Đề thi HSG Toán 7 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Vô Tranh (Có đáp án)

Trường THCS Vô Tranh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 -----------o0o--------- MÔN: TOÁN Năm học 2016 – 2017 Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ----------------o0o-------------- Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức 4 5.9 4 2 .6 9 a) A = 1 0 8 8 ; 2 .3 6 .2 0 32016 b) B = 1 3 32 33 ... 32015 2 Bài 2: (4 điểm) 15 3 5 a) Tìm x biết: x 28 14 12 b) Tìm x, y nguyên biết: 25 y2 4(x 2016)2 Bài 3: (4 điểm) a) Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c Biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh f(-2). f(3) ≤ 0 xy yz xz b) Cho các số thực x, y, z 0 thỏa mãn: x y y z x z x 2 y 2 z 2 Tính giá trị cuả biểu thức: M = . xy yz xz Bài 4: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC a) Chứng minh tam giác ABM cân. b) Chứng minh MN = AB + AC – BC c) Tính góc MAN. d) Gọi G, K lần lượt là giao điểm của BD và AN; CE và AM. Tia AI cắt GK ở H. Tính góc AHG. -----------------------------------Hết--------------------------------- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi môn toán 7 Năm học 2016-2017 ----------o0o---------- Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm a) 2 1 0 .3 8 2 1 0 .3 9 2 1 0 .3 8 (1 3 ) 1 A = 2đ 2 1 0 .3 8 2 1 0 .3 8 .5 2 1 0 .3 8 (1 5 ) 3 2 Đặt M = 1+3+32+ +32015 1 Ta có 3M=3+32+33+ +32016 b) 32016 1 1,5 3M - M=32016 – 1 => M = 2đ 2 2 32016 1 32016 1 Khi đó B = - = - 2 2 2 2 0,5 3 15 5 3 80 0,5 x x 14 28 12 14 84 3 80 3 80 x hoặc x 14 84 14 84 0,5 a) 3 80 3 80 x x 2đ 14 84 14 84 0,5 7 31 x x 6 42 7 31 Vậy x ; x 0,5 6 42 Ta có 4 ( x – 2016)2 0 với mọi x nên 25 - y2 0 => y2 25 2 Mà 4 ( x – 2016)2 là số chính phương chẵn => 25 - y2 chẵn =>y lẻ. y2 là số chính phương lẻ, y2 25 => y2 {1;9;25} 0,5 + Nếu y2=25 => 4 ( x – 2016)2=0 => x=2016 + Nếu y2=9 => 4 ( x – 2016)2=16 => x=2016 b => ( x – 2016)2= 4 1,0 2đ x-2016 =2 hoặc x-2016 = -2 x = 2018 hoặc x = 2014 + Nếu y2 =1 => 4 ( x – 2016)2= 24 không phải là số chính phương (loại ) Vậy với y = 3 thì x = 2018; x = 2014 0,5 Với y = 5 thì x = 2016. Ta có f(3)= 9a+3b+c ; f(-2)= 4a-2b+c 0,5 a) f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = 0 => f(3)= -f(-2) 0,5 3 2đ  f(3).f(-2) = -f(3)2 0 1,0 x y y z x z b) Vì x, y, z 0 nên theo bài ra ta có: 2đ x.y y.z x.z 1 1 1 1,5  => x = y = z. x y z Thay x = y = z vào M ta được M = 1. 0,5 Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm ABD = MBD (cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM => a) 2đ V V VAMB cân ở B. 2,0 Ta có VAEC = VNEC => CN = CA 0,5 b) 2đ Khi đó AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN 1,0  MN = AB + AC - BC 0,5 180o ¼ABC ¼ABC Từ VAMB cân ở M => ¼AMB 90o 2 2 0,5 180o ¼ACB ¼ACB Từ VANC cân ở N => ¼ANB 90o 2 2 0,5 Trong AMN có M¼AN 180o ¼AMB ¼ANC 4 V c) 2đ ¼ABC ¼ACB = 180o (90o ) (90o ) 2 2 ¼ABC ¼ACB 90o = 45o 2 2 2 (Vì VABC vuông tại A nên ¼ABC ¼ACB 90o ) Vậy M¼AN 45o 1,0 Vì VAMB cân ở B nên đường phân giác BD đồng thời là đường cao => BD  AM hay GI  AK 0,5 VANC cân ở C => đường phân giác CE đồng thời là đường 0,5 d) 2đ cao => CE  AN hay KI  AG Trong VAKG có 2 đường cao xuất phát từ G, K cắt nhau ở I => I là trực tâm của VAKG . 0,5  AI  GK ở H => ¼AHG 90o 0,5