Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Ninh Bình - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 41: TUYỂN SINH VÀO 10 NINH BÌNH NĂM HỌC 2019-2020 a) Rút gọn biêu thức . b) Giải hệ phương trình c) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng . 1. Rút gọn biểu thức (với ). 2. Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình (1) khi . b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trịNINH lớn nhất. Bác Bình gửi tiết kiệm triệu đồng vào ngân hàng A, kì hạn một năm. Cùng ngày, bác gửi tiết kiệm 150 triệu đồng vào ngân hàng B, kì hạn một năm, với lãi suất cao hơn lãi suất của ngân hàng A là 1% / năm. Biết sau đúng 1 năm kể từ ngày gửi tiền. Bác Bình nhận được tổng sổ tiền lãi là triệu đồng từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm nêu trên. Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là bao nhiêu phần trăm? 1. Cho đựờng tròn tâm một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ kẻ đường thẳng đi qua tâm , cắt đường tròn tại hai điểm ( nằm giữa và ). Kẻ đường thẳng thứ hai đi qua , cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ( nằm giữa và , khác ). Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại , đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . a. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh vuông góc với . 2. Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị trí ở bở bên này sang vị trí ở bờ bên kia, đường thẳng vuông góc với các bờ sông. Do bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị tri cách mội khoảng bằng 30 m. Biết khúc sông rộng m, hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây). Câu 5: 1. Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho tổng các ước nguyên dương của là một số chính phương. 2. Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . LỜI GIẢI Câu 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là Tọa độ giao điểm của hai đường thằng là nghiệm của hệ phương trình Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thằng là Câu 2 Vậy Cho phương trình Khi phương trình (1) trở thành có nên có hai nghiệm là Vậy, khi thì tập nghiệm của phương trình đã cho là Ta có Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi Áp dụng định lí Vi ét cho phương trình (1) ta có Theo đề ra ta có Ta có Vậy giá trị lớn nhất của . Dấu “=” xảy ra khi Câu 3 Gọi lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là / năm. () Thì lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng B là / năm. Tiền lãi bác Bình nhận được sau 1 năm gửi vào ngân hàng A là : (triệu đồng) Tiền lãi bác Bình nhận được sau 1 năm gửi vào ngân hàng B là : (triệu đồng) Tổng số tiền lãi bác Bình nhận được từ hai khoản tiết kiệm trên là triệu đồng nên ta có phương trình : (thỏa mãn ) Vậy lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là Câu 4 a. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp. Ta có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên Tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) b. Chứng minh vuông góc với . Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) Hay (1) Xét đường tròn ta có : là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung và (2) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung và (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau) nằm trên đường trung trực của (4) Lại có (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Xét và ta có : (chứng minh trên) chung (chứng minh trên) Do đó (ch-cgv) (hai cạnh tương ứng) nằm trên đường trung trực của (5) Từ (4) và (5) suy ra là đường trung trực của hay (đpcm) Ta có hình vẽ : Ta có vuông tại Do đó Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò đi lệch một góc có số đo bằng Câu 5 Ta có là số nguyên tố () là số có các ước dương là Theo đề bài ta có tổng các ước nguyên dương của là một số chính phương (*) Ta có Vậy không có số nguyên tố nào thỏa mãn đề bài Ta chứng minh bất đẳng thức với Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ta có (*) Dấu “=” xảy khi khi Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Dấu “=” xảy ra khi Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi LỜI GIẢI ĐỀ SỐ 6: TUYỂN SINH VÀO 10 BẮC NINH NĂM HỌC 2019-2020 I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Chọn phương án trả lời đúng trong các câu sau: Khi biểu thức có giá trị là A.. B.. C.. D.. Lời giải Chọn: D Thay (thỏa mãn) vào biểu thức ta tính được biểu thức có giá trị bằng . Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ? A.. B.. C.. D.. Lời giải Chọn: B Hàm số đồng biến trên . Số nghiệm của phương trình là A.. B.. C.. D.. Lời giải Chọn: D Đặt . Khi đó phương trình tương đương . Ta thấy . Nên phương trình có hai nghiệm (thỏa mãn); (thỏa mãn). Khi đó Cho hàm số . Điểm thuộc đồ thị hàm số khi A.. B.. C.. D.. Lời giải Chọn . Vì thuộc đồ thị hàm số nên ta có (thỏa mãn). Từ điểm nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn ( là các tiếp điểm). Kẻ đường kính . Biết , số đo của cung nhỏ là A.. B.. C.. D.. Lời giải Chọn: A. Từ giả thiết ta suy ra tứ giác nội tiếp nên , mà sđ nên Số đo cung nhỏ là . Cho tam giác vuông tại . Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống cạnh . Biết , . Độ dài đoạn là A.. B.. C.. D.. Lời giải Chọn: B Theo đề bài ta có: . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ta có II. TỰ LUẬN (7,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức . Cho biểu thức với , . b) Tìm là số chính phương để là số nguyên. Lời giải b) . là số nguyên khi và chỉ khi là ước nguyên dương của gồm: . +) , thỏa mãn. +) , thỏa mãn. +) , thỏa mãn. +) , thỏa mãn. +) , thỏa mãn. +) , thỏa mãn. An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm và điểm của mình thấynhiều hơn bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm và điểm đó là . Hỏi An được bao nhiêu bài điểm và bao nhiêu bài điểm ? Lời giải Gọi số bài điểm và điểm của An đạt được lần lượt là (bài). Theo giả thiết . Vì tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đó là nên . Ta có . Do và nên . Ta có hệ (thỏa mãn). Vậy An được bài điểm và bài điểm . Cho đường tròn , hai điểm nằm trên sao cho . Điểm nằm trên cung lớn sao cho và tam giác có ba góc đều nhọn. Các đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm. cắt tại điểm (khác điểm); cắt tại điểm (khác điểm); cắt tại điểm. Chứng minh rằng: a) Tứ giác nội tiếp một đường tròn. b) là đường kính của đường tròn . c) song song với . Lời giải a)Ta có . Do đó,là tứ giác nội tiếp. b) Do tứ giác nội tiếp nên . . Suy ra, hay là đường kính của . c) Do là đường kính của nên . Do đó, là trực tâm tam giác hay . Do cùng nhìn dưới góc nên tứ giác nội tiếp. Suy ra, là điểm chính giữa của cung . Vì nên không cân tại do đó không thẳng hàng. Từ đó suy ra . a) Cho phương trình với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho. b) Cho hai số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Lời giải a) . Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . Áp dụng ĐL Vi-ét ta có . Ta có ĐK (*) Vì thỏa mãn . Do đó, hay vô nghiệm. Vậy giá trị cần tìm là . b) Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vì nên . Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi . +) Vì nên Suy ra . Mặt khác . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Giá trị lớn nhất của biểu thức là  đạt được khi ---------------Hết---------------