt các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) theo thứ tự tại các điểm P, Q, R a. Chứng minh MP + MQ + MR AG không đổi khi M chạy trong miền tam giác BCD b. Tìm vị trí điểm M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất. - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Câu Yêu cầu Điểm 1 (4,0) Có 3 cosA cosB cosC > 1 2    1,0 Suy ra 2 3 (cosA cosB cosC) (cosA cosB cosC) 2      1,0 Lại có 2(cosA cosB cosC) 3(cosA.cosB cosB.cosC + cosC.cosA)    1,0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1,0 2 (4,0) 1 1000 10012001 2001 2001 2001 k kC C C C   1 10012002 2002 kC C  (1) Ta chứng minh (1) đúng với mọi số tự nhiên : 1000k k  (vì r n rn nC C  , do đó (1) cũng đúng với mọi số tự nhiên :1000 2000k k  ) 1,0 Xét dãy số hữu hạn  ku với 1 2002 k ku C  , 1000k  . Suy ra 10011000 2002u C 1,0 Chứng minh dãy số hữu hạn  ku tăng, tức là chứng minh 1k ku u  1,0 Từ đó suy ra 1000ku u và suy ra điều phải chứng minh. 1,0 3 (4,0) Từ giả thiết có 1 1 2. 2011.( ... )n nn u u u u      và 1 2 1( 1). 2011.( ... )n nn u u u u       Suy ra 1. ( 1). 2011.n n nn u n u u     hay   1 2011 ( 1) .n n n u u n      1,0 Ta có 1 2 1 1 1 1 12011 2011 3 2 1 2011 1 2011 2011 (1 1) . 1 ( 1) .2011. ( 1) .2011.2011 (2 1) . ( 1) .2011. 2 ! ( 1)! ... 2011 ( 1) . n n n n n n n n n n u u u A A u u u u C n n n u u n                                    1,0 1 2 3 2011...u u u u    = 2011  0 1 2 20102011 2011 2011 2011...C C C C    1,0 = 2011  0 1 2 2010 2011 20112011 2011 2011 2011 2011 2011...C C C C C C        = 2011. 1,0 4 (4,0) Chứng minh phương trình 3 1 3x x  (2), có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2 ; 2) 1,0 Đặt 2.cosx t với 0 t   , tìm được nghiệm phương trình là 8 9 t   , 4 9 t   , 2 9 t   1,0 Do 1 2 3x x x  , nên ba nghiệm của (2) là 1 8 2.cos 9 x   , 2 4 2.cos 9 x   , 3 2 2.cos 9 x   1,0 Chứng minh được 22 32x x  1,0 5 (4,0) a. Vẽ hình và xác định đúng các điểm P, Q, R 1,0 Chứng minh được MP + MQ + MR AG = MBC MCD MBD BCD 3S 3S 3S S   = 3 2,0 b. Áp dụng kết quả câu a, tìm được MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất bằng AG3 khi M  G. 1,0 Các cách giải khác mà đúng vẫn chấm điểm. Học sinh lập luận đầy đủ chặt chẽ mới cho điểm tối đa.