Đề thi Olympic năm học 2012 – 2013 môn: Toán học – lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ ------------------------------- ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán học – Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 13 – 3 – 2013 ----------------------------- Bài I (7 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( )cos 7sin sin cos 3sin cos 3sin .x x x x x x x+ = + + 2. Tìm giới hạn 2 243 1 2 6 3 1 5 2 1 lim . 1x x x x x L x® + + + - - - = - Bài II (5 điểm) Cho dãy số ( )nu định bởi 1 2 * 1 2 . 2 4 ,n n u u u n+ ì =ï í = - - " ÎNïî 1. Xét tính bị chặn của dãy số ( ).nu 2. Tìm số hạng tổng quát nu của dãy số ( ).nu Bài III (6 điểm) Trong không gian, cho ba tia , ,Ox Oy Oz không đồng phẳng. Gọi a là góc tạo bởi hai tia Ox và ,Oy b là góc tạo bởi hai tia Oy và ,Oz g là góc tạo bởi hai tia , .Oz Ox Trên tia Ox lấy điểm A sao cho đoạn thẳng OA có độ dài bằng .a a) Khi 060 ,a b g= = = gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ).Oyz Chứng minh rằng OH là phân giác của góc ·yOz và tính độ dài đoạn thẳng AH theo .a b) Khi ,a b g= = lấy ,M N lần lượt là hai điểm cố định trên ,Oy Oz sao cho OM ON b= = không đổi. Tìm vị trí của điểm A trên Ox để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất. c) Chứng minh rằng ta luôn có: 2 3 cos 2cos 3 cos 4.a b g+ + > - Bài IV (2 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn: .ab bc ca abc+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 . a b c F a b a b b c b c c a c a = + + + + + + + + ---------------- HẾT ---------------- ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ ------------------------------- ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn Toán học – Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ----------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM Bài I 1. Giải phương trình ( ) ( )cos 7sin sin cos 3sin cos 3sin .x x x x x x x+ = + + 3 điểm Điều kiện: sin 0 cos 3sin 0. x x x ³ì í + ³î Đặt cos 3sin 0, sin 0.x x a x b+ = ³ = ³ Ta có ( ) ( )2 2 3 3 2 34 4 0 1 .a b b a a a b b+ = Û - - = 1 điểm Trường hợp 1: Nếu 0 0b a= Þ = Þ Loại. Trường hợp 2: 0b ¹ Þ Chia cả hai vế của phương trình cho 3b được: 3 2 4 0 2 2 . a a a a b b b b æ ö æ ö- - = Û = Û =ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 điểm Do đó cos 3sin 2 sin sin cos , . 4 x x x x x x k k p p+ = Û = Û = + ΢ Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là 2 , . 4 x k k p p= + ΢ 1 điểm 2. Tìm giới hạn 2 243 1 2 6 3 1 5 2 1 lim . 1x x x x x L x® + + + - - - = - 4 điểm Ta có ( ) 3 1 21 1 33 2 6 2 2 1 lim lim , 1 62 6 2 2 6 4x x x L x x x® ® + - - = = = - - + + + + 1 điểm ( )2 2 21 1 3 23 1 3 9 lim lim 1 21 1x x xx x L x x x® ® - ++ - - = = = - - + - + 1 điểm và ( ) ( )( ) 24 3 1 1 2 24 10 15 5 2 1 lim lim 5. 1 2 1 1 2 1 1x x xx L x x x® ® +- - = = = - - + - + 1 điểm Từ đó 1 2 3 1 .3L L L L= + + = 1 điểm Bài II Cho dãy số ( )nu định bởi 2 * 1 2 . 