Đề thi thử đại học, cao đẳng 2012 môn thi : toán đề 142

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010. Môn thi : TOÁN (ĐỀ 142) I-PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình lượng giác. Giải hệ phương trình. Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau. Câu IV(1,0 điểm): Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng: Câu V(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng . PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B) Theo chương trình chuẩn. Câu VIa(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số của x5 trong khai triển (2+x +3x2 )15 Theo chương trình nâng cao. Câu VIb(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình: -------------------------------------------- HẾT------------------------------------------------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. (Hướng dẫn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010. Môn thi : TOÁN (ĐỀ 142) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 2 1,0 Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d) d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT có nghiệm Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1 0,25 Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt Đk là : (*) Khi đó theo Viet ta có : x1 +x2 = ; x1.x2 = 0,25 . Suy ra y1 = 1+ ; y2 = Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Ox thì y1.y2 <0 ⇔ (1+) < 0 ⇔ 0,25 Giải đk trên ta được ⇔ -(3a+2) -2/3 Kết hợp với đk (*) ta có 1 ≠ a>-2/3 0,25 II 2,0 1 1,0 ĐK: 0,25 Với ĐK trên PT đã cho tương đương với 0,5 Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là 0,25 2 1,0 Đặt : t = x + y ; ĐK: t Giải PT: 0.25 0,5 Hệ đã cho trở thành Vậy hệ dã cho có một nghiệm 0,25 III 1,0 Đặt : t = tanx Đổi cận: x = x = 0,5 Khi đó 0,5 IV 1,0 BĐT cần chứng minh tương đương với Nhận xét: Do nên là các số thực dương 0,25 Xét : A = với x,y > 0 Chia tử và mẫu cho và đặt t = ta được A = với t > 0 Xét hàm số f(t) = trên (0;+) Ta có : f’(t) = Bảng biên thiên: t 0 1 + f’(t) 0 + f(t) 1 1 Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với mọi t > 0 Từ đó A = với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y. 0,5 Do vai trò là như nhau nên BĐT cần chứng minh tương đương Áp dụng BĐT cô si ta có Thay vào ta suy BĐT được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0,25 V 1,0 H D E C B A Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE Ta có ACD cân tại A nên CD AE Tương tự BCD cân tại B nên CD BE Suy ra CD (ABE) CD BH Mà BH AE suy ra BH (ACD) Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 0,25 Thể tích của khối tứ diện ABCD là Mà Khi đó :là 2 nghiệm của pt: x2 - x + = 0 trường hợp vì DE<a 0,25 Xét BED vuông tại E nên BE = Xét BHE vuông tại H nên sin = Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là 0,25 VIa 2,0 1 1,0 Ta có ; [,] = (12; -6;8) Mp (BCD) đi qua B và có VTPT =(6;-3;4) nên có PT: 6x-3y+4z+16=0 Gọi d là đt đi qua A và vuông góc với mp(BCD) thì d có PT: 0,5 Hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD) là giao điểm của d với mp(BCD) Tọa độ của H là nghiệm của hệ :  Vậy H( -2; -4; -4) 0,5 2 1,0 Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 I A H B Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4 Mặt khác IH= d( I; Δ ) Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0 0,5 d(I; Δ )= vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0 0,5 VIIa 1,0 Ta có (2+x+3x2 )15 = Mà = Vậy (2+x+3x2 )15 = 0,5 Theo gt với x5 ta có các cặp số : (k=3; i=2) ( k=4; i=1) (k=5; i=0) Vậy hệ số của x5 trong khai triển trên là : a= 0,5 VIb 1,0 ĐK: x > 1 Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương 0,25 0,5 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm : 0,25