Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Hà Nội - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO              HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: MÔN TOÁN Ngày thi 02 tháng 6 năm 2019 Thời gian làm bài: 120 phút. ( 2,0 điểm ) Cho hai biểu thức và với . 1) Tìm giá trị của biểu thức khi . 2) Rút gọn biểu thức . 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá trị nguyên lớn nhât. (2,5 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong ngày thì cả hai đội hoàn thành được công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên? Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao và diện tích đáy là . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). (2,0 điểm) Giải phương trình: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và parabol Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt Tìm tất cả giá trị của m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn . (3,0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn () nội tiếp đường tròn . Hai đường cao và của tam giác cắt nhau tại điểm . 1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng . 3) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và đường thẳng song song với đường thẳng . ( 0,5 điểm) Cho biểu thức với là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . ---HẾT--- HƯỚNG DẪN GIẢI ( 2,0 điểm ) Cho hai biểu thức và với . 1) Tìm giá trị của biểu thức khi . 2) Rút gọn biểu thức . 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá trị nguyên lớn nhât. Lời giải 1) Với Thay vào ta có : . 2) Rút gọn biểu thức . Với , , ta có . . . . . . 3) Tìm tất cả giá trị nguyên của để biểu thức đạt giá giá trị nguyên lớn nhất. Ta có . Để nhận giá trị nguyên khi thì hay . Khi đó, ta có bảng giá trị sau: Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có . Khi đó giá trị cần tìm của là . (2,5 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong ngày thì cả hai đội hoàn thành được công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên. Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao và diện tích đáy là . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). Lời giải Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là và , đơn vị (ngày). Một ngày đội thứ nhất làm được (công việc). Một ngày đội thứ hai làm được (công việc). Vì hai đội cùng làm trong ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai đội làm được (công việc). Suy ra, ta có phương trình : (1). Ba ngày đội đội thứ nhất làm được (công việc). Năm ngày đội thứ hai làm được (công việc). Vì đội thứ nhất làm trong ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong ngày thì cả hai đội hoàn thành xong (công việc). Suy ra, ta có phương trình : (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : (TMĐK). Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là (ngày). Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. Như vậy số mét khối đựng được của bồn sẽ là : (2,0 điểm) Giải phương trình: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và parabol Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt Tìm tất cả giá trị của m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn Lời giải 1) Giải phương trình: Cách 1 : Đặt *Phương trình trở thành : Ta có : Suy ra :Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: và Thay vào ta có : Vậy nghiệm của phương trình là : Cách 2 : Ta có : Vậy nghiệm của phương trình là : 2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và parabol Xét phương trình hoành độ giao điểm Để luôn cắt tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt với Ta có : Xét Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt Tìm tất cả giá trị của m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn Ta có Hai nghiệm của phương trình : Biến đổi biểu thức ta có : Thay vào biểu thức ta có : Kết Luận : Với thỏa mãn yêu cầu bài toán. (3,0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn () nội tiếp đường tròn . Hai đường cao và của tam giác cắt nhau tại điểm . 1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng . 3) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và đường thẳng song song với đường thẳng . Lời giải 1) Chứng minh bốn điểm, , , cùng thuộc một đường tròn. Xét tứ giác ta có : ( là đường cao) ( là đường cao) là tứ giác nội tiếp (đỉnh , cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông). 2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng Vẽ tiếp tuyến như hình vẽ (tính chất giữa đường tiếp tuyến và dây cung). Do tứ giác nội tiếp Ta suy ra (do hai góc so le trong) Lại có (đpcm). 3) Chứng minh Ta có : ( Vì ) Mặt khác (vì ) ( Vì ) Vậy ( g-g). * Chứng minh Gọi là giao điểm của và , dung đường kính Ta có cùng vuông góc cùng vuông góc là hình bình hành nên thẳng hàng Ta có và Nội tiếp đường tròn Kết hợp nội tiếp đường tròn . ( 0,5 điểm) Cho biểu thức với là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Lời giải Ta có thay vào ta được. . Vì , mà . Và . Từ và suy ra Vậy . Dấu = xảy ra khi . . Dấu = xảy ra khi hoặc .