2 4 , n n n u u u n+ ì =ï í = - - " ÎNïî 1. Xét tính bị chặn của dãy số ( ).nu 3 điểm * Ta chứng minh ( )nu giảm, tức là 1n nu u+ < với mọi 1,n ³ bằng quy nạp. Thật vậy: + Với 2 11 2 2 2n u u= Þ = - < = Þ đúng khi 1.n = 1 điểm + Giả sử 1 .k ku u+ < Ta phải chứng minh 2 1.k ku u+ +< Ta có: 1 điểm 2 2 2 1 12 4 2 4k k k ku u u u+ + += - - < - - = vì 1 .k ku u+ < * Vì dãy ( )nu giảm nên nó bị chặn trên bởi 1 2.u = Mặt khác dễ thấy 0nu ³ với mọi 1.n ³ Vậy dãy số đã cho bị chặn. 1 điểm 2. Tìm số hạng tổng quát nu của dãy số ( ).nu 2 điểm Ta có 1 2 2 2. 2sin , 2 4 u p = = = 22 2 4 4sin 2 2cos 2sin ,4 4 8 u p p p = - - = - = 23 2 4 4sin 2 2cos 2sin ,...8 8 16 u p p p = - - = - = Dự đoán: ( )12sin , * .2n nu n p += Î¥ 1 điểm Học sinh tự chứng minh công thức ( )* bằng phương pháp quy nạp. Vậy số hạng tổng quát nu của dãy số ( )nu là 12sin , .2n nu n p += Î¥ 1 điểm Bài III a) Chứng minh rằng OH là phân giác của góc ·yOz và tính độ dài đoạn thẳng AH theo .a 2 điểm *) Chứng minh rằng OH là phân giác của góc ·yOz Lấy ,B C lần lượt trên hai tia ,Oy Oz sao cho OB OC a OABC= = Þ là tứ diện đều. Vì H là hình chiếu của A trên ( )OBC nên H là tâm của tam giác đều OBC HÞ nằm trên đường phân giác của góc ·BOC Þ Điều phải chứng minh. 1 điểm *) Tính độ dài đoạn thẳng AH theo a Ta có 2 2 2 22 3 3 6 . 3 2 3 3 3 a a a a OH AH AO OH a= = Þ = - = - = 1 điểm b) Tìm vị trí của điểm .A 2 điểm Gọi I là trung điểm MN IÞ cố định và .OI MN^ Vì tam giác AMN cân tại ( ) 12 . 2AMN AI MN S MN AID^ Þ = với MN không đổi. 1 điểm Kẻ IJ Ox J^ Þ cố định. Ta có 1 . 2AMN AI IJ S MN IJD³ Þ ³ = const. Từ đó suy ra diện tích tam giác AMN nhỏ nhất bằng 1 . 2 MN IJ khi và chỉ khi .A Jº Khi đó 1 2 2 b OA OB= = vì OJ JB^ (do ,OA IA OA MN^ ^ ) 1 điểm c) Chứng minh rằng ta luôn có: 2 3 cos 2cos 3 cos 4a b g+ + > - 2 điểm Gọi , ,i j kr r r là các véctơ đơn vị lần lượt của các tia , ,Ox Oy Oz Þ 1 điểm 1.i j k= = = r r r Ta có: ( )23 2 3 4 1 4 3 . 4 . 2 3 . 4 3 cos 4cos 2 3 cos 8 0 i j k i j j k i k a b g + + = + + + + + = + + + > r r r r r r r r r Từ đó suy ra 2 3 cos 2cos 3 cos 4a b g+ + > - (điều phải chứng minh). 1 điểm Bài IV 2 điểm Ta có: ( )( ) ( )( ) 4 4 2 2 2 2 , a b a b a b a b a b a b - = - + + + + ( )( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 b c b c b c b c b c b c - = - + + + + và ( )( ) ( )( ) 4 4 2 2 2 2 . c a c a c a c a c a c a - = - + + + + Từ đó ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 . b c a F a b a b b c b c c a c a = + + + + + + + + Suy ra ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 . a b b c c a F a b a b b c b c c a c a + + + = + + + + + + + + 1 điểm Mặt khác ( )4 4 2 2a b ab a b+ ³ + nên: 1 1 1 9 9 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 ab bc ca F a b b c c a a b b c c a a b c ³ + + = + + ³ = + + + æ ö+ + + + +ç ÷ è ø vì 1 1 1 1.ab bc ca abc a b c + + = Û + + = Vậy 9min 3. 9 F a b c= Û = = = 1 điểm