Đề thi Phương trình lượng giác

10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -1- 10 NĂM THI CHUNG - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1. [ĐHA02] Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình cos 3x sin 3x5 sin x cos 2x 3 1 2sin 2x        . Hướng dẫn Biến đổi cos 3x sin 3xsin x cos x 1 2sin 2x     . Đặt t cos x , ta cĩ phương trình 22t 5t 2 0   . Đáp số: 3  , 5 3  . Bài 2. [ĐHB02] Giải phương trình 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x   . Hướng dẫn Dùng cơng thức hạ bậc ta cĩ phương trình đã cho tương đương với    cos12x cos 6x cos10x cos 8x 0     sin 9xsin 2xcos x 0 . Đáp số: k 9  , k 2  (k  ). Bài 3. [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn  0;14 của phương trình  osc 3x 4cos 2x 3cos x 4 0 1    . Giải Ta cĩ  1     3 24cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0       3 24cos x 8cos x 0   3 2cos x 2cos x 0    2cos x cos x 2 0  10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -2-  cos x 0 (do cos x 2 1 0 x     )  x k 2     (k  ). Ta cĩ  k 0;14 2      k 0;1;2;3 . Vậy các nghiệm thuộc đoạn  0;14 là 2  , 3 2  , 5 2  , 7 2  . Bài 4. [ĐHA03] Giải phương trình 2 cos 2x 1cot x 1 sin x sin 2x 1 tan x 2      . Hướng dẫn Đk: sin x 0 cos x 0 sin x cos x 0       . Phương trình đã cho tương đương với    2cos x sin x cos x sin x sin xcos x sin x sin x cos x         cos x sin x 3 sin x cos x 0    . Đáp số: k 4    (k  ). Bài 5. [ĐHB03] Giải phương trình x 2cot x tan 4sin 2x sin 2x    . Hướng dẫn Biến đổi x= 2cos 2xcot x tan sin 2x  . Đặt t cos 2x phương trình đã cho trở thành 22t t 1 0   . Chú ý xử lý điều kiện. Đáp số: k 3     (k  ). Bài 6. [ĐHD03] Giải phương trình 2 2 2 x xsin tan x cos 0 2 4 2         . Hướng dẫn Đk: cos x 0 . Phương trình đã cho tương đương với       1 cos x 1 cos x1 sin x 1 cos x 2 21 sin x 1 sin x . 0            1 cos x1 sin x1 cos x 1 0   . 10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -3- Đáp số: 2k   , k 4     (k  ). Bài 7. [ĐHB04] Giải phương trình 25sin x 2 3(1 sin x)tan x   . Hướng dẫn Đặt t sin x phương trình đã cho trở thành 22t 3t 2 0   . Chú ý xử lý điều kiện. Đáp số: k2 6    , 5 k2 6    (k  ). Bài 8. [ĐHD04] Giải phương trình      2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x 1    . Giải Ta cĩ  sin 2x sin x sin x 2cos x 1   . Do đĩ  1       2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1        2cos x 1 sin x cos x 0    2cos x 1 0 sin x cos x 0       1 2cos x tan x 1        x 2k 3 tan x k 4            (k  ). Bài 9. [ĐHA05] Giải phương trình 2 2cos 3xcos 2x cos x 0  . Hướng dẫn Đặt t cos 2x phương trình đã cho trở thành 2 24t 3t 1 0   . Đáp số: k 2  (k  ). Bài 10. [ĐHB05] Giải phương trình  1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 1     . Giải Ta cĩ:  21 sin 2x sin x cos x   ,    cos 2x cos x sin x cos x sin x   . Do đĩ  1         2sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 0             sin x cos x 1 sin x cos x cos x sin x 0            sin x cos x 2cos x 1 0   10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -4-  sin x cos x 0 2cos x 1 0       tan x 1 1cos x 2         4 2 3 x k cos x 2k              , (k  ). Bài 11. [ĐHD05] Giải phương trình 4 4 3sin x cos x sin 3x cos x 0 4 4 2                   . Hướng dẫn Biến đổi 4 4 2 1sin x cos x 1 sin 2x 2    ,  21sin 3x cos x 2sin x sin 2x 14 4 2                  . Đặt t sin 2x phương trình đã cho trở thành 2t t 2 0   . Đáp số: k 4    (k  ). Bài 12. [ĐHA06] Giải phương trình     6 62 