Đề thi vô địch toán 9 vòng 2

đề thi vô địch toán 9 vòng 2 Câu 1: Cho số a = a. Lập đa thức hệ số nguyên nhận a = là nghiệm. b. Chứng minh a = là một số vô tỉ. c. Tính giá trị của biểu thức f(a) trong đó: f(x) = x5 - x4 + 7x3 - 8x2 + 8x + 2004. Câu 2: Cho dãy số nguyên dương a1 ; a2 ;an được xác đình như sau : a1 = b; a2 = b + 1; an+1 = an(an-1) + 2 với n ≥ 2, n € N Chứng minh rằng: (a12 + 1) (a22 + 1)...a2n + 1) - 1 = (an +1 - 1)2 Câu 3: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. Câu 4: Xác định m để pt (m -1) x2 + 2 (m-3) x + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt và nghịch đảo của 2 nghiệm đều nhỏ hơn m. Câu 5 Cho tam giác ABC có AD là phân giác và AM là trung tuyến. Đường tròn ba điểm A, M, D cắt AB tại E và cắt AC tại F. a. CMR BE = CF b. Gọi I là trung điểm của EF. CMR IM//AD. đáp án vô địch toán 9 vòng 2 Đáp án Câu 1: (1.5đ) Ta có a = => a3 = 4-2 -3 => a3 = 2 - 6a => a3 + 6a - 2 = 0. Vậy a là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên g(x) = x3 + 6x - 2. b. Giả sử a là số hữu tỉ thì đa thức g(x) có nghiệm hữu tỉ a. Vì g(x) là đa thức có hệ số nguyên và hệ số cao nhất là 1. => a là nghiệm nguyên của g(x) và là ước của hệ số tự do là -2. => a € ± 1; ± 2 nhưng g(1) = 5 ≠ 0. g(-1) = -9 ≠ 0 g(2) = 18 ≠ 0 g(-2) = -22 ≠ 0 mâu thuẫn. Vậy a là số vô tỉ. c. Ta có: f(x) = (x3 + 6x - 2) (x2 - x + 1) + 2006. Hay f(x) = g(x) . (x2 - x + 1) + 2006. Vì a là nghiệm của g(x) nên g(a) = 0 do đó f(a) = g(a). (a2 - a + 1) + 2006 = 2006 Vậy f(a) = 2006. Câu 2: (1,5đ) Theo đầu bài ta có: a1= a2- 1. a3 = a2. a1+ 2 = a2(a2-1) + 2. +Với n = 2. ta có. (a21 + 1) (a22 + 1) - 1. = (a22 + 1) - 1 = (a2 - 1)2 . a22 + (a2 - 1)2 + a22 + 1 - 1. = 2 + 2 (a2 - 1) a2 +1 = 2 = (a2 . a1 + 2 - 1)2 = (a3 - 1)2. Mệnh đề đúng với n = 2. + Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 2 (n € N) tức là ta có: (a21 + 1) (a22 + 1)...(a2K + 1) - 1 = (aK + 1- 1)2. Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy. Ta có: (a21 + 1) (a22 +1) (a2K + 1) (a2k + 1) - 1 = (a2k+1 + 1) - 1. = (ak+1 - 1)2 . a2k +1 + (ak +1 - 1)2 + a2k+1 + 1 -1. = [2 + 2aK+1 (aK +1 - 1) + 1. = 2 = (a K+2 - 1)2 Mệnh đề đúng với n = k+ 1. Vậy ta có: (a21 + 1) (a21 + 1)...(a2n + 1) - 1 = (an+1 -1)2 Câu 3(2đ): Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và a+b+c = 2. => 0 < a< 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1. => a-1 < 0, b - 1 < 0, c - 1 < 0. => (a -1) (b - 1) (c - 1 < 0. => abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) - 1 < 0. => ab + bc + ca - abc > 1. => 2ab + 2 bc + 2ca - 2 abc > 2. => (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2 + 2 abc) > 2. => a2 + b2 + c2 + 2 abc < 2 (vì (a2 + b + c)2 = 4). Câu 4(2đ): (Học sinh có thể làm bằng nhiều cách) (m - 1) x2 + 2(m-3)x + 1 = 0 (1) vì pt có 2 nghiệm phân biệt nên m ≠ 1. ta thấy x = 0 không là nghiệm của pt (1) vì nếu x = 0 là nghiệm từ (1) ta có 1 = 0 (vô lý) chia cả 2 vế của pt (1) cho x2 (x ≠ 0) ta được. m - 1 + + = 0. (2) Đặt = y khi đó pt (2) có dạng: y2 + 2 (m - 3) y + m- 1 = 0 (3). Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt và nghịch đảo của 2 nghiệm đều nhỏ hơn m khi và chỉ khi pt (3) co 2 nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn m. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Vậy <m<2 Hoặc m>5 là các giá trị cần tìm. Câu 5 : 3đ a. (1,5đ) Mặt khác: (Tính chất đường phân giác) (2) Từ (1) và (2) ta có: BE = CF (Vì BM = CM) b.(1,5đ) Gọi P và Q là trung điểm BF, CE theo tính chất đường trung bình ta có: Hay IPMQ là hình thoi. Vậy IM là phân giác góc PIQ mà PI//AB, IQ//AC nên IM//AD