sin x cos x sin xcos x 0 1 2 2sin x     . Giải Đk: 2 2sin x 0   2sin x 2   x 2k 4 3x 2k 4           (k  )  2 . Ta cĩ    36 6 2 2 2 2 2 2 23sin x cos x sin x cos x 3sin xcos x sin x cos x 1 sin 2x4       . Do đĩ  1  23 12 1 sin 2x sin 2x 0 4 2          23sin 2x sin 2x 4 0     vô nghiệm sin 2x 1 4sin 2x 3      10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -5-  2x 2k 2      x k 4            không thỏa mãn thỏa mãn x 2k 2 4 5x 2k 2 4          (k  ). Vậy nghiệm của  1 là 5x 2k 4     (k  ). Bài 13. [ĐHB06] Giải phương trình  xcot x sin x 1 tan x tan 4 1 2         . Giải Đk: x 2 sin x 0 cos x 0 cos 0       sin x 0 cos x 0     kx 2   . Ta cĩ x x x x 2 2 2 2 x x x 2 2 2 sin xsin cos xcos sin xsin cosx 11 tan xtan 1 2 cos xcos xcos cos xcos cos xcos        . Do đĩ  1  cot x tan x 4   2tan x 4tan x 1 0   ( sin x 0 , cos x 0 )  tan x 2 3 tan x 2 3        x k 12 5x k 12          (k  ). Bài 14. [ĐHD06] Giải phương trình  cos 3x cos 2x cos x 1 0 1    . Giải Ta cĩ 10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -6-  1     3 24cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0       3 24cos x 2cos x 4cos x 2 0      3 22cos x cos x 2cos x 1 0 2    . Đặt t cos x     t 1;1 3  ,  2 trở thành 3 22t t 2t 1 0          t 1 t 1 2t 1 0           thỏa mãn 3 thỏa mãn 312 t 1 t        . * Thay t 1  vào  3 ta cĩ cos x 1   sin x 0  x k  (k  ). * Thay 12t   vào  3 ta cĩ 1 2cos x    2x k2 3      (k  ). Vậy  1 cĩ các họ nghiệm là x k  , 2x k2 3      (k  ). Bài 15. [ĐHA07] Giải phương trình      2 21 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x 1     . Giải Ta cĩ  1         2sin x cos x sin xcos x sin x cos x sin x cos x 2     . Đặt       24 t 1 2 t 2; 2 4 t sin x cos x 2 sin x 3 sin xcos x                ,  2 trở thành 2t 1 2 2t t.t   2t 1 2 tt 1 0          2t t 1 0         thỏa mãn thỏa mãn t 0 4 t 1 4      . Thay t 0 vào  3 ta cĩ  42 sin x 0    4sin x 0   x k4      x k 4      (k  ). Thay t 1 vào  3 ta cĩ 10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -7-  42 sin x 1    4 1sin x 2    x 2k 4 4 3x 2k 4 4               x 2k x 2k 2         (k  ). Vậy các nghiệm của  1 là x k 4      , x 2k  , x 2k 2     (k  ). Bài 16. [ĐHB07] Giải phương trình x22sin 2x sin 7x 1 sin   . Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với  cos 4x sin 7x sin x 0     cos 4x 1 2sin 3x 0  . Đáp số: k 8 4    , 2k 18 3    , 5 2k 18 3    (k  ). Bài 17. [ĐHD07] Giải phương trình   2x xsin cos 3 cos x 2 1 2 2         . Giải Ta cĩ 2 2 2x x x x x xsin cos sin cos 2sin cos 1 sin x 2 2 2 2 2 2            . Do đĩ  1  sin x 3 cos x 1   31 12 2 2sin x cos x   1 3 3 2sin xcos cos xsin       13 2sin x    3 65 3 6 x 2k x 2k                 6 2 x 2k x 2k             (k  ). Bài 18. [ĐHA08] Giải phương trình  1 1 74sin - x 13sin x 4sin x - 2              . Giải 10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -8- Ta cĩ 3sin x - sin x cos x 2 2                và 7 sin x cos xsin x sin x sin x 4 4 4 2                              . Do đĩ điều kiện để  1 cĩ nghĩa là sin x 0 cos x 0     sin 2x 0  kx 2   (k  )  2 .  1  1 1 sin x cos x4. sin x cos x 2      sin x cos x sin x cos x4. sin xcos x 2        1sin x cos x 2 2 0 sin xcos x                    thỏa mãn 2 thỏa mãn 2 sin x cos x 0 3 1 2 2 0 4 sin xcos x        .  3  tan x 1   x k 4      (k  ).  4  2 2 2 0 sin 2x    1sin 2x 2    x 2k 4 5x 2k 4            x k 8 5x k 8           (k  ). Vậy các nghiệm của  1 là x k 4      , x k 8      , 5x k 8     (k  ). Bài 19. [ĐHB08] Giải phương trình 3 3 2 2sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin xcos x   . Hướng dẫn Đk: cos x 0 . Phương trình đã cho tương đương với  cos 2x sin x 3 cos x 0  . Đáp số: k 4 2    , k 3     (k  ). Bài 20. [ĐHD08] Giải phương trình  2sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2cos x    . Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với    sin 2x 1 2cos x 1 0   . 10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -9- Đáp số: 2 k2 3     , k 4    (k  ). Bài 21. [ĐHA09] Giải phương trình         1 2sin x cos x 3 1 1 2sin x 1 sin x     . Giải Đk: 1 2sin x sin x 1       4 5 4 2 x 2k x 2k x 2k                  . Ta cĩ      21 2sin x 1 sin x sin x 1 2sin x sin x cos 2x       . Do đĩ  1   cos x sin 2x 3 sin x cos 2x    sin 2x 3 cos 2x cos x 3 sin x    3 31 1 2 2 2 2sin 2x cos 2x cos x sin x    3 3 6 6sin 2xcos cos 2xsin sin cos x cos sin x           3 6sin 2x sin x     3 65 3 6 2x x 2k 2x x 2k                   2k 18 3 2 x x 2k             (k  ). Kết hợp với điều kiện để  1 cĩ nghĩa ta cĩ tập nghiệm của  1 là 2k18 3    (k  ). Bài 22. [ĐHB09] Giải phương trình  3sin x cos xsin 2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x    . Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với  6cos 4x cos 3x   . Đáp số: 2k 6     , 2k 42 7    (k  ). Bài 23. [ĐHD09] Giải phương trình  3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0 1   . Giải Ta cĩ 2sin 3xcos 2x sin 5x sin x  . Do đĩ  1  3 cos 5x sin5x 2sin x   3 12 2cos 5x sin5x sin x  10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -10-  3 3sin cos 5x cos sin 5x sin x      3sin 5x sin x    3 3 5x x 2k 5x x 2k                 k 18 3 k 6 2 x x             (k  ). Bài 24. [ĐHA10] Giải phương trình     1 sin x cos 2x sin x 14 cos x 1 1 tan x 2          . Giải Đk: cos x 0 sin x cos x 0        x k 2 2 x k 4           . Ta thấy sin x cos x1 tan x cos x    , sin x cos xsin x 4 2         . Do đĩ  1  1 sin x cos 2x 1    sin x cos 2x 0    2sin x 1 2sin x 0   22sin x sin x 1 0         loại thỏa mãn sin x 1 cos x 0, 1sin x 2 2           x 2k 6 7x 2k 6           (k  ). Bài 25. [ĐHB10] Giải phương trình  sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0    . Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với    cos 2xcos x 2cos 2x sin 2xcos x sin x 0      cos 2x cos x sin x 2 0   . 10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -11- Đáp số: k 4 2    (k  ). Bài 26. [ĐHD10] Giải phương trình sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0     . Hướng dẫn Coi phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với sin x , ta giải được 1 2 sin x cos x 2 sin x      . Đáp số: 2k 6    , 5 2k 6    (k  ). Bài 27. [ĐHA11] 2 1 sin 2x cos 2x 2 sin xsin 2x 1 cot x     . Hướng dẫn Đk: cos x 0 . Phương trình đã cho tương đương với  cos x sin x cos x 2 0   . Đáp số: k 2    , 2k 4    , (k  ). Bài 28. [ĐHB11] Giải phương trình  sin 2xcos x sin xcos x cos 2x sin x cos x 1    . Giải Ta cĩ  1   sin 2xcos x sin xcos x sin x cos 2x cos x 0         2 2sin x 2cos x cos x 1 2cos x cos x 1 0          2sin x 1 2cos x cos x 1 0          sin x 1 cos x 1 2cos x 1 0     sin x 1 cos x 1 1cos x 2           x 2k 2 x 2k x 2k 3                 (k  ). 10 năm thi chung - Phương trình lượng giác ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 -12- Bài 29. [ĐHD11] Giải phương trình sin 2x 2cos x sin x 1 0 tan x 3      . Hướng dẫn Đk: tan x 3  . Phương trình đã cho tương đương với    2cos x 1 sin x 1 0   . Đáp số: 2k 3    (k  ).